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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题03


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.设 f ( x) ? lg

x 3 ? 3x 1? x ,

| x |? 1 ,则 f ( ) ? ______________ 1? x 1 ? 3x 2
3? , 2? ) ,若 a tan ? ? b tan ? ? 1 ,则 a、b 、1 的大小关系是________ 2 A B C B ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 成立的充要条件 2 2 2 2

2.设 a、b 是不等于 1 的正数,? ? (

3.在 ?ABC 中, BC ? a, AC ? b, AB ? c ,则使等式 sin 2 是______________ ① a ? b ? 2c ; ② b ? c ? 2a ;

③ c ? a ? 2b ;

④ c ? a ? b2 .

4.设 k ? 3, k ? 0 ,则二次曲线 ①不同的顶点;

x2 y2 x2 y 2 ? ?1与 ? ? 1 必有______________ 3? k k 5 2
③相同的焦点; ④相同的离心率.

②不同的准线;

5.连结正五边形 A1 A2 A3 A4 A5 的对角线交另一个正五边形
B1 B2 B3 B4 B5 ,两次连结正五边形 B1 B2 B3 B4 B5 的对角线,

又交出一个正五边形 C1C2C3C4 C5 (如图),以图中线 段为边的三角形中,共有等腰三角形___________个.

1 6.设 f ( x) 适合等式 f ( x) ? 2 f ( ) ? x , x
则 f ( x) 的值域是______________ 7.若对满足 ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z 的任何角 ? 、? ,都有 则数组 ( m, n) ? ______________ 8.若对所有正数 x、y ,不等式 x ? y ? a x ? y 都成立,则 a 的最小值是______________ 9.若 26 ? 29 ? 2 n 为一个平方数,则正整数 n ? ______________ 10.用标有 1,2,3,15,40 克的法码各一个,在某架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均 可放置法码,那么该天平所能称出的不同克数(正整数的重物)至多有______________种.

sin(? ? 30?) ? sin(? ? 30?) ? ?? ? m cot ? n, cos ? ? cos ? 2

1

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三

先做后对答案

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,过 x 轴上点 K 的直线与抛物线交于点 P、 Q ,求证:存在唯一一点 K ,使 得
1 PK
2

?

1 QK
2

为常数,并确定点 K 的坐标.

12. ?ABC 的三条边长分别为 a、 b、 c ,求证:

| a 2 ? b2 | | b2 ? c 2 | | c 2 ? a 2 | . ? ? c a b

2

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三

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13.在 Rt?ABC 中, E、F 分别是直角边 AB、AC 上的任意点,自 A 向 BC、CE、EF、FB 引垂线, 垂足分别是 M 、N、P、Q ;求证: M 、N、P、Q 四点共圆.

A

E N

P Q

F

B

M

C

3

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三

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14.求最小的正整数 n ,使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数.

4

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三答案
一、填空题: 1.设 f ( x) ? lg

1? x x 3 ? 3x , | x |? 1 ,则 f ( ) ? ______________ 1? x 1 ? 3x 2

x3 ? 3x 1? x ? 3x ? 3x 2 ) ? lg(1 ? x )3 ? 3 f ( x) ? 3lg 1 ? x . 解: f ( ) ? lg( 1 3 2 1? x 1? x 1 ? 3x x ? 3x 1? 1 ? 3x 2
3

2.设 a、b 是不等于 1 的正数,? ? (

3? , 2? ) ,若 a tan ? ? b tan ? ? 1 ,则 a、b 、1 的大小关系是________ 2

1 1 1 1 解:易知 ? tan? ? 0 ,由 ( )? tan ? ? ( )? tan ? ? 1 ,得 ? ? 1, ? a ? b ? 1 . a b a b
3.在 ?ABC 中, BC ? a, AC ? b, AB ? c ,则使等式 sin 2 是______________ ① a ? b ? 2c ; 解:由题设知, ② b ? c ? 2a ; ③ c ? a ? 2b ; ④ c ? a ? b2 .

A B C B ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 成立的充要条件 2 2 2 2

1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos C 1 ? cos B B A?C ? ? ? ? 2sin ? cos 2 2 2 2 2 2

? 2sin B ? sin A ? sin C , ? a ? c ? 2b ,反之也成立,所以选③.

4.设 k ? 3, k ? 0 ,则二次曲线 ①不同的顶点;

x2 y2 x2 y 2 ? ?1与 ? ? 1 必有______________ 3? k k 5 2
③相同的焦点; ④相同的离心率.

②不同的准线;

解:当 0 ? k ? 3 ,则 0 ? 3 ? k ? 3, ?

x2 y2 ? ? 1 表示实轴为 x 轴的双曲线, a 2 ? b 2 ? 3 ? c 2 , 3? k k
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭 3 ? k ?k

故二曲线有相同焦点;当 k ? 0 时, ?k ? 0 且 3 ? k ? ? k ,?

