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高中数学人教A版必修四全优课堂同步课件2.5平面向量应用举例

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自学导引 1 .证明线段平行问题,常用向量平行 ( 共线 ) 的等价条件: b∥a(a≠0)?b=λa 或 b∥a(a≠0)?x1y2-x2y1=0(其中 a=(x1,y1), b=(x2,y2)). 2.证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向 量垂直的等价条件: a⊥b?a· b=0 或 a⊥b?x1x2+y1y2=0(其中 a= (x1,y1),b=(x2,y2)). 3.求直线的夹角问题,常转化为求两向量的夹角(或补角), x1x2+y1y2 a· b 求向量夹角的公式为:cos θ= = 2 2 2 2(其中 a=(x1, |a||b| x1+y1· x2+y2 y1),b=(x2,y2)). 4.速度、加速度、力、位移都是向量,它们的合成与分解就 是向量的加、减 ______运算. 位移 的数量积. 5.功是力与______ 自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12, 求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值. 解: 如图,设直角三角形 ABC 的∠C=90° ,D,E 分别是 BC,AC 边的中点,BC=10,AC=12. 则 CD=5,CE=6. → 所以|AD|= 122+52=13, → |BE|= 62+102= 136. → → → → → → AD· BE=(AC+CD)· (BC+CE) =0+12×6×(-1)+5×10×(-1)+0=-122. → → -122 AD · BE 61 34 → → 于是 cos〈AD,BE〉= = =- 442 . → → 13×2 34 |AD||BE| 61 34 故两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值为 442 . 预习测评 1.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时 作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力 f4,则 f4 等于( ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 【答案】D 2. 坐标平面内一只小蚂蚁以速度 v=(1,2)从点 A(4,6)移动到点 B(7,12),其所用时间长为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】B 3.某船在平静湖面的速度大小为 a,现船沿水流速度为 v 的 河流顺流而下,则此向的实际速度为________. 【答案】a+v 4.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进 60 m,若牵绳与行进方 向夹角为 30° ,纤夫的拉力为 50 N .则纤夫对船所做的功为 ________. 【答案】1 500 3(J) 要点阐释 1.向量方法在几何中的应用主要体现在以下五个方面: → → ①证明线段相等,如证明 AB=CD,要转化为证明|AB|=|CD|, → → 如果需要,还可证明|AB|2=|CD|2.若知道线段的端点坐标,则可求 其模. ②证明线段平行,如证明 AB∥CD,则只要证明:存在实数 → → λ≠0,使AB=λCD,且 AB 与 CD 无公共点.如果知道线段端点的 坐标,还可采用坐标形式 x1y2-x2y1=0. → → ③证明线段垂直,如证明 AB⊥CD,则只要证明AB· CD=0, 如果给出了向量坐标,则可用 x1x2+y1y2=0. ④证明三点 A,B,C 共线,则只要证明:存在实数 λ≠0,使 → → AB=λAC.如果知道三点 A,B,C 的坐标 A(x1,y1), B(x2, y2),C(x3, y3),则可用(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0. →

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