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2011年浙江省高中数学竞赛试卷[完美排版]


2011 年浙江省高中数学竞赛试题及详解
说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加 题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解答题.

一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号

里, 多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( 4 2 A. 2 sin ? B. ?2sin ? C. ?2 cos ? D. 2 cos ? 2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( )
1.已知 ? ? [



A. 2 B. 2 2 C. ?2 D. ?2 2 3.设 A,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( ) A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件

x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 4.过椭圆 2 2 6 4 6 4 2 4 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 ?x ?1 ? 5 x?0 5.函数 f ( x) ? ? x ,则该函数为( ) ? 5 ?1 x ? 0
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( )



A. 4+

5? 2

B. 4+

3? 2

C. 4+

? 2

D. 4+ ?

7.某程序框图如右图所示,现将输出 x, y ) 值依次记为:( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运 ( 行中输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( A.64 B.32 C.16 D.8 )

8. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P ( a, b) 所形成平面区域的面积 为( A. 4 ) B.8 C. 16 D. 32 )

?

?

9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. ( , 1)

1 2

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( 6 ? 2? 1 1 1 B [ , 1] C. [ , 1) D. ( , 1] 2 2 2

?

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1

) D. 1 ? x ? 3

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)

x ? 3 cos x 的最小正周期为__________. 2 12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =___________. ? ? ? ? 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 _______ .
11. 函数 f ( x) ? 2sin 14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端点),D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE .则直线 AP, PE 的夹角为______________. 15.设 x, y 为实数,则
5 x 2 ? 4 y 2 ?10 x

max ( x 2 ? y 2 ) ? _____________.

16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,但不能同 时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有__________种.(用组合数符 号表示) 17. 设 x, y , z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? ____________. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值.

19. 给定两个数列 ?xn ? , ?y n ?满足 x0 ? y0 ? 1 , x n ? 明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 yn ? x jn

2 xn ?1 yn ?1 (n ? 1) .证 (n ? 1) , yn ? 2 ? xn?1 1 ? 2 yn ?1

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F1 右侧一点,连 52 42 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N.若以 MN 为直径的圆恰好过 F ,求 a 的值. 1
20. 已知椭圆


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