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2014-2015高三数学(理)导数与三角函数综合测试题答案

时间:2015-05-26


8.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的图象(部分)如图所示,

2014-2015 学年度第一学期高三数学(理) 函数与三角函数综合测试试卷
命题人:周扬 本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选

择题)两部分。满分为 150 分,考试用时为 120 分钟. 第Ⅰ 卷(选择题,共 40 分) 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1、函数 y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? [0,3] 的值域为 ( A.[0,3] B.[-1,0] ) D.[0,2]

则 ? , ? 分别为 ( A. ? ? ? , ? ? C. ? ? ? , ? ?

) B. ? ? 2? , ? ? D. ? ? 2? , ? ?

? ?
3

? ?
3

6

6

第 II 卷(非选择题,共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 计算

?

?
0

(cos x ? 1)dx ?

?

. .

C.[-1,3] ) C. y ?

2、下列函数中,值域为 ? ??,0? 的是( A. y ? ? x 2 B. y ? 3 x ? 1( x ? ) )

ln x , ] ( x ? 0) 的单调递增区间是 ( 0 e x 1 11、函数 y ? ( ) x ? 4 的定义域是___ (??, ?2] _____ 2
10.函数 f ( x) ? 12、已知△ABC 中,a=4,b=4

1 3

1 x

D. y ? ? x

3、 cos( ? ? ) 的值为(

7 6 1 A. ? 2

3 ,∠A=30°,则∠B 等于_60°或 120°. 1 13、 ?ABC 中,若 a ? 3 2, cos C ? , S ?ABC ? 4 3 ,则 b ? 2 3 3
14、关于函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题: ① 若 x1 , x2 满足 x1 ? x2 ? ? ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ② f ? x ? 在区间 ? ?

1 B. 2

3? 1 ) ? ,则 cos 2? ? ( 4. 已知 sin(? ? ) 2 3 7 7 1 1 A. ? B. C. ? D. 9 9 3 3 ? ? 5.将函数 y ? cos( ? 2 x ) 的图像向右平移 个单位后所得的( 12 6
图像的一个对称轴是 A. x ?

3 C. ? 2

D.

3 2

? ? ?? 上单调递增; , ? 6 3? ? ?? ? , 0 ? 成中心对称; ? 12 ?
7? 个单位后将与 y ? 2sin 2 x 的图像重合. 12
(注:把你认为正确的序号都填上)



③函数 f ? x ? 的图像关于点 ?

?
6

B. x ?

?
4

C. x ?

?
3

D. x ?

?
12

④将函数 f ? x ? 的图像向左平移

其中正确的命题序号 ① ③ ④

6、在 △ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( A. 4 3
sin(

).
? ?
( ) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

B. 2 3

C. ?

D.

? x) ? sin( ? ? x) 3? 2 ? 2 ,则 tan( x ? ) 的值为 7. 已知 cos( ? x) ? sin( 2? ? x) 4 1 1 A. 2 B. ? 2 C. D. ? 2 2

?

? 5 3 3 ? 15. 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ), x ? R , 且 f ( ?) ? ; (1) 求 A 的值; (2) 若 f (?) ? f ( ?) ? ? ,? ? (0, ) , 4 12 2 2 2
3 求 f ( ? ?? ) ; 4
2? 3 3 ? 5? ? ? 5? ? ? ? ? ? A sin ? A ? ,所以 A ? 3 . 【答案】 (1)由已知, f ? ? ? A sin ? 3 2 2 ? 12 ? ? 12 4 ?
1

?? ? (2)由(1)知, f ? x ? ? 3 sin ? x ? ? ,所以: 4? ?
?? ?? ? ? f ?? ? ? f ? ?? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 3 sin ? ?? ? ? 4 4? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? 4? ? ?4 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 3 ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 3 ? sin cos ? ? cos sin ? ? 4 4? 4 4 ? ? ? ? 3 ? 2 3 sin cos ? ? 6 cos ? ? 4 2
10 6 ? ?? 解得 cos ? ? ,又因为 ? ? ? 0, ? ,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? . 4 4 ? 2?

