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浙江省湖州市六校2014-2015学年高二上学期第一次联考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省湖州市六校联考高二(上)第一次月考数 学试卷
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱 2.在 x 轴上的截距为 2 且倾斜角为 135°的直线方程为( A. y=﹣x+2 B. y=﹣x﹣2 C.

y=x+2 D. y=x﹣2 )

3.在空间直角坐标系中,点 A(3,﹣2,4)关于 xOy 平面的对称点的坐标为( ) A. (3,﹣2,4) B. (3,2,4) C. (﹣3,﹣2,4) D. (3,﹣2,﹣4) 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A.

B.

C.

D. 1

5.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A. l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 B. l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C. l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 D. l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面



6.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,E 为棱 SC 的中点,若 AC=

AB 且 SA=SB=SC=AB=BC,则异面

直线 AC 与 BE 所成的角为(



A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7.直线 x﹣2y﹣3=0 与圆(x﹣2) +(y+3) =9 交于 E、F 两点,则△EOF(O 是原点)的面 积是( ) A. 2 B. C. D.
2 2

8.已知底面边长为 2,侧棱长为 2 体积为( ) A. B. 4π C. 2π D.

,则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的

9.已知集合 A={(x,y)|x(x﹣1)+y(y﹣1)≤r},集合 B={(x,y)|x +y ≤r },若 A? B,则实数 r 可以取的一个值是( ) A. +1 B. C. D. 1+

2

2

2

10.若直线 y=x+b 与曲线 x=

恰有一个公共点,则 b 的取值范围是( ≤b≤﹣1 D. ﹣1<b≤1 或 b=﹣



A. ﹣1<b≤1 B. ﹣1≤b≤1 C. ﹣

二、填空题(本大题共 7 小题,共 7 空,每空 4 分,共 28 分. ) 11.若直线 ax+2y﹣6=0 与(2a﹣1)x﹣3y+6=0 平行,则 a= 12.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 .



,则这个圆锥的侧面积是

13.三棱锥 P﹣ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D﹣ABE 的体积为 V1,P﹣ABC 的体积为 V2,则 = .

14.已知点 A(2,﹣3) ,B(﹣3,﹣2) ,直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 有交点,则直 线 l 的斜率 k 的取值范围为 .

15.过直线 x+y﹣2 P 的坐标是
2 2

=0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60°,则点 .

2

2

16.已知圆 O:x +y =5,直线 l:xcosθ+ysinθ=1(0 离等于 1 的点的个数为 k,则 k= .

) .设圆 O 上到直线 l 的距

17.如图,在 Rt△ABC 中,AC=1,BC=x,D 为斜边 AB 的中点.将△BCD 沿直线 CD 翻折.若 在翻折过程中存在某个位置,使得 CB⊥AD,则 x 的取值范围是 .

三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (1)若 PQ 是圆 x +y =9 的弦,PQ 的中点是(1,2) ,求弦 PQ 的长度; (2)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上, 求圆心为 C 的圆的标准方程. 19.已知,圆 C:x +y ﹣8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 时,求直线 l 的方程.
2 2 2 2

20.如图,四棱锥 P﹣ABCD,PA⊥底面 ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD= CD=2,PA=2,E,F 分别是 PC,PD 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值.

21.已知点 E(﹣2,0) ,F(2,0) ,曲线 C 上的动点 M 满足

=﹣3,定点 A(2,1) ,

由曲线 C 外一点 P(a,b)向曲线 C 引切线 PQ,切点为 Q,且 满足|PQ|=|PA|. (1)求圆 C 的标准方程; (2)求线段|PQ|长的最小值.

22.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2, AC=1. (1)证明:PC⊥AD; (2)求二面角 A﹣PC﹣D 的正弦值(理科) ; (2)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值(文科) ; (3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长.