圆, a 2 ? 3 ? k , b2 ? ?k ,? a 2 ? b 2 ? 3 ? c 2 与已知椭圆有相同焦点. 5.连结正五边形 A1 A2 A3 A4 A5 的对角线交另一个正五边形
B1 B2 B3 B4 B5 ,两次连结正五边形 B1 B2 B3 B4 B5 的对角线,

又交出一个正五边形 C1C2C3C4 C5 (如图),以图中线 段为边的三角形中,共有等腰三角形___________个. 解:对于其中任一点 P ,以 P 为“顶”(两腰的公共点) 的等腰三角形的个数记为 [ P ] ,则有:
5

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三

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[ A1 ] ? 6, (?A1 A2 A5 , ?A1 B3 B4 , ?A1 B2 B5 , ?A1 A3 A4 , ?A1 A2 B5 , ?A1 A5 B2 ) ; [ B1 ] ? 9, [C1 ] ? 2, (?B1 A3 A4 , ?B1 B2 B5 , ?B1 B3 B4 , ?B1C3C4 , ?B1 B2C5 , ?B1C2 B5 , ?B1 A2 A5 , ?B1 A3 B4 , ?B1 A4 B3 ) (?C1 B3 B4 , ?C1 B2 B5 ) ;

由于图中没有等边三角形,则每个等腰三角形恰有一个“顶”;据对称性可知:
[ Ai ] ? 6, [ Bi ] ? 9, [Ci ] ? 2, i ? 1, 2,3, 4,5 ;因此等腰三角形共有 5 ? (6 ? 9 ? 2) ? 85 个.

1 6.设 f ( x) 适合等式 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ,则 f ( x) 的值域是______________ x 1 1 1 1 1 解:由 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ,将 x 换为 ,有 f ( ) ? 2 f ( x) ? ,两式消去 f ( ) 得: x x x x x
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 f ( x) ? ? ( x ? ), ? | f ( x) |? | x ? |? ] [ , ??) . ,故值域是 (??, ? 3 x 3 3 3 3 3

7.若对满足 ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z 的任何角 ? 、? ,都有 则数组 ( m, n) ? ______________

sin(? ? 30?) ? sin(? ? 30?) ? ?? ? m cot ? n, cos ? ? cos ? 2

解:左边 ?

2sin

? ??
2

2 ? ?? ? ?? ?2sin sin 2 2

cos(

? ? ? ? 60?

)

?

3 ? ?? 1 3 1 cot ? ,两边比较得 m ? , n? , 2 2 2 2 2

即 (m, n) ? (

3 1 , ). 2 2

8.若对所有正数 x、y ,不等式 x ? y ? a x ? y 都成立,则 a 的最小值是______________ 解:由 (

x x? y

)2 ? (

y x? y

) 2 ? 1, ?

x x? y

?

y x? y

? 2 ,当 x ? y 时取等号,故 a 的最小值是 2 .

9.若 26 ? 29 ? 2 n 为一个平方数,则正整数 n ? ______________ 解: 26 ? 29 ? 26 (1 ? 23 ) ? 26 ? 32 ? 242 ,设 242 ? 2n ? a 2 ,有 (a ? 24)(a ? 24) ? 2n , 于是有: a ? 24 ? 2r , a ? 24 ? 2t , 2r ? 2t ? 48 ? 24 ? 3, 2t (2r ?t ? 1) ? 24 ? 3 ∴ t ? 4, r ? t ? 2 ,故 r ? 6, n ? t ? r ? 10 . 10.用标有 1,2,3,15,40 克的法码各一个,在某架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均 可放置法码,那么该天平所能称出的不同克数(正整数的重物)至多有______________种. 解:用 1,2,3 这三只法码,可称出区间 A ? [1, 6] 中的全部整克数,增加 15 克的法码后,量程扩充 了区间 B ? [15 ? 6,15 ? 6] ? [9, 21] ,再增加 40 克的法码后,量程又扩充了三个区间:
C1 ? [40 ? 6, 40 ? 6] ? [34, 46], C2 ? [40 ? 21, 40 ? 9] ? [19,31] , C3 ? [40 ? 19, 40 ? 21] ? [49, 61] ,

但区间 B 与 C2 有三个整数重复,计算上述各区间内的整数个数,则得能称出的不同克数共有
6

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三

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6 ? 13 ? (13 ? 13 ? 13) ? 3 ? 55 种.

二、解答题: 11.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,过 x 轴上点 K 的直线与抛物线交于点 P、 Q ,求证:存在唯一一点 K ,使 得
1 PK
2

?

1 QK
2

为常数,并确定点 K 的坐标.

证明:设点 K 为 ( a, 0) ,过 K 的直线方程为: y ? k ( x ? a) ,与抛物线交于点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ; 将直线方程代入抛物线方程中,得:
k 2 x 2 ? 2(ak 2 ? 2) x ? a 2 k 2 ? 0 ? x1 ? x2 ?
2 2

2(ak 2 ? 2) , x1 x2 ? a 2 ; 2 k

又 PK ? ( x1 ? a)2 ? y12 , QK ? ( x2 ? a)2 ? y22 ; 所以
1 PK
?
?
2

?

