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11-12学年高中数学 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义同步练

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选修 2-2
一、选择题 1.已知 z1=a+bi,z2=c+di,若 z1-z2 是纯虚数,则有( A.a-c=0 且 b-d≠0 B.a-c=0 且 b+d≠0 C.a+c=0 且 b-d≠0 D.a+c=0 且 b+d≠0 [答案] A [解析] z1-z2=(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i, ∵z1-z2 是纯虚数, ∴a-c=0 且 b-d≠0. 故应选 A. 2.[(a-b)-(a+b)i]-[(a+b)-(a-b)i]等于( A.-2b-2bi B.-2b+2bi C.-2a-2bi D.-2a-2ai [答案] A [解析] 原式=[(a-b)-(a+b)]+[-(a+b)+(a-b)]i=-2b-2bi. 3.如果一个复数与它的模的和为 5+ 3i,那么这个复数是( A. 11 5 ) ) )

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

B. 3i C. D. 11 + 3i 5 11 +2 3i 5

[答案] C [解析] 设这个复数为 a+bi(a,b∈R), 则|a+bi|= a +b . 由题意知 a+bi+ a +b =5+ 3i 即 a+ a +b +bi=5+ 3i
2 2 2 2 2 2

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?a+ a2+b2=5 ∴? ?b= 3
11 ,解得 a= ,b= 3. 5

11 ∴所求复数为 + 3i.故应选 C. 5 4.已知复数 z1=3+2i,z2=1-3i,则复数 z=z1-z2 在复平面内对应的点 Z 位于复平面 内的( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] A [解析] ∵z1=3+2i,z2=1-3i, ∴z=z1-z2=3+2i-(1-3i)=(3-1)+(2+3)i=2+5i. ∴点 Z 位于复平面内的第一象限.故应选 A. 5.?ABCD 中,点 A,B,C 分别对应复数 4+i,3+4i,3-5i,则点 D 对应的复数是( A.2-3i B.4+8i C.4-8i D.1+4i [答案] C → [解析] AB对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i, → 设点 D 对应的复数为 z,则DC对应的复数为(3-5i)-z. → → 由平行四边形法则知AB=DC, ∴-1+3i=(3-5i)-z, ∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故应选 C. 6. 已知 z1=m -3m+m i, z2=4+(5m+6)i, 其中 m 为实数, 若 z1-z2=0, 则 m 的值为( A.4 B.-1 C.6 D.0 [答案] B [解析] z1-z2=(m -3m+m i)-[4+(5m+6)i] =(m -3m-4)+(m -5m-6)i=0
2 2 2 2 2 2

)

)

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?m -3m-4=0 ? ∴? 2 ?m -5m-6=0 ?
2

解得 m=-1,故应选 B. )

7.已知|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z=( A.-3i B.3i C.±3i D.4i [答案] B

[解析] 令 z=a+bi(a,b∈R),则 a +b =9 ① 又 z+3i=a+(3+b)i 是纯虚数 ∴?
? ?a=0 ? ?b+3≠0

2

2



由①②得 a=0,b=3, ∴z=3i,故应选 B. 8.已知 z1,z2∈C 且|z1|=1,若 z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是( A.6 B.5 C.4 D.3 [答案] C [解析] 设 z1=a+bi(a,b∈R,a +b =1)
2 2

)

z2=c+di(c,d∈R)
∵z1+z2=2i ∴(a+c)+(b+d)i=2i ∴?
?a+c=0 ? ? ?b+d=2

∴?

?c=-a ? ? ?d=2-b



∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|=|2a+(2b-2)i| = (2a) +(2b-2) =2 a +(b-1) =2 a +b +1-2b=2 2-2b. ∵a +b =1,∴-1≤b≤1 ∴0≤2-2b≤4,∴|z1-z2|≤4. 9.复数 z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则 2 +4 的最小值为( A.2 B.4
-3x y
2 2 2 2 2 2 2 2

)

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C.4 2 D.8 2 [答案] C [解析] ∵|z-4i|=|z+2|,且 z=x+yi ∴|x+(y-4)i|=|x+2+yi| ∴x +(y-4) =(x+2) +y ∴x=-2y+3, ∴2 +4 =2
x y
-2y+3 2 2 2 2

1 y y +4 =8· y+4 ≥4 2. 4 )

10.若 x∈C,则方程|x|=1+3i-x 的解是( 1 3 A. + i 2 2 B.x1=4,x2=-1 C.-4+3i 1 3 D. + i 2 2 [答案] C [解析] 令 x=a+bi(a,b∈R) 则 a +b =1+3i-a-bi
2 2

? a2+b2=1-a 所以? ?0=3-b

,解得?

