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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版


数学

川(理)

§2.3 函数的奇偶性与周期性
第二章 函数与基本初等函数 I

基础知识·自主学习
要点梳理
1.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义 域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x) , 那么函数 f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x

)的定义 域内任意一个 x,都有 f(-x)=
难点正本 疑点清源
1.函数奇偶性的判断
(1) 定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的必 要不充分条件; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否 具有等量关系.在判断奇 偶性的运算中,可以转化 为判断奇偶性的等价关 系 式 (f(x) + f( - x) = 0( 奇 函 数 ) 或 f(x) - f( - x) = 0(偶函数))是否成立.

-f(x) , 那么函数 f(x)就叫做奇函数.
奇函数的图象关于 原点 对称; 偶函 数的图象关于 y轴 对称.

基础知识·自主学习
要点梳理
2.奇、偶函数的性质 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上 的单调性 相同 , 偶函数在关于原点 对称的区间上的单调性 相反 . (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是 奇函数 , 两个 奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、 积都是 偶函数 ; ③一个奇函数,一个偶函数的积是
难点正本 疑点清源
2.函数奇偶性的性质
(1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有 定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别 是 D1,D2,那么在它们的公 共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶, 偶+偶=偶,偶×偶=偶, 奇×偶=奇. (3)奇函数在关于原点对称的区 间上若有单调性, 则其单调性完 全相同; 偶函数在关于原点对称 的区间上若有单调性, 则其单调 性恰恰相反.

奇函数 .

基础知识·自主学习
要点梳理
3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如 果存在一个非零常数 T,使得当 x 取 定义域内的任何值时,都有 f(x+T)
难点正本 疑点清源
2.函数奇偶性的性质
(1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有 定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x), g(x)的定义域分别 是 D1,D2,那么在它们的公 共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ×奇=偶, 偶+偶=偶,偶 ×偶=偶, 奇×偶=奇. (3)奇函数在关于原点对称的区 间上若有单调性,则其单调性 完全相同;偶函数在关于原点 对称的区间上若有单调性,则 其单调性恰恰相反.

= f ( x) , 那么就称函数 y=f(x)为周期
函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的所有周期中 存在一个最小 的正 数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小正周期.

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1

答案
1 3

解析

2
3 4 5

-9
(-1,0)∪(1,+∞)
D A

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4- x2 (3)f(x)= . |x+3|-3

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4- x2 (3)f(x)= . |x+3|-3

确定函数的奇偶性时, 必须先判定 函数定义域是否关于原点对称. 若 对称, 再验证 f(-x)=± f(x)或其等 价形式 f(-x)± f(x)=0 是否成立.

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪


【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4- x2 (3)f(x)= . |x+3|-3

解析

探究提高
,得 x=± 3.

2 ? ?9-x ≥0 (1)由? 2 ? ?x -9≥0

∴f(x)的定义域为{-3,3}.
又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

?1-x ? ≥0 1 + x ? (2)由 ? ?1+x≠0

,得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称.

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 探究提高
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
2 ? ?4-x ≥0 (3) 由 ? ? ?|x+3|-3≠0

【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x + x -9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4- x2 (3)f(x)= . |x+3|-3
2 2

,得- 2≤x≤2

且 x≠0. ∴f(x)的定义域为[ -2,0)∪(0,2] ,关 于原点对称.

4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x . ?x+3?-3

∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数.

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 探究提高
判断函数的奇偶性,其中包括两个 必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具 有奇偶性的必要不充分条件,所以首 先考虑定义域对解决问题是有利的; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量 关系.在判断奇偶性的运算中,可以 转化为判断奇偶性的等价等量关系 式 (f(x) + f( - x) = 0( 奇函数 ) 或 f(x) -f(-x)=0(偶函数))是否成立.

【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x + x -9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4- x2 (3)f(x)= . |x+3|-3
2 2

题型分类·深度剖析
变式训练 1 下列函数: ①f(x)= 1-x2+ x2-1;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+ x2+1) 3x-3-x 1-x ④f(x)= ;⑤f(x)=lg .其中奇函数的个数是 ( ) 2 1+x A.2 解析 B.3 C.4 D.5 ①f(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=

± f(x)=0,则 f(x)= 1-x2+ x2-1既是奇函数,也是偶函数;
②f(x)=x3-x 的定义域为 R, 又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则 f(x)=x3-x 是奇函数;

③由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R, 1 2 又 f(-x)=ln(-x+ ?-x? +1)=ln x+ x2+1

