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2009-2012年江苏省数学竞赛初赛试题(原题+详解)


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= 填 0. 解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 si

nα=-1,cosβ=-1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k = . 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= 解:由(2b)2=2c×2a?a2-c2=ac?e2+e-1=0?e= 4.已知 3x+1 1 = - ,则实数 x= 9x-1 3-31 x . -1+ 5 . 2 . .

1 3x 解:即 x = x ?32x-4×3x+3=0?3x=1(舍去),3x=3?x=1. 3 -1 3(3 -1) 5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的 中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 .
A

解: A、 B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角形 PQR 为底的高. 故 其比值等于这两个三棱锥的体积比. 1 1 1 1 1 1 1 VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD, 3 3 3 9 4 1 4 4 VRBPQ= VRBCD= × VABCD= VABCD. 9 2 9 18 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 又,可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值:
B

R D Q P C

A N R D B M Q P C

在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交点. 由 Menelaus 定理知, BM DQ CP DQ 1 CP 1 BM · · =1,而 = , = ,故 = 4. MD QC PB QC 2 PB 2 MD

在面 ABD 内,作射线 MR 交 AB 于点 N,则 N 为面 PQR 与 AB 的交点. 由 Menelaus 定理知, BM DR AN BM DR AN 1 · · =1,而 =4, =1,故 = . MD RA NB MD RA NB 4

∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 .

解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)?0 的 x 的取值范围为[3,4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高 未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净 水水箱中最少可以存水 cm3.
A R R O R C

解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200) =30×2700. ∴ 至少可以存水 78000cm3. → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO = → → → 解:设| AO |=| BO |=| OC |=R.则 → → → → → → → → → BC · AO =( BO + OC )· AO = BO · AO + OC · AO =R2cos(π-2C)+R2cos2B 1 1 1 25 =R2(2sin2C-2sin2B)= (2RsinB)2- (2RsinC)2= (122-132)=- . 2 2 2 2 .
B

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和为 解:若 an+1≠0,则 an=2- 2 2 ,故 a2008=2- 2,a2007=2- =- 2,a2006=2+ 2,a2005= 2. an+1 2- 2



an+1-2 2 2 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- ,则 an-1= ,a - = ,a - =a + ,故 an-4=an. an+1 an+1-1 n 2 2-an+1 n 3 n 1 于是, Σ an=502(a1+a2+a3+a4)+a2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+ 2.
2009 k=1

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= 解:若 a 为负整数,则 a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0.



于是 a2=2b(a+b)<2(a+1)?a2-2a-2<0?0?a<1+ 3?a=0,1,2.

a=0 时,b=0; a=1 时,2b2+2b-1=0?b= 3-1 ; 2

a=2 时,b2+2b-2=0?b= 3-1. 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x]2=2{x}x. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以 9 4 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.
2 2 ?4x +9y =36, 解:取方程组? 代入得,25y2-64y+28=0. ?x=2y-4.

y B

14 此方程的解为 y=2,y= . 25 即得 B(0,2),A(- 72 14 , ),又左焦点 F1(- 5,0). 25 25
C

A F O x

连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形. 1 72 1 14 1 得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5). 2 25 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 1 14 1 直线与 x 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5)× = (72+7 5). 2 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 14 72 72 14 1 144 14 所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 5)× +(- 5)×0-0×0)= ( + 5) 2 25 25 25 25 2 25 25 1 = (72+7 5). 25 12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD= ∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB ∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. ∴ cosA= AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28· 4 11 = = = . 2AC· AE 2· 14· 16 2· 14· 16 16
A D E B C

11 ∴ BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA=142+282-2· 14· 28· =72· 9?BC=21. 16 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 解法一:显然 k>0.( x+ y)2?k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+(k2-1)y?0 对于 x,y>0 恒成立.

令 t=

x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)?0 对一切 t>0 恒成立. y

当 2k2-1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0. 2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 1 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k2-1= 2 = . 2k - 1 2k - 1 2k - 1 2k - 1 2k2-1 当 2k2-1>0 且 2k2-3?0,即 k? ∴ k∈ [ 6 ,+∞). 2 ( x+ y)2 x+2 xy+y = .令 t= 2x+y 2x+y t2+2t+1 1 4t+1 x >0,则 k2? 2 = (1+ 2 ). y 2 2t +1 2t +1 6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2

解法二:显然 k>0,故 k2? 令 u=4t+1>1,则 t= 8 s(u)= ? 9 u+ - 2 2 u 8 9 u· - 2 u

u- 1 8u .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 4t+1 1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2)= . 2 2 2t +1 2

