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2016高考数学二轮精品复习材料(5):等差等比


第五讲 等差等比
★★★高考在考什么 【考题回放】 1.在等差数列 A. 0

{an } 中, a6 ? a3 ? a8 ,则 S 9 ? ( A )
C. ? 1 D. -1 或 1
2

B. 1

2.(安徽)直角三角形三边成等比数列,公比为 q ,则 q 的值为( D )

>
A. 2 3.已知数列{ A. 9

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2

an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? ( B )
B. 8 C. 7 D. 6

An 7n ?4 an 5 ? B 且 Bn {a } {b } n?3 , b 4.已知两个等差数列 n 和 n 的前 n 项和分别为 A n 和 n , 则使得 n 为整数的正整数 n 的个数是( D )
A.2 B.3 C.4 D.5 B )

5.设等差数列 A.2

?an ? 的公差 d 不为 0,a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ?(
C.6 D.8

B.4

6. 等比数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比
1 .3



★★★高考要考什么 等差数列的证明方法:1. 定义法:2.等差中项:对于数列 等差数列的通项公式:

?an ?,若 2an?1 ? an ? an?2
n(n ? 1) d 2

an ? a1 ? (n ? 1)d ------该公式整理后是关于 n 的一次函数
n(a1 ? a n ) 2

Sn ? 等差数列的前 n 项和 1.

2.

S n ? na1 ?

3.

S n ? An2 ? Bn
A? a?b 2 或

等差中项: 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即:

2A ? a ? b
等差数列的性质:1.等差数列任意两项间的关系:如果

an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差

a ? am ? (n ? m)d 数列的第 m 项,且 m ? n ,公差为 d ,则有 n

对 于 等 差 数 列

?an ?

a ? am ? a p ? aq , 若 n?m? p?q , 则 n 。 也 就 是 :


a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??
3.若数列 成

?an ?是等差数列,S n 是其前 n 项的和,k ? N * ,那么 S k ,S 2k ? S k ,S 3k ? S 2k
差 数 列 。 如 下 图 所 示 :



S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

4.设数列

?an ?是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和,
S 偶 ? S奇 ?

则有如下性质:

○ 1 当 n 为偶数时,

S奇 n ? 1 n ? d S 奇 ? S偶 ? a中 S偶 n , 2 , ○ 2 当 n 为奇数时,则 ,
a n ?1 ? q ( q ? 0) an
2 an an ? 2 ? an ?1 ,则数列

等比数列的判定方法:①定义法:若

②等比中项:若

?an ?是等比数列。
等比数列的通项公式 : 如果等比数列

?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为

an ? a1q n?1 。
Sn ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q
Sn ? a1 ? a n q (q ? 1) 1? q

等比数列的前 n 项和:○ 1
S n ? na1

○ 2

○ 3 当 q ? 1 时,

等比中项:如果使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。那么 G ? ab 。
2

等比数列的性质: 1.等比数列任意两项间的关系:如果

an 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,

n ?m q 且 m ? n ,公比为 ,则有 an ? am q

对 于 等 比 数 列

?an ?

a ? a ? au ? av 也 就 是 : , 若 n?m ? u ?v , 则 n m


a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ??

* 3.若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成

S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ?

等比数列。如下图所示: ★★ 突 破 重 难 点

Sk

S 2k ? S k

S 3k ? S 2 k

1 1 1 S 3与 S 4 S5 ? ? a 设 S n 的前 n 项和,已知 3 n 是等差数列 4 的等比中项为 5 , 【范例 1 】 1 1 S 3与 S 4 3 4 的等差中项为 1,求数列 ?a n ? 的通项.
1 1 ?1 S 3 ? S4 ? ( S5 )2 ? ?3 4 5 ? 1 1 ? S ? S ?2 3 4 4 ?3 解析 由已知得 ? ,

? 3a1d ? 5d 2 ? 0 ? ? 5 ? 2a1 ? d ? 2 2 即? ,

12 ? d?? ? ?d ? 0 ? 5 ? ? a ? 1 ? a1 ? 4 解得 ? 1 或

? an ? 1 或

an ?

32 12 ? n 5 5

a ?1 或 经验证 n

an ?

32 12 ? n 5 5 均满足题意,即为所求.

S { n} S ? ? a 【点睛】若 n 是等差数列 n 的前 n 项和,则数列 n 也是等差数列.本题是以此背景
设计此题. 【变式】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等,且都等于 d(d>0,d ≠1).若 a1=b1,a3=3b3,a5=5b5,求 an,bn.
2 ? ?a1 ? 2d ? 3a1d ? 4 ?a ? 4d ? 5a1d 解:由已知 ? 1

①②

由①,得 a1(3d2-1)=2d ③ 由②,得 a1(5d4-1)=4d ④ 因为 d≠0,由③与④得 2(3d2-1)=5d4-1, 即 5d4-6d2+1=0,解得 d=±1,d=±

5 5 . 5 ∵d>0,d≠1,∴d= 5 .代入③,得 a1=- 5 ,故 b1=- 5 . 5 5 5 an=- 5 + 5 (n-1)= 5 (n-6) ,bn=- 5 ×( 5 )n-1.