2014-2015 学年浙江省湖州市六校联考高二 (上) 第一次 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱 考点: 由三视图还原实物图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 直接从几何体的三视图:正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状,即可. 解答: 解:圆柱的正视图为矩形, 故选:A 点评: 本题考查简单几何体的三视图,考查逻辑推理能力和空间想象力,是基础题. 2.在 x 轴上的截距为 2 且倾斜角为 135°的直线方程为( A. y=﹣x+2 B. y=﹣x﹣2 C. y=x+2 D. y=x﹣2 )

考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题. 分析: 由直线的倾斜角求出直线的斜率,再由在 x 轴上的截距为 2,得到直线与 x 轴的交 点坐标,即可确定出所求直线的方程. 解答: 解:根据题意得:直线斜率为 tan135°=﹣1,直线过(2,0) , 则直线方程为 y﹣0=﹣(x﹣2) ,即 y=﹣x+2. 故选 A 点评: 此题考查了直线的截距式方程,以及倾斜角与斜率的关系,是一道基本题型. 3.在空间直角坐标系中,点 A(3,﹣2,4)关于 xOy 平面的对称点的坐标为( ) A. (3,﹣2,4) B. (3,2,4) C. (﹣3,﹣2,4)D. (3,﹣2,﹣4) 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据关于平面 xoy 对称的点的规律:横坐标、纵坐标保持不变,第三坐标变为它的 相反数,即可求得答案. 解答: 解:由题意,关于平面 xoy 对称的点横坐标、纵坐标保持不变,竖坐标变为它的相 反数,从而有点 A(3,﹣2,4)关于平面 xoy 对称的点的坐标为(3,﹣2,﹣4) . 故选:D. 点评: 本题以空间直角坐标系为载体,考查点关于面的对称,属于基础题. 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A.

B.

C.

D. 1

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析:由三视图可知: 该几何体是一个三棱锥, 其中 PA⊥底面 ABC, PA=2, AB⊥BC, AB=BC=1. 据 此即可得到体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中 PA⊥底面 ABC,PA=2,AB⊥BC, AB=BC=1. ∴ 因此 V= 故选 B. = . = .

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 5.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A. l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 B. l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C. l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 D. l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 )

考点: 平面的基本性质及推论;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为 90°;判断出 B 对;通过举常见的 图形中的边、面的关系说明命题错误.

解答: 解:对于 A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A 错; 对于 B,∵l1⊥l2,∴l1,l2 所成的角是 90°,又∵l2∥l3∴l1,l3 所成的角是 90°∴l1⊥l3, B 对; 对于 C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故 C 错; 对于 D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故 D 错. 故选 B. 点评: 本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面 的位置关系得到启示. 6.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,E 为棱 SC 的中点,若 AC= AB 且 SA=SB=SC=AB=BC,则异面

直线 AC 与 BE 所成的角为(



A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 取 SA 的中点 F,连接 EF,BF,因为 AC∥EF,所以 BEF(或其补角)为异面直线 AC 与 BE 所成的角,求出三角形的三边,即可求出异面直线 AC 与 BE 所成的角. 解答: 解:取 SA 的中点 F,连接 EF,BF, ∵E 为棱 SC 的中点, ∴EF∥AC, ∴∠BEF(或其补角)为异面直线 AC 与 BE 所成的角, ∵AC= AB 且 SA=SB=SC=AB=BC,设 AB=2, ∴BE=EF=BF= , ∴∠BEF=60°. 故选:C.

点评: 本题考查异面直线及其所成的角,考查学生的计算能力和转化能力,正确作出异面 直线及其所成的角是关键.

7.直线 x﹣2y﹣3=0 与圆(x﹣2) +(y+3) =9 交于 E、F 两点,则△EOF(O 是原点)的面 积是( ) A. 2 B. C. D.

2

2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先求出圆心坐标,再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|,再由原点到 直线之间的距离求出三角形的高,进而根据三角形的面积公式求得答案. 解答: 解:圆(x﹣2) +(y+3) =9 的圆心为(2,﹣3) ∴(2,﹣3)到直线 x﹣2y﹣3=0 的距离 d= 弦长|EF|=2 =4 = = . =
2 2

原点到直线的距离 d= ∴△EOF 的面积为 S=

故选 D. 点评: 本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系.考查基础知识的综合运 用和灵活运用能力. 8.已知底面边长为 2,侧棱长为 2 体积为( ) A. B. 4π C. 2π D. ,则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半 径 R=2,最后根据球的体积公式,可算出此球的体积. 解答: 解:解:∵正四棱柱的底面边长为 2,侧棱长为 2 , ∴正四棱柱体对角线的长为 =4

又∵正四棱柱的顶点在同一球面上, ∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径 R=2, 根据球的体积公式,得此球的体积为 V= πR = π×2 =
3 3



故选:A. 点评: 本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的 性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题. 9.已知集合 A={(x,y)|x(x﹣1)+y(y﹣1)≤r},集合 B={(x,y)|x +y ≤r },若 A? B,则实数 r 可以取的一个值是( )
2 2 2

A.