3 6 ∴k2? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 又:令 s(t)= 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) -8t2-4t+4 1 1 ,则 s?(t)= = ,t>0 时有驻点 t= .且在 0<t< 时,s?(t) 2 2 2 2t +1 (2t2+1)2 (2t2+1)2

1 1 1 1 3 >0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2? (1+s( ))= . 2 2 2 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2?( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)? 当 k< 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式不能恒成立. 2 4 2 2 2 2 2 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y? 2x+y?k 2x+y,故不等式恒成立. 2 2

而当 k? ∴ k∈ [

6 ,+∞). 2

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结论. 解:对于任意 n∈N*,n2≡0,1(mod 4). 设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4),均有 ab≡0(mod 4), 此时,ab+10≡2(mod 4), 故 ab+10 不是完全平方数; ② 若 a≡b≡1(mod 4), 或 a≡b≡3(mod 4),则 ab≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡ / b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整除.

⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13,则 2×3+10=42,2×13 +10=62,3×13+10=72. 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为,任取 4 个不同自然数,若其中有 4 的倍数,则它与其余任一个数的积加 10 后不是完全平方数, 如果这 4 个数都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个数的积加 10 后不是完全平方数. 故证.

2010 年全国高中数学联赛
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1.方程 9 2.函数 3.在△ 4.函数
x

? 1 ? 3x ? 5 的实数解为

. . = .

y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB
f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1?
2

在区间

?0, 2? 上的最大值是

,最小值是



5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ 其中 6.设函数

ABC 的边有公共点,


A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为
f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数
个零点.

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 .

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其

(第 7 题)

中镀

2金

2 银的概率是
9.在三棱锥



A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

??

,且 cos ?

?

10 10

.已知棱

AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为



10.设复数列

?xn ? 满足 xn ? a ? 1, 0 ,且 xn?1 ?


a xn .若对任意 n ? N* 都有 xn ?3 ? xn , xn ? 1

则 a 的值是

二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.直角坐标系 xOy 中,设

A 、 B 、 M 是椭圆 C :

???? ? 3 ??? ? 4 ??? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 OM ? OA ? OB ,证 5 5 4

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 明: AB 的中点在椭圆 2
12.已知整数列

?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 ?an ? 的通项公式;
? am?1 ? am?2 ? amam?1am?2 .

成等比数列. (1) (2) 求数列

求出所有的正整数 m ,使得 am

13.如图,圆内接五边形

ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H .
AC 、 DC
分别交于点 F 、 G .

过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 证明: (1) 点

A 、 B 、 F 、 H 共圆;

(2) 四边形 BFCG 是矩形. 14.求所有正整数 x ,

y ,使得 x 2 ? 3 y 与 y 2 ? 3x 都是完全平方数.
参考答案

1、x<0 无解; 当 x

? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32.
k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2

2、与 f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [ 3、

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 .

4、极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 8 5 5、画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5 6、f(2k-1)=0,k∈Z. 一个零点恰为 x 又可作一个函数

f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的
所以至少有 50 个零点.

? 2k ? 1 ,k∈Z.

7、不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以.

8、穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为

1 . 3

9、4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10、由 xn ?1

?

a 3 xn a xn a xn ? 2 a 2 xn?1 ? xn , xn ?3 ? ? ? 2 xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn?1 ? 1 ? a ? a ? 1? xn ? 1
2

恒成立,即

?a

? a ? 1? xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 .

因为 xn

? a ? 1或 0 ,故 a2 ? a ? 1 ? 0 ,所以

1 3 a?? ? i. 2 2
11、解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 由 OM x12 x2 +y12=1, 2 +y22=1. 4 4

???? ?

? 4 ??? ? 3 ??? ? OA ? OB ,得 5 5

3 4 3 4 M( x1+ x2, y1+ y2). 5 5 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x2 3 x2 4 3 4 xx 即 ( 1 +y12)( )2+( 2 +y22)( )2+2( )( )( 1 2+y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 xx 得 ( )2+( )2+2( )( )( 1 2+y1y2)=1,故 5 5 5 5 4 x1x2 +y1y2=0. 4 x1+x2 y1+y2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2 ( 所以 x1+x2 2 ) 2 y1+y2 2 1 x12 1x2 xx +2( ) = ( +y12)+ ( 2 +y22)+ 1 2+y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 ………………20 分 …………………14 分

…………………6 分

x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

12、解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. …………………6 分

当 n?6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n?5 时,an =2n-5.