题型分类·深度剖析
变式训练 1 下列函数: ①f(x)= 1-x2+ x2-1;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+ x2+1) 3x-3-x 1-x ④f(x)= ;⑤f(x)=lg .其中奇函数的个数是 ( D ) 2 1+x A.2 B.3 C.4 D.5 =-ln(x+ x2+1)=-f(x),则 f(x)为奇函数; 3x-3-x ④f(x)= 2 的定义域为 R, 3-x-3x 3x-3-x 又 f(-x)= 2 =- 2 =-f(x),则 f(x)为奇函数; 1-x 1-x ⑤由 >0 得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x ?1-x? 1+x 1-x ? ?-1 又 f(-x)=ln =ln? ? =-ln1+x=-f(x), 1 + x 1-x ? ? 则 f(x)为奇函数,∴奇函数的个数为 5.

题型分类·深度剖析
题型二 函数的奇偶性与周期性
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 数,且对任意实数 x,恒有 f(x+ 2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)= 2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+ f(2 013).

题型分类·深度剖析
题型二 函数的奇偶性与周期性
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 数,且对任意实数 x,恒有 f(x+ (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可 2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)= 说明 f(x)是周期函数; 2x-x2. (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 (1)求证:f(x)是周期函数; f(x)在[- 2,0]上的解析式,进而 (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; 求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+ (3)由周期性求和. f(2 013).

题型分类·深度剖析
题型二 函数的奇偶性与周期性

解析 思维启迪 探究提高 【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),

数,且对任意实数 x,恒有 f(x+ ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)= ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. 2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;
∴4-x∈[0,2] ,
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+ 6x-8,
又 f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,

(2)解 ∵x∈[2,4] , ∴-x∈[ -4,-2] ,

(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+ f(2 013).

即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4] .

题型分类·深度剖析
题型二 函数的奇偶性与周期性
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 (3)解 数,且对任意实数 x,恒有 f(x+ 2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)= 2x-x . (1)求证:f(x)是周期函数;
2

∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,

f(3)=-1.

又 f(x)是周期为 4 的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+

f(6)+f(7) (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+
(3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+ f(2 013).
f(2 011)=0.

∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013) =f(0)+f(1)=1.

题型分类·深度剖析
题型二 函数的奇偶性与周期性
思维启迪

解析

探究提高

【例 2】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函 数,且对任意实数 x,恒有 f(x+ 2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)= 2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;

判断函数的周期只需证明 f(x+T)= f(x) (T≠0) 便 可 证 明 函 数 是 周 期 函 数,且周期为 T,函数的周期性常与 函数的其他性质综合命题,是高考考

(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; 查的重点问题. (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+ f(2 013).

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2) 1 =- ,当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________. 2.5 f?x?
解析 由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]

1 1 =- =- 1 =f(x). f?x+2? - f?x?
故函数的周期为 4.
∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5).
∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5.

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x) 的单调区间.

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x) 的单调区间.

可以先确定函数的周期性, 求 f(π); 然后根据函数图象的对称性、周期 性画出函数图象,求图形面积、写 单调区间.

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 探究提高 解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=
-f(4-π) =-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2] =-f(x-1) =f[ -(x-1)] ,

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x) 的单调区间.

即 f(1+x)=f(1-x).
故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 1 对称.

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪
当 - 4≤x≤4 时 , f(x) 的 图 象 与 x 轴围成的图 形面积为 S,

?1 ? S=4S△OAB=4×?2×2×1?=4. ? ?

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x) 的单调区间.

解析

探究提高

(3) 函数 f(x) 的单调递增区间为 [4k - 1,4k+1] (k∈Z),
单 调 递 减 区 间 为 [4k + 1,4k + 3] (k∈Z).

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x) 的单调区间.

函数性质的综合问题,可以利用函 数的周期性、 对称性确定函数图象, 充分利用已知区间上函数的性质, 体现了转化思想.

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (1)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数,则 A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) ( D )

解析

由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在

[-2,2]上递增,

又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 故函数 f(x)以 8 为周期, f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),

故 f(-25)<f(80)<f(11).