+1 B.

C.

D. 1+

考点: 专题: 分析: 解答:

集合的包含关系判断及应用. 计算题;集合. 化简集合 A,可知 A,B 分别表示圆及其内部,由圆的相关知识代入验证. 解:集合 A={(x,y)|x(x﹣1)+y(y﹣1)≤r}
2 2

={(x,y)|(x﹣ ) +(y﹣ ) ≤r+ }, 集合 B={(x,y)|x +y ≤r }, A,B 分别表示圆及其内部, ∵A? B,则两圆内切或内含,且圆心距为 将选项 A、B、C、D 代入 r﹣ ;
2 2 2

验证可得,

A 成立. 故选:A. 点评: 本题考查了集合的化简及集合的几何意义,同时考查了集合的包含关系.

10.若直线 y=x+b 与曲线 x=

恰有一个公共点,则 b 的取值范围是( ≤b≤﹣1 D. ﹣1<b≤1 或 b=﹣



A. ﹣1<b≤1 B. ﹣1≤b≤1 C. ﹣ 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 曲线 x=

即 x +y =1(x≥0)表示一个半径为 1 的半圆,如图,数形结合求 恰有一个公共点时 b 的取值范围. 即 x +y =1(x≥0)表示一个半径为 1 的半圆,如图所示.
2 2

2

2

得当直线 y=x+b 与曲线 x= 解答: 解:曲线 x=

当直线 y=x+b 经过点 A(0,1)时,求得 b=1, 当直线 y=x+b 经过点 B(1,0)时,求得 b=﹣1, 当直线和半圆相切于点 D 时,由圆心 O 到直线 y=x+b 的距离等于半径, 可得 =1,求得 b=﹣ ,或 b= (舍去) . ,

故当直线 y=x+b 与曲线 x= 故选:D.

恰有一个公共点时 b 的取值范围是﹣1<b≤1 或 b=﹣

点评: 本题主要考查了直线与圆相交的性质.对于此类问题除了用联立方程转化为方程的 根的问题之外,也可用数形结合的方法较为直观,属于基础题. 二、填空题(本大题共 7 小题,共 7 空,每空 4 分,共 28 分. ) 11.若直线 ax+2y﹣6=0 与(2a﹣1)x﹣3y+6=0 平行,则 a= .

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 由平行关系可得﹣3a=2(2a﹣1) ,解方程验证可得. 解:∵直线 ax+2y﹣6=0 与(2a﹣1)x﹣3y+6=0 平行,

∴﹣3a=2(2a﹣1) ,解得 a= , 经检验 a= 符合题意, 故答案为: 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题. 12.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 2π . ,则这个圆锥的侧面积是

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 本题考查的是圆锥的侧面积求解问题.在解答的时候,应先结合:圆锥的轴截面是 等边三角形,其面积为 ,分析圆锥的母线长和底面半径长,结合圆锥的侧面积公式即可 获得问题的解答. 解答: 解:由题意:圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 , ∴对于轴截面有:
2



∴a =4,∴a=2, 所以圆锥的侧面积为:π? 1? 2=2π. 故答案为:2π.

点评: 本题考查的是圆锥的侧面积求解问题.在解答的过程当中充分体现了三角形面积公 式的应用、圆锥侧面积公式的应用以及转化思想的应用.值得同学们体会反思. 13.三棱锥 P﹣ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D﹣ABE 的体积为 V1,P﹣ABC 的体积为 V2,则 = .

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 空间位置关系与距离;立体几何. 画出图形,通过底面面积的比求解棱锥的体积的比. 解:如图,三棱锥 P﹣ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,

三棱锥 D﹣ABE 的体积为 V1,P﹣ABC 的体积为 V2, ∴A 到底面 PBC 的距离不变,底面 BDE 底面积是 PBC 面积的 = ,



=

= .

故答案为: .

