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高中数学 分类计数原理与分布计数原理


10.1 分类计数原理与分布计数原理
一、填空题 1. 有四位老师在同一年级的 4 个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要 求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法总数是________种. 解析 由分步乘法计数原理知监考方法总数为 3 ? 3 ? 9 . 答案 9 2. 如图,正五边形 ABCDE 中,若把顶点 A、B、C、D、E 染 上

>红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同 的染色方法共有 种.

解析 依题意用三种颜色为五个顶点染色,可将五个顶点分成三组,模型 为 2、2、1,则共有 C 1 A1 =30 种不同的染色方法. 5 3 答案 30 3.如图,用 6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域不能 涂同一种颜色,则不同的涂法共有________种.

解析 从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D、A 同色 1 种,D、A 不同 色 3 种,∴不同涂法有 6×5×4×(1+3)=480 种. 答案 480 4. 4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同 选法有________种. 解析 分三步,第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲.共有 C2种不同选法, 4 第二步给第 3 位同学选课程,有 2 种选法.第三步给第 4 位同学选课程,也有 2 种不同选法.故共有 C2×2×2=24(种). 4 答案 24 5.从 a、b、c、d、e 五人中选 1 名班长,1 名副班长,1 名学习委员,1 名纪律 委员, 名文娱委员, a 不能当班长, 不能当副班长. 1 但 b 不同选法总数为________ 种. 解析 第 1 类,a 当副班长,共有 A44 种选法;

第 2 类,a 当委员,共有 C31C31·A33 种选法. ∴不同选法共有 A44+C31C31·A33=24+54=78(种). 答案 78 6.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名方法的种数为 ________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),获得冠军的可能性有 ________种. 解析 报名的方法种数为 4×4×4×4×4=45(种).获得冠军的可能情况有

5×5×5×5=54(种). 答案 4
5

5

4

7.三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过 5 次传递 后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方式共有________种. 解析 如图,甲传给乙时有 5 种情况;同理,甲传给丙也可以推出 5 种情况,综 上有 10 种传法.

答案 10 8.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面 组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “平行线面组”的个数是________. 解析 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6×6=36 个,另含 4 个顶点 的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6×2=12 个,共 36+12=48 个. 答案 48 9.将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1 个数,第二行 2 个数,第三行 3 个数的形式 随机排列,设 Ni(i=1,2,3)表示第 i 行中最大的数,则满足 N1<N2<N3 的所有排 列的个数是________.(用数字作答) 解析 由已知数字 6 一定在第三行,第三行的排法种数为 A1A2=60;剩余的三个 3 5 数字中最大的一定排在第二行,第二行的排法种数为 A1A1=4,由分步计数原理 2 2 满足条件的排列个数是 240. 答案 240

10. 数字 1,2,3,?,9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中,要求每一行从左 到右依次增大,每列从上到下也依次增大,当数字 4 固定在中心位置时,则所有 填写空格的方法共有________种.

4

解析 必有 1、4、9 在主对角线上,2、3 只有两种不同的填法,对于它们的每 一种填法,5 只有两种填法.对于 5 的每一种填法,6、7、8 只有 3 种不同的填 法,由分步计数原理知共有 22×3=12 种填法. 答案 12 11.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单 循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获 胜者角逐冠、亚军,败者角逐第 3、4 名,大师赛共有________场比赛. 解析 小组赛共有 2C2场比赛; 半决赛和决赛共有 2+2=4 场比赛;根据分类计数 4 原理共有 2C2+4=16 场比赛. 4 答案 16 12.从集合 U={a,b,c,d}的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以下两 个条件: (1)?,U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A?B 或 A?B.那么,共有________种不 同的选法. 解析 将选法分成两类.第一类:其中一个是单元素集合,则另一集合为两个或 三个元素且含有单元素集合中的元素,有 C1×6=24(种). 4 第二类:其中一个是两个元素集合,则另一个是含有这两个元素的三元素集合, 有 C2×2=12(种). 4 综上共有 24+12=36(种). 答案 36 13.一植物园参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观 路线种数共有________种.

解析 如图所示,在 A 点可先参观区域 1,也可先参观区域 2 或 3,共有 3 种不 同选法.每种选法中又有 2×2×2×2=16(种)不同路线. ∴共有 3×16=48(种)不同的参观路线.

答案 48 二、解答题 14.如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个 点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有 多少种?

解析 先涂 A、D、E 三个点,共有 4×3×2=24 种涂法,然后再按 B、C、F 的顺 序涂色,分为两类:一类是 B 与 E 或 D 同色,共有 2×(2×1+1×2)=8 种涂法; 另一类是 B 与 E 或 D 不同色,共有 1×(1×1+1×2)=3 种涂法.所以涂色方法 共有 24×(8+3)=264(种). 15.如图所示三组平行线分别有 m、n、k 条,在此图形中

(1)共有多少个三角形? (2)共有多少个平行四边形? 解析 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的,由分步 计数原理知共可构成 m·n·k 个三角形.

(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的,由分类和 分步计数原理知共可构成 C2C2+C2C2+C2C2个平行四边形. m n n k k m 16.现安排一份 5 天的工作值班表,每天有一个人值班,共有 5 个人,每个人都 可以值多天班或不值班, 但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少 种不同的排法? 解析 可将星期一、二、三、四、五分给 5 个人,相邻的数字不分给同一个人. 星期一:可分给 5 人中的任何一人有 5 种分法; 星期二:可分给剩余 4 人中的任何一人有 4 种分法; 星期三:可分给除去分到星期二的剩余 4 人中的任何一人有 4 种分法; 同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法,由分步计数原理共有 5×4×4×4×4 =1 280 种不同的排法. 17.中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位, 分别在右图中的 A、B、C、D 四个区域落座.现有四种不同颜色的服 装,每个单位的观众必须穿同色服装,且相邻区域不能同色,不相邻 区域是否同色不受限制,则不同的着装方法共有多少种? 解析 当 A、B、C、D 四个区域的观众服装颜色全不相同时, 有 4×3×2×1=24 种不同的方法; 当 A 区与 C 区同色,B 区和 D 区不同色且不与 A、C 同色时,或 B 区、D 区同色, A 区、C 区不同色且不与 B、D 同色时,有 2×4×3×2=48 种不同的方法; 当 A 区与 C 区同色,B 区与 D 区也同色且不与 A、C 同色时,有 4×3=12 种不同 的方法. 由分类计数原理知共有 24+48+12=84 种不同的着装方法. 18.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 无原象,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的 f 又有多少个? 解析 (1)显然对应是一一对应的,即 a1 找象有 4 种方法,a2 找象有 3 种方法,

a3 找象有 2 种方法, 4 找象有 1 种方法, a 所以不同的 f 共有 4×3×2×1=24(个).
(2)0 无原象, 1,2,3 有无原象不限, 所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种方法. 所 以不同的 f 共有 34=81(个).

(3)分为如下四类: 第一类,A 中每一元素都与 1 对应,有 1 种方法; 第二类, 中有两个元素对应 1, A 一个元素对应 2, 另一个元素与 0 对应, C2·C1 有 4 2 =12 种方法; 第三类,A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C2·C2=6 种方法; 4 2 第四类, 中有一个元素对应 1, A 一个元素对应 3, 另两个元素与 0 对应, C1·C1 有 4 3 =12 种方法. 所以不同的 f 共有 1+12+6+12=31(个).


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