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§2.1.2-3指数函数及其性质(三)

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§2.1.2-3指数函数及其性质(三)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.1.2-3指数函数及其性质(三)

教学目标:
1.了解函数图象的变换;能运用指数函数的图象和 性质解决一些简单问题. 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能 力、逻辑推理能力; 3.培养发现

问题和提出问题的意识、善于独立思考 的习惯

教学重、难点:
1.函数图象的变换;

2.指数函数性质的运用.
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§2.1.2-3指数函数及其性质(三)

一、复习引入:

y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
x
a>1

0<a<1



y 1 o
(1)定义域:R (2)值域:(0,+∞)

y 1 x o x

象 性

质 (3)过点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在 R上是增函数
2013-1-15

(4)在R上是减函数
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二、讲授范例: 例1.在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它 x 们与指数函数 y ? 2 的图象的关系. (1) y ? 2 x?1与y ? 2 x?2 (2) y ? 2 x?1与y ? 2 x?2 解:⑴作出图像,显示出函数数据表
x -3 0.125 0.25 0.5 -2 0.25 0.5 1 -1 0.5 1 2 0 1 2 4 1 2 4 8 2 4 8 16 3 8 16 32

2

x

2

x ?1

2 x?2

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比较函数 y

? 2 、y ? 2
x

x ?1



y?2

x?2

的关系:

y?2 y?2

x x

向左平行移动1个单位长度 向左平行移动2个单位长度

y?2

x ?1 x?2

y?2

y
8 7 6 5 4 3 2 1
● ●

y=2x

y=2x+1
● ●

y= 2x +2


● ●



● ●

-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5
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x
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§2.1.2-3指数函数及其性质(三)

例1.在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它 x 们与指数函数 y ? 2 的图象的关系. (1) y ? 2 x?1与y ? 2 x?2 (2) y ? 2 x?1与y ? 2 x?2
解:⑵作出图像,显示出函数数据表
x -3
x

-2 0.25 0.125 0.625

-1 0.5 0.25 0.125

0 1 0.5 0.25

1 2 1 0.5

2 4 2 1

3 8 4 2

2 x ?1 2 x ?2

2

0.125 0.625 0.3125

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比较函数 y

? 2 、y ? 2
x

x ?1



y?2

x ?2

的关系:

y?2 y?2

x

向右平行移动1个单位长度

y?2

x ?1

x

向右平行移动2个单位长度 y 8 7 6 5 4 3 2 1

y ? 2 x ?2

y=2x
● ●

y=2x-1
● ●

● ●



y= 2x -2
x
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-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5
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小结:比较函数 当m>0时, 当m<0时,

y?2

x



y?2

x ?m

的关系

y?2 y?2

x 向右平行移动m个单位长度 x 向左平行移动|m|个单位长度

y?2 y?2

x ?m x ?m

推广:比较函数 y ? f (x) 与 y ? f ( x ? m) 的关系
y ? f (x) 向右平行移动m个单位长度 当m>0时, y ? f ( x ? m)

当m<0时, y ? f (x) 向左平行移动|m|个单位长度 y ? f ( x ? m)
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?1? 例2 .作出函数 y ? ? ? ? 2?
x

x

图像,求它定义域、值域,
x

?1? ?1? 并探讨 y ? ? ? 与 y ? ? ? 图像的关系. y ? 2? ? 2?
?? 1 ? x ?? ? , x ? 0 解: ? y ? ?? 2 ? ? 2x , x ? 0 ?

定义域:x?R 值 域:(0,1]
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o

x
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关系:

?1? y ?? ? ? 2?

x

将y轴右侧的部分翻折到y轴左侧

y

?1? y ?? ? ? 2?

x

o
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x
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?1? 例3 .作出函数 y ? ? ? ? 2?
x ?1

x ?1

图像,求它定义域、值域,
x ?1

?? 1 ? x ?1 ?? ? , x ? 1 ? 解: y ? ?? 2 ? ? 2 x ?1 , x ? 1 ?

?1? ?1? y 并探讨 ? ? ? 与y ? ? ? 图像的关系. ? 2? ?2?
3.5 3

2.5

2

定义域:x?R
1

1.5

1

值 域:(0,1]
-3 -2 -1

0.5

D
-0.5

1

1

2

3

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关系:

?1? y ?? ? ?2?

x ?1

将x=1右侧的部分翻折到x=1左侧

y

?1? y ?? ? ? 2?

x ?1

o
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x
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推广:对于有些复合函数的图象,则常用基本 函数图象+变换方法作出:
基本函数图象+变换:即把我们熟知的基本函数 图象,通过平移、作其对称图等方法,得到我们所 要求作的复合函数的图象,如上例,这种方法我们 遇到的有以下几种形式:

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基本函数图象+变换
复合函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y= -f(x) y= -f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f-1(x)
x), ( ? 0) ? f (y=f x (x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称. f (| x |) ? ? ? f (? x), ( x ? 0)
-1

基本函数 a>0时,向左平移a个单位; a<0时,向右平移|a|个单位. a>0时,向上平移a个单位; a<0时,向下平移|a|个单位.

y=f(x)

y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.

? f ( x), f ( x) ? 0; y ? f ( x) ? ? ?? f ( x), f ( x) ? 0.

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例4.探讨函数 y ? a x 和 y ? a ? x (a ? 0且a ? 1)的图象 的关系,并证明它们关于y轴对称

y ? a x 的图象上任意一点 证:设P(x1,y1)是函数
y ? a ? x 的图象上 ? y1 ? a ? a 即Q在函数 x 由于P是任意取的,所以 y ? a 上任一点关于
x1

则y1 ? a

x1

而P(x1,y1)关于y轴的对称点Q是(-x1,y1)
?( ? x1 )

y轴的对称点都在 y ? a 的图象上 ?x 同理可证: y ? a 图象上任意一点关于y轴的
王新敞
奎屯 新疆

?x

y ? a x 的图象上 对称点也一定在函数 y ? a x 和 y ? a ? x 的图象关于y轴对称 ∴ 函数
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§2.1.2-3指数函数及其性质(三)

2 ?2 例5.已知函数 y ? 2
x

?x

求函数的定义域、值域. 定义域为: R

解:作出函数图像

? x ? R?? ? 0 ? 4y ? 4 ? 0
2

2 x ? 2? x 由y ? 2
2

? 2 ? 2 y ? 2 ?1 ? 0
2x x

? y ?1 ? y ? 1(? y ? 0)
∴值域为:
2013-1-15

y

[1,??)
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1
o x
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书面作业 <<教材>> P.59 习题2.1 B组1.2.3.4

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