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高三零模冲刺讲义C级考点讲解与训练数列(教师版)


高三零模冲刺讲义 C 级考点讲解与训练之三

数列
C 级考点回顾:等差数列、等比数列 一、课本回顾与拓展 1.(P34 习题 9 改编)若 an ? n2 ? ?n ? 3 (其中 ? 为实常数) , n ? N ,且数列 ?an ? 为单调递增数列,则
*

实数 ? 的取值范围为____________. 2.(P

41 习题 8)已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 16 ,公差 d ? ?

3 . 4

(1)此等差数列中从第几项开始出现负数?_________; (2)当 an 最小时,求 n . ____________ 3.(P41 习题 9)三个数成等差数列,它们的和是 15,它们的平方和等于 83,则这个数列为__________. 变:成等差数列的四个数之和为 26,第二个数和第三个数之积为 40,则这个数列为_________________. 4.(P41 习题 15 改编)已知等差数列 ?an ?中, a6 ? a9 ? a15 ? 30 ,则 a10 ? ________ . 5.(P41 习题 16)在等差数列 ?an ?中,已知 a p ? q , aq ? p ( p ? q ) ,则 a p?q =_________. 6.(P44 练习 6)在等差数列 ?an ?中,已知 S8 ? 100 . , S16 ? 392,则 S 24 ? _________ 7.(P45例5)某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm (如图).已知卫生纸的厚度为0.1mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是 米(π取3.14,精确到1m)? 8.(P47 练习 4)已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 5 的等差数列,且最小角为 120 ,则它是 _________边形. 9.(P47 习题 2)求和: (3 ? 0.25k ) =____________.
k ?0
? ?

?

10

10.(P48 习题 8)一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中,偶数项和与奇数项的和之比为 32 : 27 , 则公差 d 等于__________. 11.(P48 习题 12)已知等差数列 ?an ?中, a1 ? ?3 , 11a5 ? 5a8 ,则前 n 项和 S n 的最小值为________. 12.(P55 习题 13)三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,则这个数列为___________ 13.(P56 例 2 改编) 在等比数列 ?an ? 中, 已知 S 3 ? (2)求 S 9 ____________. 14. 在等比数列 ?a n ?中,若 a1 ? 3, q ?

7 63 , S6 ? (1) , 求数列 ?an ? 的通项公式 ____________; 2 2

1 ,则 a 7 = 2

;若 a3 ? 32 , a7 ?

1 ,则 q= 8



15.(P54 习题 10)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0 , a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 ,则 a3 ? a5 的值为_______. 16.(P55 习题 14)已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ? 2 ,且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a30 ? 230 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ?a30 的 值为_______.

17.(P62 习题 8)在等比数列 ?an ? 中, q ?

1 , S100 ? 150,则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a100 的值为_________. 2

18.(P62 习题 5)求和 (a ? 1) ? (a2 ? 2) ? (a3 ? 3) ? ? ? (a n ? n) =___________. 19.(P68 习题 15)等差数列 ?an ? 中,前 m 项( m 为奇数)和为 77,其中偶数项之和为 33,且 a1 ? am ? 18 , 则数列 ?an ? 的通项公式为______________. 20.(P68 习题 16) a , b 是不为 0 的常数 a ? b, n ? N * , a n ? a n?1b ? a n?2 b 2 ? ? ? b n ? ____________. 21.(P68 习题 17)在等差数列 ?an ? 中,已知 S p ? q , S q ? p ( p ? q ) ,则 S p ?q 的值为_________. 22. 设 Sn 是等比数列的前 n 项的和,若 S3,S9,S6 成等差数列,求证:a2, a8, a5 成等差数列.

变 1:写出这个命题的逆命题,并判断其真假;

变 2:针对原命题,给出一般性结论,并给出证明;

变式 3:设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,公比为 q(q ? 1). (1)若 S 4 , S12 , S8 成等差数列,求证: a10 , a18 , a14 成等差数列; (2)若 S m , S k , Sl (m, k , l 为互不相等的正整数)成等差数列,试问数列 {an } 中是否存在不同的三项成等 差数列?若存在,写出两组这三项,若不存在,请说明理由; (3)若 q 为大于 1 的正整数,试问 {an } 中是否存在一项 ak ,使得 ak 恰好可以表示为该数列中连续两项的 和?请说明理由;

二、典例剖析 例 1(通项公式的探究问题) (1) (2012 年江苏高考题)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:
2 ? bn ?? bn ? ? ? ? an ?1 ? , n ? N .设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列. 2 2 a a an ? bn n ? ?? n ? ? ?

an ? bn

?

