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杨浦区2014届高三数学一模试卷(理科)含答案---精校版


上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2014.1.2

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题

纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.计算: lim
n ??

3n ?. 3n ? 1

2.若直线 y ? 3x ? 1 ? 0 的倾斜角是 ? ,则 ? ? (结果用反三角函数值表示).

3.若行列式

2 x?1 1

4 2

? 0 ,则 x ? .
1 2

4.若全集 U ? R ,函数 y ? x 的值域为集合 A ,则 CU A ? . 5.双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3 x ,则 b ? ________. b2
x ?1

6.若函数 f ?x ? ? 3 ? 2 的反函数为 f

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?



7.若将边长为 1 cm 的正方形绕其一条边所在直线旋转一周,则所形成圆柱的体积等于 cm . 8.已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? _________.
2 2

? ?
3

9.已知函数 f ( x) ? ?sin ?x ? cos?x ? ? 1 的最小正周期为 ? ,则 ? ? _________.
2

10.某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储费用为 2x 万元, 若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买吨. 11.已知复数 ? ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z ? ________.

5

?

? ? ? 2 ,则一个以 z 为根的实系数一元二次方程是

1 12.若 ( x 2 ? )n 的二项展开式中,所有二项式系数和为 64 ,则该展开式中的常数项为. x
13.设 a , b 随机取自集合 {1, 2,3} ,则直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 1有公共点的概率是.
2 2

14.已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x ) ? ?
x

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ;②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总有 F (m) ? F (n) ? 0
1/4

成立,其中所有正确命题的序号是. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 若空间三条直线 a 、 、 满足 a ? b , b // c ,则直线 a 与 c ???(). b c

(A) 一定平行 (B) 一定相交 (C ) 一定是异面直线 (D) 一定垂直
16. x ? 1 ? 2 成立”是“ “

x ? 0 成立”的???(). x ?1

(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C ) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件.

17.设锐角 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? 1 , B ? 2 A ,则 b 的取值范 围为???().

(A)

?

2 ,

3 . (B) 1 , 3 . (C )

?

?

?

?

2 , 2 . (D) ?0 , 2? .

?

18.定义一种新运算:a ? b ? ?

?b, (a ? b) 4 ,已知函数 f ( x) ? (1 ? ) ? log 2 x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 恰 x ? a, ( a ? b)

有两个零点,则 k 的取值范围为???().

(A) ?1, 2 ? . (B) (1, 2) . (C ) (0, 2) . (D) (0,1) .
三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a . (1)求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小; (2)求四棱锥 A1 ? ABCD 的体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分.
2 已知向量 m ? x , 1 , n ? ?a , 1? 2ax ? ,其中 a ? 0 .函数 g ? x ? ? m ? n 在区间 x ? ?2 , 3? 上有最大值为

?

?

4,设 f ?x ? ?

g ?x ? . x

(1)求实数 a 的值;
2/4

(2)若不等式 f 3

? ?? k3
x

x

? 0 在 x ? ?? 1 , 1?上恒成立,求实数 k 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分. 某校同学设计一个如图所示的 “蝴蝶形图案 (阴影区域), ” 其中 AC 、BD 是过抛物线 ? 焦点 F 的两条弦, 且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA ? ? ,其中 ? 为锐角. (1) 求抛物线 ? 方程; (2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求 ? 的大小?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 10 分,第①问 5 分,第②问 5 分,第(2)小 题满分 6 分. 已知椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1. 4

(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图),直线 AM , BM 分 别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ,且 2?

m?? 3.
①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (2)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 ? 于 T 、
2 2

R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

3/4

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 13 分,第①问 5 分, 第②问 8 分. 设 S n 是数列 ? an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N* 都有 2S n ? ?kn ? b ??a1 ? a n ? ? p 成立,(其中 k 、 b 、 p 是 常数). (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 S n ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, ①若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; ②设数列 ? an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“ ? 数列”. 如果 a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在数列 ? an ? 为“ ? 数列” ,使得对任意 n ? N* ,都有

Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所 12 S1 S2 S3 Sn 18

有取值构成的集合;若不存在,说明理由.

4/4

杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2

一.填空题(本大题满分 56 分) 1. 1;2. arctan3 ;3.2;
2

4. ?? ? , 0 ?; 5.

3 ; 6. 1 ; 7. ? ; 8. 2;
5 , 14.理②、③, 9

9.理 ? 1 ;10.30 ; 11. x ? 6 x ? 10 ? 0 ; 12. 理 15 ;13.理 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题 15. D ; 16. B; 17. A ; 18.理 B; 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题 19. 【解】 (1)因为 B1C // A1 D ,

?直线 A1 B 与 A1 D 所成的角就是异面直线 A1 B 与 B1C 所成角. ??2 分
又 ?A1 BD 为等边三角形,

?异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 60? . ??6 分

(2)四棱锥 A1 ? ABCD 的体积 V ?