点评: 本题考查三棱锥的体积,着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系,属于基础题. 14.已知点 A(2,﹣3) ,B(﹣3,﹣2) ,直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 有交点,则直 线 l 的斜率 k 的取值范围为 (﹣∞,﹣4]∪[ ,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的斜率. 直线与圆. 由题意画出图形,求出 PA 和 PB 的斜率,数形结合得答案. 解:如图,





∴直线 l 的斜率 k 的取值范围为(﹣∞,﹣4]∪[ ,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣4]∪[ ,+∞) . 点评: 本题考查了直线的斜率,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 15.过直线 x+y﹣2 =0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60°,则点 P 的坐标是 ( , ) . 考点: 圆的切线方程;两直线的夹角与到角问题. 专题: 直线与圆. 分析: 根据题意画出相应的图形,设 P 的坐标为(a,b) ,由 PA 与 PB 为圆的两条切线,根 据切线的性质得到 OA 与 AP 垂直,OB 与 BP 垂直,再由切线长定理得到 PO 为角平分线,根 据两切线的夹角为 60°,求出∠APO 和∠BPO 都为 30°,在直角三角形 APO 中,由半径 AO 的长,利用 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 OP 的长,由 P 和 O 的坐标,利用两点 间的距离公式列出关于 a 与 b 的方程,记作①,再由 P 在直线 x+y﹣2 =0 上,将 P 的坐标 代入得到关于 a 与 b 的另一个方程,记作②,联立①②即可求出 a 与 b 的值,进而确定出 P 的坐标. 解答: 解:根据题意画出相应的图形,如图所示: 直线 PA 和 PB 为过点 P 的两条切线,且∠APB=60°, 设 P 的坐标为(a,b) ,连接 OP,OA,OB, ∴OA⊥AP,OB⊥BP,PO 平分∠APB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=30°, 又圆 x +y =1,即圆心坐标为(0,0) ,半径 r=1, ∴OA=OB=1, ∴OP=2AO=2BO=2,∴ =2,即 a +b =4①, =0,即 a+b=2 ②,
2 2 2 2 2 2

又 P 在直线 x+y﹣2 =0 上,∴a+b﹣2 联立①②解得:a=b= , 则 P 的坐标为( , ) . 故答案为: ( , )

点评: 此题考查了圆的切线方程,涉及的知识有:切线的性质,切线长定理,含 30°直角 三角形的性质,以及两点间的距离公式,利用了数形结合的思想,根据题意画出相应的图形 是解本题的关键.
2 2

16.已知圆 O:x +y =5,直线 l:xcosθ+ysinθ=1(0 离等于 1 的点的个数为 k,则 k= 4 .

) .设圆 O 上到直线 l 的距

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 找出圆 O 的圆心坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式求出圆心 O 到直线 l 的距 离 d,根据 d 与 r 的大小关系及 r﹣d 的值,即可作出判断. 解答: 解:由圆的方程得到圆心 O(0,0) ,半径 r= , ∵圆心 O 到直线 l 的距离 d= =1< ,且 r﹣d= ﹣1>1=d,

∴圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 4,即 k=4. 故答案为:4 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,弄清题意是解本题的关键. 17.如图,在 Rt△ABC 中,AC=1,BC=x,D 为斜边 AB 的中点.将△BCD 沿直线 CD 翻折.若 在翻折过程中存在某个位置,使得 CB⊥AD,则 x 的取值范围是 (0, ] .

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 由题意得,AD=CD=BD═

,BC=x,取 BC 中点 E,翻折前,DE= ,AC=1,翻折

后,CB⊥AD,BC⊥AE,DE⊥BC,AB=AC=1,AE= 值范围. 解答: 解:由题意得,AD=CD=BD═ 接 DE,CD,则 DE= ,AC= , 翻折后,在图 2 中,此时 CB⊥AD. ∵BC⊥DE,BC⊥AD,∴BC⊥平面 ADE, ∴BC⊥AE,DE⊥BC, 又 BC⊥AE,E 为 BC 中点,∴AB=AC=1, ∴AE= ,AD= ,

,AD=

,由此能求出 x 的取

,BC=x,取 BC 中点 E,翻折前,在图 1 中,连

在△ADE 中:①

+ >

,②



,③x>0,

由①②③,得 0<x< . 如图 3,翻折后,当△B1CD 与△ACD 在一个平面上, AD 与 B1C 交于 M,且 AD⊥B1C,AD=B1D=CD=BD,∠CBD=∠BCD=∠B1CD, 又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°, ∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°, ∴∠A=60°,BC=ACtan60°,此时 x=1× = , 综上,x 的取值范围为(0, ]. 故答案为: (0, ].