本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质,方程(组)的解法以及运算能力和分析能力. 【范例 2】下表给出一个“三角形数阵”:

1 4
1 1 2,4 3 3 3 4 , 8 , 16
? ? ? ? 已知每一列的数成等差数列; 从第三行起, 每一行的数成等比数列, 每一行的公比都相等. 记 第 i 行第 j 列的数为 aij ( i≥j, i, j∈ N*). (1) 求 a83; (2) 试写出 a ij 关于 i, j 的表达式; (3) 记第 n 行的和为 An,求

An ? an1 ? an2 ? ?? ? ann .

解析 (1)由题知

? ?
an 1

1 1 1 d ? , a81 ? 2 a11 ? , a21 ? 4 4 2 ,所以公差 成等差数列,且 。
3 3
.又公比都相等,∴ 每行的公比是

?a ? 成 等 比 数 列 , 且 a31 ? 4 , a32 ? 8 又
3n

q?

1 1 1 a83 ? 2 ? ( ) 2 ? 2 2. 2 .∴ ai1 ? 1 1 i 1 i 1 1 ? (i ? 1) ? ? aij ? ai1 ? ( ) j ?1 ? ? ( ) j ?1 ? i( ) j ?1 4 4 4 ,∴ 2 4 2 2 .

(2)由(1)知,

(3)

An ? an1[1 ?

1 1 2 1 n 1 n 1 ? ( ) ? ? ? ( ) n?1 ] ? [2 ? ( ) n?1 ] ? ? n( ) n?1 2 2 2 4 2 2 2 .

【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识. 【文】 在等比数列{a n}中, 前 n 项和为 Sn, 若 Sm, Sm+2, Sm+1 成等差数列, 则 am, am+2, am+1 成等差数列 (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真,并给出证明 解析(1)逆命题:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am, am+2, am+1 成等差数 列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 (2)设{an}的首项为 a1,公比为 q. 由已知得 2am+2= am + am+1
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∴ 2a1qm+1=a1 q

m?1

+a1qm

1 ∵ a1≠0 q≠0 ,∴ 2q2-q-1=0 , ∴ q=1 或 q=- 2

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当 q=1 时,∵ Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1,

∴ Sm+Sm+1≠2 Sm+2,

∴ Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列

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1 当 q=- 2 时,

2Sm? 2

1 m? 2 2a1[1 ? (? )m? 2 ] 4 ? ? 1? ? 2 ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? 1 3 ? ? ? 2? ? ? 1? 2 ,

1 1 m? 2 a1[1 ? (? ) m ] a1[1 ? (? ) m?1 ] 4 ? ? 1? ? 2 ? 2 Sm ? Sm?1 ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? ? 2? ? ? 1? 1? 2 2
∴ Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴ Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 综上得:当公比 q=1 时,逆命题为假;当公比 q≠1 时,逆命题为真 【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处.
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【变式】等差数列 (Ⅰ )求数列

{an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 .

{an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ;
Sn (n ? N? ) {b } n ,求证:数列 n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

(Ⅱ )设

bn ?

解: (Ⅰ )由已知得

? ?a1 ? 2 ? 1, ? ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2

,? d ? 2 ,



an ? 2n ?1? 2,Sn ? n(n ? 2) .
bn ? Sn ? n? 2 n .

(Ⅱ )由(Ⅰ )得 假设数列

2 {bn } 中存在三项 bp,bq,br( p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq ? bpbr .
2 2

即 (q ? 2) ? ( p ? 2)(r ? 2) . ?(q ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0

p,q,r ? N? ,
2 ?q 2 ? pr ? 0, ? p?r ? ?? ?? ( p ? r )2 ? 0, ?p?r ? ? pr, 2 q ? p ? r ? 0 , 2 ? ? ? .

与 p ? r 矛盾.

所以数列

{bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列. a1 , a2 ...an ( n 是 正 整 数 ) a ? an , a2 ? an?1....an ? a1 即 ,满足 1

【范例 3】若有穷数列

ai ? an?i ?1 ( i 是正整数,且 1 ? i ? n ) ,就称该数列为“对称数列” 。

(1)已知数列 试写出

?bn ? 是项数为 7 的对称数列,且 b1 , b2 , b3 , b4 成等差数列, b1 ? 2, b4 ? 11,

?bn ? 的每一项 ?cn ? 是项数为 2k ?1? k ? 1? 的对称数列,且 ck , ck ?1...c2k ?1 构成首项为
50,公差

(2)已知

为 ?4 的等差数列, 数列 最大值为多少?