( 2 )已知数列 ?a n ? 前 n 项和为 S n ,满足 S n ? 4 ? a n ? ______________. 变 1:设 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 2
n?2

, n ? N ,则数列 ?a n ? 的通项公式为
?

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 通项公式 bn =_______. an ? 1 an ? 1
2 a an ? an ( n ? N *, n≥2 ) ,则 100 = a99 an ?1

变 2:已知数列{an}满足:a1 = a2 = 1, an ?1 ? 等式两边同除 an

.99

变 3:已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ( Sn ? 0 ) ,满足 an ? 2 S n S n ?1 ? 0(n ? 2), a1 ? 公式为______________. 变 4:已知各项均为正数的数列 ?an ?前 n 项的和为 S n ,数列 an

1 ,则数列 ?a n ? 的通项 2

? ? 的前 n 项的和为 T
2

n

,且

? Sn ? 2 ?

2

? 3Tn ? 4, n ? N * .则数列 ?a n ? 的通项公式为_______________.
2(an+1+an)+15 (n ? N ) ,数列{bn}的前 n
*

例 2(数列的单调性问题)数列{an}满足:a1 = 5,an+1-an = 项和 Sn 满足:Sn = 2(1-bn).

(1)证明:数列{an+1-an}是一个等差数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式,并求出数列{anbn}的最大项. 解: (1)令 n = 1 得 a2-5 = (an+1-an)2 = 2(an+1+an)+15 (an+2-an+1)2 = 2(an+2+an+1)+15 2(a2+5)+15,解得 a2 = 12,由已知得 ① ②

将②-①得(an+2-an)(an+2-2an+1+an) = 2(an+2-an), 由于数列{an}单调递增,所以 an+2-an≠0,于是 an+2-2an+1+an = 2,即(an+2-an+1)-(an+1-an) = 2, 所以{an+1-an}是首项为 7,公差为 2 的等差数列,于是 an+1-an = 7+2(n-1) = 2n+5,所以 an = (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 = (2n+3)+(2n+1)+…+7+5 = n(n+4). 2 (2)在 Sn = 2(1-bn)中令 n = 1 得 b1 = 2(1-b1),解得 b1 = , 3 因为 Sn = 2(1-bn),Sn+1 = 2(1-bn+1),相减得 bn+1 = -2bn+1+2bn,即 3bn+1 = 2bn,所以{bn}是首项和公比

2 2 均为 的等比数列,所以 bn = ( )n. 3 3 2 从而 anbn = n(n+4)( )n.设数列{anbn}的最大项为 akbk,则有 3 2 2 2 2 k(k+4)( )k≥(k+1)(k+5)( )k+1,且 k(k+4)( )k≥(k-1)(k+3)( )k-1, 3 3 3 3 所以 k2≥10,且 k2-2k-9≤0,因为 k 是自然数,解得 k = 4.所以数列{anbn}的最大项为 a4b4 = 512 . 81

变:数列 ?an ?的首项 a1 ? a ,其前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 (n ? 2, n ? N * ) ,若对任意的

m, n ? N * , an ? an?1 恒成立,则 a 的取值范围是______



例 3(数列中的子数列问题)已知数列{an}满足 an?1 ? an ? 4n ? 3 ( n ? N ).
*

(1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1 ? 2 时,求数列{an}的前 n 项和 S n ; (3)若对任意 n ? N ,都有
*

2 2 an ? an ?1 ? 5 成立,求 a1 的取值范围. an ? an?1

解析: (1)若数列 ?

an ?

是等差数列,则 an = a1 +(n-1)d, an ?1 = a1 +nd.

1 ? a a a a 2 a a 由 n ?1 + n =4n-3,得( 1 +nd)+[ 1 +(n-1)d]=4n-3,即 2d=4, 1 -d=-3,解得 d=2, 1 = 2 .
(2)由 an ?1 + an =4n-3(n∈ N ),得 an ? 2 + an ?1 =4n+1(n∈ N ).
? ?

两式相减,得 an ? 2 - an =4. 所以数列 ? 数列 ?

a2n?1?

是首项为 a1 ,公差为 4 的等差数列.

a2 n ?