所以

, ???????????12 分

或由

得:

????????8 分

两边平方得:

,所以

。????????12 分
2 2 2

17、在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b ? c ? a ? bc . (Ⅰ )求 A 的大小; (Ⅱ )如果 cos B ?
2 2

?? 30 ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? ? 3 sin ?? ? ? ? ? 3 sin ? ? 所以 f ? . 4? 4 ? 4 ? ? 4
16、已知函数 f ( x) ? cos 2

x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2

6 , b ? 2 ,求△ ABC 的面积. 3
2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)若 f (? ) ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 解: (Ⅰ)因为 b ? c ? a ? bc ,所以 cos A ? 2bc 2
又因为 A ? (0, π) ,所以 A ? (Ⅱ)因为 cos B ?

3分

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

π . 3

6分

解:(1)由已知, 由正弦定理
2 2

6 3 2 , B ? (0, π) ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? . 3 3

8分 10 分

a b b sin A ? ? 3. , 得 a? sin A sin B sin B
2 2

因为 b ? c ? a ? bc , 所以 c ? 2c ? 5 ? 0 , 因为 c ? 0 ,所以 c ? 6 ? 1. 故△ ABC 的面积 S ? ???????????4 分 所以 的最小正周期为 , ???????????6 分 18、已知函数 f ( x ) ? ln x ? (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? ,2? 上的最大值和最小值. 2

解得 c ? 1 ? 6 , 12 分

1 3 2? 3 . 14 分 bc sin A ? 2 2

单调递增区间为 [2k? ?

3? 7? , 2 k? ? ]. 4 4

a ? b ,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极小值 3 . x

(2)由(1)知,

所以

. ????????8 分
2

?1 ? ? ?

解: (Ⅰ)因为 f ?? x ? ? 所以 ?

1 a ? x x2

2分

? f ??1? ? 0 ?1 ? a ? 0 ?? ? f ?1? ? 3 ?a ? b ? 3

4分

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 2

6分

(Ⅱ)因为 f ? x ? ? ln x ?

1 ?2 x 1 1 x ?1 所以 f ?? x ? ? ? 2 ? 2 x x x
所以 f ??x ? ? 0 ? x ? 1

列表如下

x

1 2

1 ( ,1) 2

1

(1,2)

2

y?
y



0

+

4 ? ln 2

单调递减

极小值

单调递增

5 ? ln 2 2

当 x ? 1 时, f ( x) 取得极小值即最小值: f ?x?min ? f ?1? ? 3
3

20、已知函数 (1)若 ,判断函数





3 e2 ?1? 因为 f ? ? ? f ?2? ? ? 2 ln 2 ? ln e 2 ? ln 4 ? ln ?0 2 4 ?2?
当x ?

3

是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由;

1 ?1? 时, f ( x) 取得最大值 f ?x ?max ? f ? ? ? 4 ? ln 2 2 ?2?

(2)设函数

,若至少存在一个

,使得

成立,求实数 a 的取值范围;

19.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 1 ? 2 3 cos ? x sin ? x(0 ? ? ? 1) ,直线 x ? 图象的一条对称轴. (1)试求 ? 的值:

?
3

是f ( x)

解:(1)当

时,

,其定义域为(0,+?).

(2)已知函数 y ? g ( x) 的图象是由 y= f ( x ) 图象上的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,然后再向左 平移

因为 所以 所以函数
3

,??????????1 分 在(0,+?)上单调递增,??????????2 分 不存在极值. ??????????3 分

2? ? 6 ? 个单位长度得到,若 g (2? ? ) ? , ? ? (0, ), 求 sin ? 的值。 3 3 5 2

(2)由存在一个

,使得

成立,

等价于

,即

成立??????????4 分



,等价于“当

时,

”.??????????5 分

因为 所以 故 在

,且当

时,



上单调递增,??????????7 分 ,因此 . ??????????8 分

4


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