1 QK
2

?

1 1 1 1 ? 2 ? ? x1 ? (2a ? 4) x1 ? a 2 x2 2 ? (2a ? 4) x2 ? a 2 ( x1 ? a) 2 ? y12 ( x2 ? a) 2 ? y2 2

k2 k2 ? 2 2 2 2 2 2 k x ? (2ak ? 4k ) x1 ? a k k x2 ? (2ak ? 4k 2 ) x2 ? a 2 k 2
2 2 1 2

k2 k2 ? 2 2 2 2 2 2 k x ? (2ak ? 4) x1 ? (4k ? 4) x1 ? a k k x2 ? (2ak ? 4) x2 ? (4k 2 ? 4) x2 ? a 2 k 2
2 2 1 2 2 2

2(ak 2 ? 2) x ?x k k k 1 1 k k k2 ? ? ? 2 ( ? )? 2 ? 1 2 ? 2 ? 2 2 (4k ? 4) x1 (4k ? 4) x2 4k ? 4 x1 x2 4k ? 4 x1 x2 4k ? 4 a2
2 2 2

a 2 k 1 1 ? 2 2 2 ;当且仅当 a ? 2 时, ? 2 a (1 ? k ) PK QK 1?
此时,定点 K 的坐标为 (2, 0) . 12. ?ABC 的三条边长分别为 a、 b、 c ,求证:

2

?

1 (常数); 4

| a 2 ? b2 | | b2 ? c 2 | | c 2 ? a 2 | . ? ? c a b

证明:由于 a ? 2 R sin A, b ? 2R sin B , c ? 2R sinC ; 只要证:

| sin 2 A ? sin 2 B | | sin 2 B ? sin 2 C | | sin 2 C ? sin 2 A | ……① ? ? sin C sin A sin B

注意: sin 2 A ? sin 2 B ? (sin 2 A ? sin 2 A sin 2 B) ? (sin 2 B ? sin 2 A sin 2 B)
? sin 2 A cos 2 B ? sin 2 B cos 2 A ? (sin A cos B ? sin B cos A)(sin A cos B ? sin B cos A) ? sin( A ? B) sin( A ? B) ? sin C sin( A ? B),

故由① ,只要证 | sin( A ? B) | ? | sin( B ? C ) |?| sin(C ? A) | ……②
| sin(C ? A) |?| sin( A ? B) ? ( B ? C ) |?| sin( A ? B) cos( B ? C ) ? cos( A ? B)sin( B ? C ) |

7

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题三

先做后对答案

?| sin( A ? B) cos( B ? C ) | ? | cos( A ? B)sin( B ? C ) |?| sin( A ? B) | ? | sin( B ? C ) | ,

取等号当且仅当 A ? B ? C ,此时 ?ABC 为正三角形,即 a ? b ? c . 13.在 Rt?ABC 中, E、F 分别是直角边 AB、AC 上的任意点,自 A 向 BC、CE、EF、FB 引垂线, 垂足分别是 M 、N、P、Q ;求证: M 、N、P、Q 四点共圆. 证明:∵ A, E , N , P 共圆,∴ ?CNP ? ?EAP ? ?AFP , ∵A 、N、M、C 共圆,∴ ?CNM ? ?CAM , 又∵ A、B、M 、Q 共圆,∴ ?MQB ? ?MAB ; 由 A、P、Q、F 共圆,得 ?PQB ? ?FAP ; 所以 ?MNP ? ?MQP
E N P Q F A

? (?CNM ? ?CNP) ? (?MQB ? ?PQB) ? (?CAM ? ?AFP) ? (?MAB ? ?FAP ) ? (?CAM ? ?MAB) ? (?AFP ? ?FAP ) ? 90? ? 90? ? 180?
故 M 、N、P、Q 共圆.

B

M

C

14.求最小的正整数 n ,使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数. 解:首先,我们可以指出 12 个连续正整数,例如 994,995,…,999,1000,1001,…,1005, 其中任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数,因此, n ? 13 . 再证,任何连续 13 个正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数; 对每个非负整数 a ,称如下 10 个数所构成的集合:
Aa ? {10a, 10a ? 1, , 10a ? 9} 为一个“基本段”,13 个连续正整数,要么属于两个基本段,

要么属于三个基本段. 当 13 个数属于两个基本段时,据抽屉原理,其中必有连续的 7 个数,属于同一个基本段; 当 13 个连续数属于三个基本段 Aa ?1 , Aa , Aa ?1 时,其中必有连续 10 个数同属于 Aa . 现在设 ak ak ?1

a1a0 , ak ak ?1
k

a1 (a0 ? 1),

, ak ak ?1
k

a1 (a0 ? 6) 是属于同一个基本段的 7 个数,
i

它们的各位数字之和分别是 ? ai ,
i ?0

? a ? 1,
i ?0 i

k

,

?a ? 6 ,
i ?0

显然,这 7 个和数被 7 除的余数互不相同,其中必有一个是 7 的倍数; 因此,所求的最小值为 n ? 13 .

8


2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题04

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