是首项为 a2 ,公差为 4 的等差数列.

由 a2 + a1 =1, a1 =2,得 a2 =-1.

所以 an =

n=2k ? 1 ?2n, ? ?2n ? 5, n=2k

(k∈Z).

①当 n 为奇数时, an =2n, an ?1 =2n-3.

Sn = a1 + a2 + a 3 +…+ an =( a1 + a2 )+( a 3 + a4 )+…+( an ? 2 + an ?1 )+ an

n ?1 ? (1 ? 4n ? 11) 2n 2 ? 3n ? 5 2 2 2 =1+9+…+(4n-11)+2n= +2n= .
Sn = a1 + a2 + a 3 +…+ an =( a1 + a2 )+( a 3 + a4 )+…+( an ?1 + an )==1+9+…+(4n ②当 n 为偶数时,
2n 2 ? 3n 2 -7) = .

? 2n2 ? 3n ? 5 ,n=2k ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 2n ? 3n , n=2k ? S 2 所以 n = ? (k∈Z).
?2n ? 2 ? a1, n=2k ? 1 ? 2n ? 3 ? a1, n=2k a n (3)由(2)知, = ? (k∈Z).
①当 n 为奇数时, an =2n-2+ a1 , an ?1 =2n-1- a1 .
2 2 an ? an ?1 2 2 a ? a n ?1 ≥5,得 a1 - a1 ≥ ?4n +16n-10. 由 n

2 2 令 f ( n) = ?4n +16n-10= ?4(n ? 2) +6.
2 当 n=1 或 n=3 时, f (n) max =2,所以 a1 - a1 ≥2.

解得 a1 ≥2 或 a1 ≤-1. ②当 n 为偶数时, an =2n-3- a1 , an ?1 =2n+ a1 .
2 2 an ? an ?1 a ? an ?1 ≥5,得 a12 + 3a1 ≥ ?4n 2 +16n-12. 由 n

令 g (n) = ?4n +16n-12= ?4(n ? 2) +4.
2

2

当 n=2 时, g (n) max =4,所以 a1 + 3a1 ≥4. 解得 a1 ≥1 或 a1 ≤-4. 综上所述, a1 的取值范围是 (?? , ?4] [2 , ??) .

2

? an ? 1 , an ? 1, ? 例 4 (数列中的有界性问题) 数列 ?an ? 满足 a1 ? a ? ? 0,1? ,且 an ?1 ? ? an 若对于任意的 ?2a , a ? 1. n ? n
n ? N ? ,总有 an?3 ? an 成立,则 a 的值为
*

.

1 或 1. 2
2

变:数列 ?an ?满足: an (n ? N ) 是整数,且 an?1 ? an 是关于 x 的方程 x ? (an?1 ? 2) x ? 2an?1 ? 0 的根. (1)若 a1 ? 4 ,且 n ? 2 时, 4 ? an ? 8 ,求数列 ?an ?的前 100 项和 S100; (2)若 a1 ? ?8 , a6 ? 1 ,且 an ? an?1 , n ? N * ,求数列 ?an ?的通项公式.
2 解: (1)由 an+1-an 是关于 x 的方程 x +( an+1-2)x-2an+1=0 的根,可得:

? an?1 ? an ? 2?? 2an?1 ? an ? ? 0(n ? N * ) ,所以对一切的正整数 n , an?1 ? an ? 2 或 an?1 ?
若 a1=4,且 n≥2 时,4≤an≤8,则数列{an}为: 4,6,8,4,6,8, ???

1 an , 2

所以,数列{an}的前 100 项和 S100 ? 33(4 ? 6 ? 8) ? 8 ? 598 ; (2)若 a1=-8,根据 an(n∈N*)是整数,an<an+1(n∈N*) ,且 an?1 ? an ? 2 或 an?1 ?

1 an 2

可知,数列 {an } 的前 6 项是: ?8, ?6, ?4, ?2,0,2 或 ?8, ?6, ?4, ?2, ?1,1 或 ?8, ?6, ?3, ?1,1,3 或

?8, ?6, ?2,0,2,4 或 ?8, ?6, ?2, ?1,1,3
因为 a6=1,所以数列 {an } 的前 6 项只能是 ?8, ?6, ?4, ?2, ?1,1 且 n>4, n ? N * 时, an?1 ? an ? 2 所以,数 列{an}的通项公式是: an ?