S ?cn ? 的前 2k ? 1 项和为 S2k ?1 , 则当 k 为何值时, 2 k ?1 取到最大值?
2 m?1

(3)对于给定的正整数 m ? 1 ,试写出所有项数不超过 2 m 的对称数列,使得 1, 2, 2 ...2 成为数列中的连续项;当 m ? 1500 时,试求其中一个数列的前 2008 项和 解: (1)设

S2008
数列

?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得

d ? 3 ,?

?bn ?

5 8 11,,, 8 5 2 为 2,,, .

(2)

S 2k ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1 ? 2( ck ? ck ?1 ? ? ? c2k ?1 ) ? ck , S 当 k ? 13 时, 2 k ?1 取得最大值为 626.

S 2k ?1 ? ?4( k ? 13) 2 ? 4 ?132 ? 50,?
(3)所有可能的“对称数列”是: ①

1,, 2 22, , 2m?2, 2m?1, 2m?2, , 22,, 21





1 ,, 2 22, , 2m?2, 2m?1, 2m?1, 2m?2, , 22,, 2 1;



2m?1, 2m?2, , 22,, 2 1,, 2 22, , 2m?2, 2m?1





2m?1, 2m?2, , 22,, 2 1, 1,, 2 22, , 2m?2, 2m?1 .

对于① ,当 m ≥ 2008 时, 当 1500 ? m ≤ 2007 时,

S 2008 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 2007 ? 2 2008 ? 1. S 2008 ? 1 ? 2 ? ? ? 2m?2 ? 2m?1 ? 2m?2 ? ? ? 22m?2009

? 2 m ? 1 ? 2 m?1 ? 2 2 m?2009 ? 2 m ? 2 m?1 ? 2 2 m?2009 ? 1 .

S2 对 于 ② , 当 m ≥ 2008 时 ,
S 2008 ? 2 m?1 ? 2 2 m?2
0 0 8 ? 1.

0

2 ? 02 8

0

0 8 ? 1 . 当 1 5 ? 0m0 ≤

2 0, 0 7 时

S 对 于 ③ , 当 m ≥ 2008 时 , 2
S 2008 ? 2 m ? 2 2
0 ?m 0 9

0 0 8

? 2 m ? 2 m? 2

0 0 8

; 当 1500 ? m ≤ 2007 时 ,

? 3.

S 对 于 ④ , 当 m ≥ 2008 时 , 2
S 2008 ? 2 m ? 2 2
0 ?m 0 8

0 0 8

? 2 m ? 2 m? 2

0 0 8

; 当 1500 ? m ≤ 2007 时 ,

? 2.

【点睛】在看懂题目意思基础上,注意各种情况的讨论,考察观察,分析,运用能力
a2, a3, , am ( m 为正整数)满足条件 a1 ? am , a2 ? am?1 ,?, 【文】如果有穷数列 a1,

am ? a1 ,即 ai ? am?i ?1 ( i ? 1,, 2 , m) ,我们称其为“对称数列” .
2 5 2 1 与数列 8, 4, 2, 2, 4, 8 都是“对称数列” 例如,数列 1,,,, .

(1)设 次写出

?bn ?是 7 项的“对称数列” b, b, b 是等差数列,且 b1 ? 2 , b4 ? 11.依 ,其中 b ,
1 2 3 4

?bn ?的每一项; ?cn ?是 49 项的“对称数列” ,其中 c
25

(2)设 求

, c26, , c49 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,

?cn ?各项的和 S ;
? d n ?是 100 项的“对称数列” ,其中 d
51

(3)设 列.求

, d52, , d100 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数

? d n ? 前 n 项的和 S n ( n ? 1,, 2 , 100 ) .
?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得
d ? 3,

解: (1)设数列

?
(2)

数列

?bn ?为 2,,, 5 8 11,,, 8 5 2 .

S ? c1 ? c2 ? ? ? c49 ? 2(c25 ? c26 ? ? ? c49 ) ? c25 ? 2 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 24 ? 1 ? 2 2 25 ? 1 ? 1 ? 2 26 ? 3 ? 67108861.

?

?

?

?

d 2, , d50 (3)d51 ? 2, d100 ? 2 ? 3 ? (50 ? 1) ? 149 . 由题意得 d1, 是首项为 149 , 公差为 ? 3 的

等差数列.

S ? d1 ? d 2 ? ? ? d n 当 n ≤ 50 时, n
当 51 ≤ n ≤ 100 时,

? 149 n ?

n(n ? 1) 3 301 (?3) ? ? n 2 ? n 2 2 2 .

S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n ? S50 ? ?d 51 ? d 52 ? ? ? d n ?
? 3775 ? 2 (n ? 50) ?

3 2 299 (n ? 50)(n ? 51) n ? 7500 ?3 ? n ? 2 2 2 .

? 3 2 301 ? n ? n, 1 ≤ n ≤ 50, ? ? 2 2 Sn ? ? ? 3 n 2 ? 299 n ? 7500, 51 ≤ n ≤ 100. ? ?2 2 综上所述,


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