? ?a=-4 ?b=3 ?

故原方程的解为-4+3i,故应选 C. 二、填空题 11.若 z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2∈R),则|z2-z1|=______________. [答案] (x2-x1) +(y2-y1)
2 2

[解析] ∵z1=x1+y1i,z2=x2+y2i, ∴z2-z1=(x2-x1)+(y2-y1)i, ∴|z2-z1|= (x2-x1) +(y2-y1) . 12.已知 z1= 3 a+(a+1)i,z2=-3 3b+(b+2)i(a,b∈R),若 z1-z2=4 3,则 a+ 2
2 2

b=________.
[答案] 3 [解析]

z1-z2=

3 ? 3 ? a+(a+1)i-[-3 3b+(b+2)i]=? a+3 3b?+[(a+1)-(b+ 2 ?2 ?

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2)i] =?

? 3 ? a+3 3b?+(a-b-1)i=4 3, ?2 ?
,解之得?
? ?a=2 ?b=1 ?

? ? 3a+3 3b=4 3 ∴? 2 ? ?a-b-1=0
∴a+b=3.



13.计算:(2+7i)-|-3+4i|+|5-12i|i+3-4i=______. [答案] 16i [解析] 原式=2+7i-5+13i+3-4i =(2-5+3)+(7+13-4)i=16i. → → 14.复平面内三点 A、B、C,A 点对应的复数为 2+i,BA对应的复数为 1+2i,向量BC对 应的复数为 3-i,则点 C 对应的复数为________. [答案] 4-2i → [解析] ∵BA对应的复数是 1+2i, →

BC对应的复数为 3-i,
→ ∴AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. → → → 又OC=OA+AC, ∴C 对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. 三、解答题 15.计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). [解析] 解法 1:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =[(5-2)+(-6-1)i]-(3+4i) =(3-7i)-(3+4i) =(3-3)+(-7-4)i=-11i. 解法 2:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =(5-2-3)+[-6+(-1-4)]i =0+(-11)i=-11i. 16.已知复数 z1=2+3i,z2=a-2+i,若|z1-z2|<|z1|,求实数 a 的取值范围. [解析] z1-z2=2+3i-[(a-2)+i]=[2-(a-2)]+(3-1)i=(4-a)+2i 由|z1-z2|<|z1|得 ∴ (4-a) +4< 4+9,∴(4-a) <9,∴1<a<7 ∴a 的取值范围为(1,7).
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5 12 17.已知 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ -isinβ 且 z1-z2= + i,求 cos(α +β ) 13 13 的值. [解析] ∵z1=cosα +isinα ,z2=cosβ -isinβ 5 12 ∴z1-z2=(cosα -cosβ )+i(sinα +sinβ )= + i 13 13 5 ? ?cosα -cosβ =13 ∴? 12 ?sinα +sinβ =13 ?
2 2

① ②

① +② 得 2-2cos(α +β )=1 1 即 cos(α +β )= . 2 18.(1)若 f(z)=z+1-i,z1=3+4i,z2=-2+i,求 f(z1-z2); (2)z1=2cosθ -i,z2=- 2+2isinθ (0≤θ ≤2π ),且 z1+z2 对应的点位于复平面的 第二象限,求 θ 的范围. [解析] (1)z1-z2=3+4i-(-2+i)=5+3i,

f(z1-z2)=(z1-z2)+(1-i)=5+3i+1-i=6+2i.
(2)z1+z2=(2cosθ -i)+(- 2+2isinθ )=(2cosθ - 2)+(2sinθ -1)i, 2 ? ?cosθ < 2 ,即? 1 sinθ > ? ? 2

?2cosθ - 2<0 由题意得:? ?2sinθ -1>0

又 θ ∈[0,2π ],故 θ ∈?

?π ,5π ?. ? ?4 6 ?

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