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (2)函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是 1 增函数,若 f(1)=0,求不等式 f[x(x- )]<0 的解集. 2 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数,且由 f(1)=0 得 f(-1)=0. 1 ? x?x-2?>0 ? 1 1 ? 若 f[x(x- )]<0=f(1),则 ,即 0<x(x- )<1, 2 2 1 ?x?x- ?<1 2 ? 1+ 17 1- 17 1 解得2<x< 4 或 4 <x<0. 1 ? x?x-2?<0 ? 1 若 f[x(x-2)]<0=f(-1),则? 1 ? x?x-2?<-1 1 ? 由 x(x-2)<-1,解得 x∈?. 1+ 17 1- 17 1 ∴原不等式的解集是{x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4

题型分类·深度剖析
答题规范 1.等价转换要规范
典例: (12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D. 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,求 x 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
答题规范 1.等价转换要规范
典例: (12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D. 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,求 x 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)从 f(1)联想自变量的值为 1,进而想到赋值 x1=x2=1.(2)判断 f(x)的奇偶 性,就是研究 f(x)、f(-x)的关系,从而想到赋值 x1=-1,x2=x.即 f(-x) =f(-1)+f(x). (3)就是要出现 f(M)<f(N)的形式, 再结合单调性转化为 M<N 或 M>N 的形式求解.

题型分类·深度剖析
答题规范 1.等价转换要规范
典例: (12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D. 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,求 x 的取值范围.


审 题 视 角 (1)令 x1=x2=1,

规 范 解 答

温 馨 提 醒
2分 4分

有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下:

令 x1=x2=-1,有 f[(-1)× (-1)] =f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.
7分

题型分类·深度剖析
答题规范 1.等价转换要规范
典例: (12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D. 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,求 x 的取值范围.

审 题 视 角 (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3,

规 范 解 答

温 馨 提 醒
8分

变形为 f[(3x+1)(2x-6)] ≤f(64). ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|] ≤f(64).

(*)

9分

题型分类·深度剖析
答题规范 1.等价转换要规范
典例: (12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D. 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,求 x 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.

7 1 1 解得-3≤x<-3或-3<x<3 或 3<x≤5. 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x|-3≤x<-3或-3<x<3 或 3<x≤5}.

12分

题型分类·深度剖析
答题规范 1.等价转换要规范
典例: (12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D. 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,求 x 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

数学解题的过程就是一个转换的过程.解题质量的高低,取决于每步等价转 换的规范程度.如果每一步等价转换都是正确的、规范的,那么这个解题过 程就一定是规范的.等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”,“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件.如本例中:∵f(x)为偶函数,∴不等式(*)等价于 f[|(3x +1)(2x-6)|]≤f(64). (3) 转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)?|(3x+1)(2x- 6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.

思想方法·感悟提高

1. 正确理解奇函数和偶函数的定义, 必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或 偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.

方 法 与 技 巧

2. 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据. 为了便 于判断函数的奇偶性, 有时需要先将函数进行化简, 或 应用定义的等价形式: f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? f?-x? =± 1(f(x)≠0). f?x?

3. 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对 称, 反之也成立. 利用这一性质可简化一些函数图象的 画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否 关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个必要条件.
2.判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0) =-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3. 分段函数奇偶性判定时, 要以整体的观点进行判断, 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函 数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.(2012· 广东)下列函数为偶函数的是 A.y=sin x C.y=ex B.y=x3 D.y=ln x2+1

(

)

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.(2012· 广东)下列函数为偶函数的是 A.y=sin x C.y=ex B.y=x3 D.y=ln x2+1

( D )

解 析
由函数奇偶性的定义知 A、B 项为奇函数,C 项为 非奇非偶函数,D 项为偶函数.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

2.(2012· 天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1,2)内是增函数 的为 A.y=cos 2x,x∈R - ex-e x C.y= ,x∈R 2 B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 D.y=x3+1,x∈R ( )

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

2.(2012· 天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1,2)内是增函数 的为 A.y=cos 2x,x∈R - ex-e x C.y= ,x∈R 2 B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 D.y=x3+1,x∈R
? π? 在区间?0,2 ?上单调递减,不满足题意; ? ?

( B )

解 析
选项 A 中函数 y=cos 2x

选项 C 中的函数为奇函数;

选项 D 中的函数为非奇非偶函数,故选 B.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

x 3.(2011· 辽宁)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a 等于( ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4

)

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

x 3.(2011· 辽宁)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a 等于( A ) ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4

解 析
∵f(-x)=-f(x),
-x x ∴ =- , ?-2x+1??-x-a? ?2x+1??x-a?
1 ∴(2a-1)x=0,∴a=2.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时, f(x)=2x2,则 f(7)等于 A.-2 B. 2 C.-98 D.98 ( )

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时, f(x)=2x2,则 f(7)等于 A.-2 B. 2 C.-98 D.98 ( A )

解 析
∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的函数, ∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1),又∵f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1),而当 x∈(0,2)时,
f(x)=2x2,∴f(1)=2×12=2,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2, 故选 A.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5 .设函数 f(x) = x(ex + ae - x)(x∈R) 是偶函数,则实数 a 的值为 ________.