点评: 本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能 力的培养. 三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (1)若 PQ 是圆 x +y =9 的弦,PQ 的中点是(1,2) ,求弦 PQ 的长度;
2 2

(2)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上, 求圆心为 C 的圆的标准方程. 考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)求出弦心距为 ,利用勾股定理,计算弦 PQ 的长度; (2)根据题意设出圆的标准方程,代入点的坐标,和圆心位置,解方程组即可. 解答: 解: (1)圆心坐标为(0,0) ,r=3,弦心距为 (2)∵kAB=﹣3,AB 中点( ,∴|PQ|=2 =4..…(7 分)

) ,∴AB 中垂线:x﹣3y﹣3=0…. (9 分)



得圆心坐标 C(﹣3,﹣2) ,半径|CA|=5…. (13 分)
2 2

得圆的标准方程: (x+3) +(y+2) =25…..(14 分) 点评: 本题主要考查待定系数法求圆的标准.会解方程组是本题的关键.属于基础题. 19.已知,圆 C:x +y ﹣8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 时,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;综合题. 分析: 把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径 r, (1)当直线 l 与圆相切时,圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r,利用点到直线的距离公 式表示出圆心到直线 l 的距离 d,让 d 等于圆的半径 r,列出关于 a 的方程,求出方程的解 即可得到 a 的值; (2)联立圆 C 和直线 l 的方程,消去 y 后,得到关于 x 的一元二次方程,然后利用韦达定 理表示出 AB 的长度,列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值. 解答: 解:将圆 C 的方程 x +y ﹣8y+12=0 配方得标准方程为 x +(y﹣4) =4, 则此圆的圆心为(0,4) ,半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 .解得 .
2 2 2 2 2 2

(2)联立方程
2 2 2 2

并消去 y,

得(a +1)x +4(a +2a)x+4(a +4a+3)=0. 设此方程的两根分别为 x1、x2, 所以 x1+x2=﹣ ,x1x2=

则 AB= = =2

两边平方并代入解得:a=﹣7 或 a=﹣1, ∴直线 l 的方程是 7x﹣y+14=0 和 x﹣y+2=0. 点评: 此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,灵活运用韦达 定理及两点间的距离公式化简求值,是一道综合题.

20.如图,四棱锥 P﹣ABCD,PA⊥底面 ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD= CD=2,PA=2,E,F 分别是 PC,PD 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面平行的判定;用空间向量求直线与平面的夹角. 专题: 空间角. 分析: (I)根据 E,F 分别是 PC,PD 的中点,结合三角形中位线定理及平行公理,可得 AB∥EF,进而由线面平行的判定定理得到 EF∥平面 PAB; (Ⅱ) 取线段 PA 中点 M, 连接 EM, 则 EM∥AC, 故 AC 与平面 ABEF 所成角等于 ME 与平面 ABEF 所成角的大小,作 MH⊥AF,垂足为 H,连接 EH,可证得∠MEH 是 ME 与平面 ABEF 所成角,解 Rt△EHM 可得答案. 解答: 证明: (I)∵E,F 分别是 PC,PD 的中点 ∴EF∥CD 又∵AB∥CD, ∴AB∥EF, 又∵EF? 平面 PAB,AB? 平面 PAB; ∴EF∥平面 PAB; 解: (Ⅱ)取线段 PA 中点 M,连接 EM,则 EM∥AC 故 AC 与平面 ABEF 所成角等于 ME 与平面 ABEF 所成角的大小 作 MH⊥AF,垂足为 H,连接 EH ∵PA⊥底面 ABCD, ∴PA⊥AB 又∵AB⊥AD,PA∩AD=A ∴AB⊥平面 PAD ∴EF⊥平面 PAD ∵MH? 平面 PAD ∴EF⊥MH ∴MH⊥平面 ABEF

∴∠MEH 是 ME 与平面 ABEF 所成角 在 Rt△EHM 中,EM= AC= ∴sin∠MEH= = ,MH=

∴AC 与平面 ABEF 所成角的正弦为

点评: 本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考查空间想 象能力和推理论证能力,其中(1)要熟练掌握线面平行的判定定理; (2)的关键是找出线 面夹角的平面角.