?n-4,n?4, 故 an =? n-5 ?2 , n?5. (2) 由(1)知,数列

…………………10 分

?an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,…

当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

…………………15 分

当 m?5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. 13、证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, …………………20 分

E

∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; …………………8 分 (2) ∵ 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, CG⊥AC, …………………14 分

A

H F B G C

D

又 AD 是圆的直径,∴

由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, …………………20 分

14、解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ ∴ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. ………………5 分

若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ ∴ x2+3y 是完全平方数, x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数.



y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2,



y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, …………………15 分

得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11).

…………………20 分

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i) ? (1 ? i) ?
4 4 2 2



2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示).

4. 已知 cos 4? ?

1 4 4 ,则 sin ? ? cos ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3


6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 .

7. 设函数 f ( x) ? x ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是
2



8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n , n ? N * ,
2

则 f [ f (2011)] ?



9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 .

10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 .

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

11.已知圆 x ? y ? 1 与抛物线 y ? x ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.
2 2 2

12.设 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为
2

1,求 b ? c 的最大值和最小值.
2 2

13.如图,P 是 ? ABC 内一点. (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? (2) 若 ?BPC ? 90? ? 的内心. 14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得

1 ?BAC ; 2
A

1 1 证明: P 是 ? ABC ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC , 2 2

n0 ? ? 为正有理数.

P B C

证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

11.已知圆 x ? y ? 1 与抛物线 y ? x ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.
2 2 2

解:设公共点(cosθ,sinθ),代入抛物线方程, 得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 因为 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 h ? ? ?
2

1 2

5 4

? 5 ? ,1? ? 4 ?

12.设 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b ? c 的最大值和最小值.
2 2

解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取得, 故有 f (2) ? f (3) ? 1 ,从而 b ? ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b ? 4c ? 0 ,
2

4 ? ? ?b ? ? 5 , ? f ( ?2) ? 0, ? 4 ? 2b ? c ? 0, ? ? ? 在区间 ? ?2,2? 有 ? f (2) ? 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ? 0, 消去 c,解出 ?b ? ?4, ? ? ?4 ? b ? 4, ? ?4 ? b ? 4, b ? ?2 ? ? 2, ? ? ? 2 ?
即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 .
2

综上 ?5 ? b ? ?4 . 所以 b ? c ? b ? (?3b ? 8) ? 10b ? 48b ? 64 ,单调递减
2 2 2 2 2

故 (b ? c )min ? 32,(b ? c )max ? 74 .
2 2 2 2

13.如图,P 是 ? ABC 内一点. (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? (2)若 ?BPC ? 90? ? 证 明

1 ?BAC ; 2

1 1 ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2
: ( 1 )

1 1 1 ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC) ? 90? ? ?BAC 2 2 2
P B

A

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得

n0 ? ? 为正有理数.

证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. 证明:设 n0 ? ? ?

q q2 ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p
2 2

设 k 为任意的正整数,构造 n ? p k ? 2qk ? n0 ,

则 n ?? ?

p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ?

p 2 k 2 ? 2qk ?

q2 q ? pk ? ? Q . 2 p p

2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ?[?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为____________. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ____________.

3、从集合

?3,4,5,6,7,8?中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为____________.

4、已知

a 是实数,方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位),则 | a ? bi | 的
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的 12 4

值为____________. 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C

:

直线 l 与双曲线 C 交于 6、已知

A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为

a 是正实数, k ? alg a 的取值范围是____________.
ABCD 中 , AB ? AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该 四 面 体 的 体 积 为
知 等 差 数 列

7、在四面体

____________. 8 、 已

?an?











?bn?







a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35, 则 an ? bn ? ____________.( n ? N * )

71, 75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排列 9、将 27,37,47,48,55,
有____________种. 10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ____________. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分 12 、 已 知

? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数为

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

a f ( x) ?| ln x ? | ?b( x ? 0) x

. 若

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a, b ; (3)若实数 c, d 满足 c

e ? ln 2 ? 1 . 2
f ( x) 的单调区间;

(2)求函数

? d , cd ? 1,求证: f (c) ? f (d )
A 为圆 O 上的动点 . 在射线

13 、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M ,

OM 上有一动点 B , AB ? 1, OB ? 1 .线段 AB 交圆 O 于另一点 C ,

D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x 积为 ab 的直角三角形. 12.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整数且面

13、


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