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5 .设函数 f(x) = x(ex + ae - x)(x∈R) 是偶函数,则实数 a 的值为 ________ . -1

解 析
因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x),即-x(e x+aex)


=x(ex+ae-x),化简得 x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意 实数 x 都成立,所以 a=-1.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为 常数),则 f(-1)=______.

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

6.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为

-3 常数),则 f(-1)=______. 解 析
因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,因此 f(-x)+f(x)=0.当 x=0 时,可得 f(0)=0,可得 b=-1,此时 f(x)=2x+2x-1, 因此 f(1)=3.又 f(-1)=-f(1),所以 f(-1)=-3.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件

? 3? f?x+2?=-f(x),且函数 ? ?

? 3? y=f?x-4?为奇函数,给出以下四个命题: ? ?

①函数 f(x)是周期函数; ②函数
? 3 ? f(x)的图象关于点?-4,0?对称; ? ?

③函数 f(x)为 R 上的偶函数; ④函数 f(x)为 R 上的单调函数. 其中真命题的序号为________.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

解 析
由 f(x)=f(x+3)?f(x)为周期函数,且 T=3,①为真命题; ? 3? 又 y=f?x-4?关于(0,0)对称, ? ? ? 3? 3 y=f ?x-4?向左平移4个单位得 y=f(x)的图象, ? ? ? 3 ? 则 y=f(x)的图象关于点?-4,0?对称,②为真命题;
? ?

? ? ? ? 3? 3? 3? 3 3? 又 y=f ?x-4?为奇函数, ∴f ?x-4?=-f ?-x-4?, f ?x-4-4? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 3? =-f ?4-x-4?=-f(-x), ? ? ? ? 3? 3? ∴f ?x-2?=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f ?x-2?=f(-x),∴f(x)为偶 ? ? ? ?

函数,不可能为 R 上的单调函数.所以③为真命题,④为假命题.

答案 ①②③

练出高分
1 2

A组
3 4
2

专项基础训练
5

a 8.(10 分)已知函数 f(x)=x +x (x≠0). (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由;

6

7

8

9

(2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性.

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4
2

专项基础训练
5

a 8.(10 分)已知函数 f(x)=x +x (x≠0). (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由;

6

7

8

9

(2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性.

解 析
解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2,f(-x)=f(x) ,函数是偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+x (x≠0), 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0,

∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

1 (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1,这时 f(x)=x +x .
2

练出高分
1 2

A组
3 4
2

专项基础训练
5

a 8.(10 分)已知函数 f(x)=x +x (x≠0). (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由;

6

7

8

9

(2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性.

任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, x2-x1 1 ? 2 1? 2 则 f(x1)-f(x2)=(x1+x )-?x2+x ?=(x1+x2)(x1-x2)+ x x ? 2? 1 1 2 ? 1 ? =(x1-x2)?x1+x2-x x ?. ? 1 2?
由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2, 1 ∴x1-x2<0,x1+x2>x x , 1 2 所以 f(x1)<f(x2),故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

9.(12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直 线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数;

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

9.(12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直 线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数;

解 析
证明 由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x)=f(x+2).
又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x).故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数.

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

9.(12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直 线 x=1 对称. (2)若 f(x)= x (0<x≤1), 求 x∈[-5, -4]时, 函数 f(x)的解析式.

解 析

练出高分
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

9.(12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直 线 x=1 对称. (2)若 f(x)= x (0<x≤1), 求 x∈[-5, -4]时, 函数 f(x)的解析式.

解 析
解 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.
x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x.
故 x∈[ -1,0] 时,f(x)=- -x.

x∈[ -5,-4] 时,x+4∈[ -1,0] ,
f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[ -5,-4] 时,函数 f(x)=- -x-4.

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)= 2x2-x,则 f(1)等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 ( )

解 析

B组
1

专项能力提升
4
5

2

3

6

7

1.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)= 2x2-x,则 f(1)等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 ( A )

解 析
∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,
∴f(1)=-f(-1)=-[2× (-1)2-(-1)] =-3.

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,

且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为 A.-1 B. 1 C.0 D.无法计算

(

)

解 析

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,

且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为 A.-1 B. 1 C.0 D.无法计算

( C )

解 析

由题意,得 g(-x)=f(-x-1),

又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1),

∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0.