2n ? 10, n ? 4 2n ? 11, n ? 5
1 3

例 5(数列中的分类讨论)已知函数 f ( x) 为二次函数,不等式 f ( x) ? 2 ? 0 的解集为 ( ?1, ), 且对任意的

a, ? ? R, 恒有 f (sin ? ) ? 0, f (2 ? cos ? ) ? 0 .
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若数列 {an } 满足 a1 ? 1,

3an?1 ? 1 ?

1 3 f (an ? 1) ? f (an ) ? 2

(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式;

(3)设 bn ?

1 ,在(2)的条件下,若数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , 求数列 {S n ? cos(bn? )} an

的前 n 项和 Tn .

变:已知等比数列 {an } 的首项为

1 4 1 ? B 对 n ? N * 恒成立, ,公比为 ? ,其前 n 项和为 Sn ,若 A ? Sn ? Sn 3 3

则 B ? A 的最小值为

.

59 72

例 6(数列中的不等关系) (1)等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 中, a1 ? b1 ? 0, a3 ? b3 ? 0, 且a1 ? a3 ,则 a2 ____b2;a5 ____b5 (2)已知公差不为零的正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,正项等比数列{bn}的前 n 项的和为 Tn ,若

a15 ? b5 , a30 ? b20 , 则S30 ? S15 _____T20 ? T5 .(以上两题均用不等号连接)
m,k ? N , 变 1: 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 对任意 n ? N 总有 Sn ? qan ? 1(q ? 0,q ? 1 且m ? k ) . ,
* *

① 求数列的 ?an ? 通项公式 an ; ② 试比较 Sm?k 与

1 2 1 1 ( S2 m ? S2 k ) 的大小;③当 q ? 1 时,试比较 与 的大小. ? 2 Sm?k S2 m S2 k

变 2:已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,前 n 项和为 Sn ,设 m,n,p∈N*,且 m ? n ? 2 p (1)求证: Sn ? Sm ? 2S2 p ; (2)求证: Sm ? Sn ? S p ;
2

例 7.(简易数论问题)已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
*

(2)找出所有数列 ?an ?和 ?bn ?,使对一切 n ? N * ,

an ?1 ? bn ,并说明理由. an

变:设 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列. (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m, k ? N ? ,使 am ? am?1 ? ak ?

1 (2)数列 {bn } 中,若 b1 ? 1 ,公比 q ? (0, ) ,且 ?k ? N ? ,bk ? bk ?1 ? bk ? 2 仍是 {bn } 中的项,则 q ? 2
(3) {an } 满足 a1 ? 1, d ? 2, 试证明任给 m ? N? ,总存在 p ? N? 使 a1 , am , ap 成等比数列. 三、自主练习

.

1. 设首项为-20 的数列 ?an ? 为等差数列,且恰从第 8 项开始为正数,则公差 d 的取值范围是_________.

? 20 10 ? ? , ? ? 7 3?
2. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S5 = 5,S9 = 27,则 S7 = 3. 等差数列{an}前 n 项和为 Sn.已知 am-1+am+1-a2 m=0,S2m-1=38,则 ___ . m=__________.10 __ .

4. 已知数列 {an } 满足 a0 ? 1 , an ? a0 ? a1 ? 5

,则当 n ? 1 时, an = ___ ? an?1 ( n ? 1 )

. 已知设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n ?10 ,则 f (n) ? ______

6. 已知 {an } 为等差数列,若

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 S n 有最大值,那么当 S n 取得最小正值时, a10
1 1 1 ) ? (a2 ? ) ? ? ? ? ? (an ? ) ≤ 0 的最大 a1 a2 an

n ? ______ . 19
2 7. 已知等比数列 {an } 公比 q ? 1 ,且 a10 ? a16 ,则满足不等式 (a1 ?

正整数 n 的值为

.7

8. 等差数列{an}和{bn}的前 n 项的和分别是 Sn 和 Tn, 且

a a Sn 2n , 则 5 =______, 5 =____________. ? Tn 3n ? 1 b5 b6
1 1 1 1 7 , ? ? ? ? a4 a6 a8 a2 a6 a8 a2 a4 a8 a2 a4 a6 60

9. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2a4a6a8 ? 120 ,且 则 S9 的值为 .