21.已知点 E(﹣2,0) ,F(2,0) ,曲线 C 上的动点 M 满足

=﹣3,定点 A(2,1) ,

由曲线 C 外一点 P(a,b)向曲线 C 引切线 PQ,切点为 Q,且 满足|PQ|=|PA|. (1)求圆 C 的标准方程; (2)求线段|PQ|长的最小值. 考点: 直线和圆的方程的应用;圆的标准方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)设 M(x,y) ,利用曲线 C 上的动点 M 满足 标准方程; (2)先确定 b=﹣2a+3,再求线段|PQ|长的最小值. 解答: 解: (1)设 M(x,y) ,则 ∴
2 2

=﹣3,化简,即可求圆 C 的

, …(5 分)

即 M 点轨迹(曲线 C)方程为 x +y =1,即曲线 C 是⊙O. 2 2 2 (2)连 OP,∵Q 为切点,PQ⊥OQ,由勾股定理有:|PQ| =|OP| ﹣|OQ| . 2 2 又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ| =|PA| . 2 2 2 2 2 即: (a +b )﹣1 =(a﹣2) +(b﹣1) , 化简得实数 a,b 间满足的等量关系为:2a+b﹣3=0,即 b=﹣2a+3. ∴ = = ,

故当

时,



即线段 PQ 长的最小值为

.…(14 分)

点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,考查学生的计算能力,属于中档题. 22.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2, AC=1. (1)证明:PC⊥AD; (2)求二面角 A﹣PC﹣D 的正弦值(理科) ; (2)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值(文科) ; (3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)根据已知条件容易证明 AD⊥平面 PAC,所以得到 PC⊥AD; (2 理)过 A 作 AM⊥PC,垂足为 M,连接 DM,则 能够说明∠AMD 便是二面角 A﹣PC﹣D 的平 面角,并且△AMD 是 Rt△,所以根据已知的边的长度即可求出 sin ;

(2 文)取 AC 中点 N,连接 BN,PN,则 BN⊥平面 PAC,所以∠BPN 是直线 PB 与平面 PAC 所 成角,根据已知的边长即可求出 sin∠BPN= ;

(3)先找到异面直线 BE,CD 所成角:过 B 作 BF∥CD,交 AD 于 F,连接 BE,EF,则∠EBF 或其补角为异面直线 BE,CD 所成角.能够求出 sin∠AFB= 以在△ABF 中由正弦定理可求出 BF= ,sin∠FAB= ,AB= ,所

, 而由余弦定理可求得 AF= . 设 AE=h, 可表示出 EF,

EB,并且可比较出 EF<EB,所以∠EBF=30°,由余弦定理即可求得 AE 的长. 解答: 解: (1)∵PA⊥平面 ABCD,AD? 平面 ABCD; ∴PA⊥AD,即 AD⊥PA; 又 AD⊥AC,PA∩AC=A; ∴AD⊥平面 PAC,PC? 平面 PAC; ∴AD⊥PC,即 PC⊥AD; (2 理)如图,过 A 作 AM⊥PC,交 PC 于 M,并连接 DM; 由(1)知 PC⊥AD,∴PC⊥平面 ADM,DM? 平面 ADM; ∴PC⊥DM;

∴∠AMD 是二面角 A﹣PC﹣D 的平面角; PC= ; ∴ ; ∴ ; ,sin∠AMD= ;

∴在 Rt△ADM 中,DM=

(2 文)取 AC 中点 N,连接 PN,由已知条件知,AB=BC= ∴BN⊥AC; ∵PA⊥平面 ABCD; ∴PA⊥BN,即 BN⊥PA,PA∩AC=A; ∴BN⊥平面 PAC; ∴∠BPN 是直线 PB 与平面 PAC 所成角; BN= ; ;



在 Rt△PAB 中,PB=

∴在 Rt△PBN 中,sin



(3)如图,因为∠ADC<45°,故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交,设交点为 F,连 接 BE,EF; ∴∠EBF 或其补角为异面直线 BE 与 CD 所成的角; 由于 BF∥CD,故∠AFB=∠ADC; 在 Rt△DAC 中,CD= ∴ ; ,sin 可得: , ;

∴在△AFB 中,由 BF= ;
2 2 2

由余弦定理,BF =AB +AF ﹣2AB? AF? cos∠FAB 可得, 解得:AF= ,设 AE=h; 在 Rt△EAF 中, 在 Rt△EAB 中 ; ;



∴在△EBF 中,EF<BE,∴∠EBF=30°;

∴由余弦定理得:

=



解得 h= ∴AE=

; .

点评: 考查线面垂直的性质,线面垂直的判定定理,以及二面角的平面角的概念及找法, 线面角的概念及找法,异面直线所成角的概念及找法,以及正弦定理,余弦定理的运用.


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