1 2 1 ? a ? a ? a 3 ??12 分 3 3

20.【解】
2 2 (1)由题得 g ? x ? ? m ? n ? ax ? 1 ? 2ax ? a( x ? 1) ? 1 ? a ??4 分

5/4

又 a ? 0 开口向上,对称轴为 x ? 1 ,在区间 x ? ?2 , 3? 单调递增,最大值为 4,

? g ?x ?max ? g ?3? ? 4 所以, a ? 1 ??7 分
(2)由(1)的他, f ?x ? ?

g ( x) 1 ? x ? ? 2 ??8 分 x x ?1 ? x x x 令 t ? 3 ,则 t ? ? ,3? 以 f 3 ? k 3 ? 0 可化为 f (t ) ? kt , ?3 ? f (t ) 即k ? 恒成立,??9 分 t f (t ) 1 f (t ) 1 ?1 ? 1 最小值为 0,??13 分 ? ( ? 1) 2 且 ? ? ,3? ,当 ? 1 ,即 t ? 1 时 t ?3 ? t t t t

? ?

? k ? 0 ??14 分
21. 【解】 理科(1)由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x ? 4 y ??5 分
2

(2)设 AF ? m ,则点 A(?m sin? , m cos? ? 1) ??6 分 所以, (?m sin? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin
2

2

2

? ? 4m cos? ? 4 ? 0 ??7 分

解得 AF ?

2(cos? ? 1) ??8 分 sin 2 ? 2(1 ? sin ? ) ??9 分 cos2 ? 2(1 ? sin ? ) ??10 分 cos2 ? 2(1 ? cos? ) ??11 分 sin 2 ?
1 1 4 ? 4 sin ? cos? AF ? BF ? CF ? DF ? 2 2 (sin ? cos? ) 2

同理: BF ?

DF ?

CF ?

“蝴蝶形图案”的面积 S ? S ?AFB ? S ?CFD ?

令 t ? sin ? cos? , t ? ? 0 , ? , ? ? ?2,?? ? ??12 分 ? 2 t ? ?

?

1?

1

1 ? 1? t ?1 1 ? 则 S ? 4 2 ? 4? ? ? ? 1 , ? ? 2 时,即 ? ? “蝴蝶形图案”的面积为 8??14 分 t t 4 ?t 2?
2

22.【解】 理科 解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 ),且 m ? 0 , 2
6/4

?直线 AM 的斜率为 k1= ?

1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , 2m 2m 2m
……2 分

3 ?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

? x2 ? y 2 ? 1, ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 , ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?

? x ? 0, x ?

4m ? 4m m 2 ? 1 ? , ?E ? 2 , 2 ?, 2 m ?1 ? m ?1 m ?1 ?

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 , ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

2 12m , ? F ? 12m , 9 ? m ? ;……4 分 2 ? 2 ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?

据已知, m ? 0, m ? 3 ,
2

m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 ?直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m
2 2 ?直线 EF 的方程为 y ? m2 ? 1 ? ? m ? 3 ? x ? 4m ? , ? ? m ?1 4m m2 ? 1

?

?

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. ② S?AMF ?

……5 分

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
……7 分
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

?

5m m ? ,?m?0, 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

?整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ? 1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

又有 m ? ? 3 ,? m2 ? 3 ? 0 ,?m 2 ? 1 ,? m ? ?1 为所求.

……10 分

(2)因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直线 l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 ,……12 分 k
7/4

所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 1? k2


,

2 2 2 所以直线 l1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦 TR ? 2 4 ? d ?

2 3 ? 4k 2 1? k 2

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
1 64 k 2 8 k2 ?1 8k QP ? (1 ? 2 ) 2 ? 2 所以 ……14 分 xQ ? xP ? ? 2 k (k ? 4) 2 k ?4 k ?4
所以 S ?TRQ ?

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

当 4k ? 3 ?
2

13 4k ? 3
2

? k2 ?

5 10 ?k?? 时等号成立, 2 2

此时直线 l1 : y ? ? 23【解】 (理科)

10 x ? 1 ……16 分 2

解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,由 2S n ? ?kn ? b ??a1 ? a n ? ? p 得

3(a1 ? an ) ? 4 ? 2S n ①
用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2S n?1 ,② ②—①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an ,……2 分 在①中令 n ? 1得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴
an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴ Sn =

3n ? 1 …….5 分 2

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,

n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,③
用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) ,④ ④—③得, (n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,⑤…….7 分
8/4

用 n ? 1 去代 n 得, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? a1 ? 0 ,⑥ ⑥—⑤得, nan? 2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an ,…….8 分 ∴数列 {an } 是等差数列.∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 , ∴公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 ……10 分 9?3

易知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) . 又 ?an ? 是“ ? 数列” ,得:对任意 m, n ? N* ,必存在 p ? N* 使

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,
得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数,…….12 分 又由已知,

18 1 1 11 ? ? ,故 ? a1 ? 12 12 S1 18 11 18 ? a1 ? 12 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N* , 11
.…….13 分
1 1 1 ? ? , Sn n n ? 1

一方面,当 都有

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S2 S3 Sn S1 12

另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) , 则
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? , S1 S2 S3 Sn n ?1

取 n ? 2 ,则

1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意.…….14 分 S1 S2 3 3 18
1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? ,…….15 分 S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18
当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,
1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? ) ? ,…….16 分 S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18



18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 …….17 分 11

所以,首项 a1 的所有取值构成的集合为 ?4, 6, 8, 10??? 18 分

9/4

(其他解法,可根据【解】的评分标准给分)

10 / 4


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