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函数的简单性质


函数的简单性质
重难点:领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念,并能利用函数单调性的定义证明具体函数 的单调性,领会函数最值的实质,明确它是一个整体概念,学会利用函数的单调性求最值;函数奇偶性概 念及函数奇偶性的判定;函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用;了 解映射概念的理解并能区别函数和映射. 考纲要求:①理解函数的单调性、最大(

小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 并了解映射的概念; ②会运用函数图像理解和研究函数的性质. 经典例题:定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在[0,+∞ )上图 象与 f(x)的图象重合.设 a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是 ① f( b)- f(- a)> g( a)- g(- b) ③ f( a)-f(-b)>g(b)-g(-a) A.①④ 当堂练习: 1 .已知函数 f(x)=2x -mx+3 ,当 x ? ? ?2, ?? ? 时是增函数,当 x ? ? ??, ?2 ? 时是减函数,则 f(1) 等于
2

② f( b)- f(- a)< g( a)- g(- b) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) C.①③ D.②④

B.②③



) A.-3
2

B.13
1? x ? x ?1 1? x ? x ?1
2

C.7 )

D.含有 m 的变量

2.函数 f ( x ) ?

是(

A. 非奇非偶函数

B.既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 (2) f ( x) ?

C. 偶函数
2

D. 奇函数

3.已知函数(1) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,

x ? 1 ? 1 ? x ,(3) f ( x) ? 3x ? 3x

?0( x ? Q) (4) f ( x) ? ? ,其中是偶函数的有( ?1( x ? CR Q)
A.1 B.2

)个 C.3 D.4 ( )

4.奇函数 y=f(x) (x≠0) ,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则函数 f(x-1)的图象为

5.已知映射 f:A ?B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,且 对任意的 a ? A ,在 B 中和它对应的元素是 a ,则集合 B 中元素的个数是( )

A.4

B.5

C.6

D.7 .
f( )

6.函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? 4tx ? t 在区间[0, 1]上的最大值 g(t)是 7. 已知函数 f(x)在区间 (0, ??) 上是减函数,则 f ( x 2 ? x ? 1) 与
3 4

的大小关系是



8. 已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x<0 时, f(x)是增函数,若 x1<0,x2>0,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的 大小关系是 .

9.如果函数 y=f(x+1)是偶函数,那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称. 10.点(x,y)在映射 f 作用下的对应点是 ( 坐标是 .
x ? 2x ?
2

3x ? y 2

,

3y ? x 2

) ,若点 A 在 f 作用下的对应点是 B(2,0),则点 A

1 2 ,其中 x ? [1, ?? ) ,(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小值.

13. 已知函数 f ( x) ?

x

14.已知函数 f ( x) ?

2 a ?1 a

?

1 a x
2

,常数 a ? 0 。

n ] 上单调递增; (1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [ m ,
n ] ,求 n ? m 的最大值. (2)设 0 ? m ? n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [ m ,

13.(1)设 f(x)的定义域为 R 的函数,求证: F ( x ) ? [ f ( x) ? f ( ? x)] 是偶函数;
2 G ( x) ? 1 2 [ f ( x ) ? f ( ? x )] 是奇函数.
3 2

1

(2)利用上述结论,你能把函数 f ( x) ? 3x ? 2 x ? x ? 3 表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式.

14. 在集合 R 上的映射: f1 : x ? z ? x ? 1 , f2 : z ? y ? 4( z ? 1)2 ? 1 .
2

(1)试求映射 f : x ? y 的解析式; (2)分别求函数 f1(x)和 f2(z)的单调区间; (3) 求函数 f(x)的单调区间.

函数的简单性质答案 经典例题: 解析:本题可采用三种解法. 方法一:直接根据奇、偶函数的定义. 由 f( x)是奇函数得 f(- a) =- f( a) , f(- b) =- f( b) , g( a) =f( a) , g( b) =f( b) ,g (-a)=g(a) ,g(-b)=g(b) . ∴以上四个不等式分别可简化为①f(b)>0;②f(b)<0;③f(a)>0;④f(a)<0. 又∵f(x)是奇函数又是增函数,且 a>b>0,故 f(a)>f(b)>f(0)=0,从而以上不等式中①、 ③成立.故选 C. 方法二:结合函数图象. 由下图,分析得 f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a) ,f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b) .

从而根据所给结论,得到①与③是正确的.故选 C. 方法三:利用间接法,即构造满足题意的两个函数模型 f(x)=x,g(x)=|x|,取特殊值 a、b.如 a=2,

b=1.可验证正确的是①与③,故选 C.
答案:C 当堂练习:

?t (t ? 0) 3 ? 2 2 1. B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. g (t ) ? ? 2t ? t (0 ? t ? 1) ;7. f ( x ? x ? 1) ? f ( ) ; 4 ?5t ? 2(t ? 1) ?
8. f ( x1 ) > f ( x2 ) ;9. x=-1; 10. ( 3,1 ); 11. 解: (1)函数 f ( x ) ? x ?
1 2 x1 x2
1 2x ? 2 ,设 1 ? x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

1 2 x1

?

1 2 x2

)

? ( x1 ? x2 )(1 ?

) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调递增;
7 2

(2)从而当 x=1 时, f ( x) 有最小值


1 2

12. 解:(1)任取 x1 , x2 ? [m, n] ,且 x1 ? x2 , f ( x ) ? f ( x ) ? 1 ? x ? x , 因为 x1 ? x2 ,
1 2

a

2

x1 x2

x1 , x2 ? [m, n] ,所以 x1 x2 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) 在 [ m , n ] 上单调递增.

(2)因为 f ( x) 在 [ m , n ] 上单调递增, f ( x) 的定义域、值域都是 [m , n ] ? f (m) ? m, f (n) ? n ,
?1 1 即 m, n 是方程 2 a a ? 2 a x

? x 的两个不等的正根 ? a2 x2 ? (2a2 ? a ) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根.
2

所以 ? ? (2a 2 ? a ) 2 ? 4a 2 ? 0 , 2a ∴n?m ?1 a
4 a2 ? 4 a ? 3 ?

?a
2

a

?0?

a?

1 2

? 3( 1 ?2 ) 2 ? 16 , a?(1 , ? ?) , a 3 3 2

∴a? 3 时, n ? m 取最大值 4 3 3 . 2 13.解: (1)利用定义易证之; (2)由(1)得 f ( x) ? F ( x) ? G ( x) = (2 x 2 ? 3) ? (3x3 ? x) . 14. 解: (1) f ( x) ? 4( x 2 ? 2) 2 ? 1 ; (2)当 x ? (??, 0] 时, f1(x)单调递减, 当 x ? [0, ??) 时, f1(x)单调递 增; 当 z ? ( ??,1] 时, f2(z) 单调递减, 当 z ? [1, ?? ) 时, f1(x)单调递增. (3) 当 x ? (??, ? 2] 和 x ? [0, 2] 时, f(x)分别单调递减; 当 x ? [ 2, ??) 和 x ? [? 2, 0] 分别单调递增.


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