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

3.设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2) 2a-3 = ,则 a 的取值范围是 ( ) a+1 2 2 2 A.a<-1 或 a≥ B.a<-1 C.-1<a≤ D.a≤ 3 3 3

解 析

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

3.设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2) 2a-3 = ,则 a 的取值范围是 ( C ) a+1 2 2 2 A.a<-1 或 a≥ B.a<-1 C.-1<a≤ D.a≤ 3 3 3

解 析
函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=-f(-1).
由 f(1)=-f(-1)≥1,得 f(-1)≤-1; 函数的最小正周期 T=3,则 f(-1)=f(2),

2a-3 2 由 ≤-1,解得-1<a≤3. a+1

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

4. (2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数, 则实数 a=________.

解 析

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

0 4. (2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数, 则实数 a=________.

解 析
∵函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,
∴f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|, ∴|-x+a|=|x+a|,∴a=0.

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

1 5. 已知函数 f(x)满足: f(1)= , 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x, y∈R), 4 则 f(2 015)=________.

6

7

解 析

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

1 5. 已知函数 f(x)满足: f(1)= , 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x, y∈R), 4 则 f(2 015)=________.

6

7

1 方法一 令 x=1,y=0 时,4f(1)· f(0)=f(1)+f(1),解得 f(0)= , 2 1 令 x=1,y=1 时,4f(1)· f(1)=f(2)+f(0),解得 f(2)=-4, 1 令 x=2,y=1 时,4f(2)· f(1)=f(3)+f(1),解得 f(3)=-2,
1 1 1 1 1 依次求得 f(4)=- ,f(5)= ,f(6)= ,f(7)= ,f(8)=- , 4 4 2 4 4 1 f(9)=- ,? 2

解 析

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

1 5. 已知函数 f(x)满足: f(1)= , 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x, y∈R), 4 1 则 f(2 015)=________. 4

6

7

解 析
可知 f(x)是以 6 为周期的函数,
1 ∴f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)=4.
方法二 1 ∵f(1)=4,4f(x)· f(y)=f(x+y)+f(x-y),

1 π ∴构造符合题意的函数 f(x)=2cos 3x,
? 1 1 ?π ∴f(2 015)=2cos?3×2 015?=4. ? ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 ?1? - f(x+1)=f(x-1),已知当 x∈[0,1]时,f(x)=?2?1 x,则 ? ? ①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上 递增;③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0;④当 x∈(3,4) ?1? - 时,f(x)=?2?x 3. ? ? 其中所有正确命题的序号是________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 ?1? - f(x+1)=f(x-1),已知当 x∈[0,1]时,f(x)=?2?1 x,则 ? ? ①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上 递增;③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0;④当 x∈(3,4) ?1? - 时,f(x)=?2?x 3. ? ? ①②④ . 其中所有正确命题的序号是________

解 析

由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确; ?1? + 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=?2?1 x, ? ? 函数 y=f(x)的图象如图所示: 当 3<x<4 时,-1<x-4<0, ?1? - f(x)=f(x-4)=?2?x 3,因此②④正确.③不正确. ? ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x) , f(7+x)且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性;

f(7-x)=

(2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明 你的结论.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x) , f(7+x)且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性;

f(7-x)=

(2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明 你的结论. 解 (1)若 y=f(x)为偶函数, 则 f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x),

解 析

∴f(7)=f(3)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7] 上, 只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是偶函数. 若 y=f(x)为奇函数,则 f(0)=f(-0)=-f(0), ∴f(0)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7] 上, 只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是奇函数. 综上可知:函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x) , f(7+x)且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性;

f(7-x)=

(2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明 你的结论. (2)∵f(x)=f[2+(x-2)]=f[2-(x-2)]=f(4-x), f(x)=f[7+(x-7)] =f(7-(x-7))=f(14-x), 解 ∴f(14-x)=f(4-x),即 f[10+(4-x)] =f(4-x)



∴f(x+10)=f(x),即函数 f(x)的周期为 10. 又∵f(1)=f(3)=0, ∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z),f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z), 即 x=1+10n 和 x=3+10n(n∈Z)均是方程 f(x)=0 的根.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x) , f(7+x)且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性;

f(7-x)=

(2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明 你的结论.

由-2 011≤1+10n≤2 011 及 n∈Z 可得 n=0, ± 1, ± 2, ± 3, ?,

解 析

± 201,共 403 个;

由-2 011≤3+10n≤2 011 及 n∈Z 可得 n=0, ± 1, ± 2, ± 3, ?, ± 200,-201,共 402 个;

所以方程 f(x)=0 在闭区间[ -2 011,2 011] 上的根共有 805 个.


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