10. 已知数列 ?an ? 的各项均为正整数, Sn 为其前 n 项和,对于 n ? 1, 2,3,

,有

?3an ? 5, an为奇数, ? an?1 ? ? an ? k , an为偶数,其中k 为使an?1为奇数的正整数. ?2
则当 a1 ? 1 时, S1 ? S2 ?

? S20 ? _______

910

2 ? 11 已知 ?bn ? 是等差数列,对于给定的正整数 m , b12 ? bm ?1

3 ,则 bm?1 ? 2

? b2 m ? b2 m?1 的最大值为

____________.

15 (m ? 1) 2

12. 设 a1 , a2 , ???, a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1 ? a2 ? ??? ? a50 ? 9 ,

(a1 ? 1)2 ? (a2 ? 1)2 ? ??? ? (a50 ? 1)2 ? 107 ,则 a1 , a2 , ???, a50 中数字 0 的个数为
2 13. 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项之和.若不等式 an ?

.7

2 Sn ? ? a12 对任何等差数列 {an } 及任何正整数 n 恒成立, 2 n

则 ? 的最大值为_________. 14. 一个正数,它的小数部分、整数部分及它本身,依次构成等比数列,则这个正数为 15. 已知数列 ?an ? 满足对任意的 n ? N * , 都有 a13 ? a23 ? (1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设数列 ? .

? an3 ? (a1 ? a2 ?

? an )2 且 an ? 0 .

?

1 1 ? ? 的前 n 项和为 Sn ,不等式 S n ? log a (1 ? a ) 对任意的正整数 n 恒成立,求实数 a 的 3 ? an an? 2 ?

取值范围.

? 1? ? 0, ? ? 2?

a a ? 0) 的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若对任意的正整数 m, n ,都有 16. 已知首项为 (
(1)证明:数列 ?an ? 是等差数列;

Sn ? n ? ?? ? . Sm ? m ?

2

(2)若 a ? 1 ,数列 ?bn ? 的首项为 b(b ? 1) ,第 n(n ? N * , n ? 2) 项 bn 是数列 ?an ? 的第 bn -1 项,求证:数 列 ?bn ?1? 为等比数列; (3)若对(2)中的数列 ?an ? 和 ?bn ? 及任意正整数 n ,均有 2 n ? bn ? 11 ? 0 成立,求实数 b 的最小值.
a

17. 数列 {an } 满足: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

?

?

? n ?1

an

? n 2 ? 2n (常数? ? 0, n ? N ? )

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)当 ? ? 4 时,是否存在互不相同的正整数 r , s , t ,使得 ar , as , at 成等比数列?若存在,给出 r , s , t 满足 的条件;若不存在,说明理由; (3)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.若对任意 n ? N ? ,都有 (1 ? ? )Sn ? ?an ? 2? 恒成立,求实数 ? 的取 值范围. 解: (1) a1 ? 3 当 n ? 2 时,由 a1 ? 得 a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

?

?

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n



a2

?

? an

?

a3
2

?

?

?

an ?1
n?2

? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)



①- ②得

? n ?1

? 2n ? 1 ,所以 an ? (2n ? 1)? n?1 ( n ? 2 )
n ?1

因为 a1 ? 3 ,所以 an ? (2n ? 1)?

( n? N? )

(2)当 ? ? 4 时, an ? (2n ? 1)4

n?1

若存在 ar , as , at 成等比数列,则 (2r ? 1)(2t ? 1)4r ?t ?2s ? (2s ? 1)2 由奇偶性知 r ? t ? 2s ? 0 所以 (2r ? 1)(2t ? 1) ? (r ? t ? 1)2 ,即 r ? t ,这与 r ? t 矛盾. 故不存在互不相同的正整数 r , s , t ,使得 ar , as , at 成等比数列 (3) ? ? (0, ]

3 2

18. 设 a1 , a2 ,

an 是各项均不为零的等差数列 (n ? 4) ,且公差 d ? 0 ,若将此数列删去某一项得到的数
a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

列(按原来的顺序)是等比数列. ① 当 n ? 4 时,求

(2)求证:对于一个给定的正整数 (n ? 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b1 , b2 中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列

bn ,其

19. 已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2012 , 公比 q ? ? (1)求数列 ?Sn ? 的最大项和最小项;

1 , 数列 {an } 前 n 项和记为 Sn , 前 n 项积记为 ? ( n) . 2

(2)判断 ?(n) 与 ?(n ? 1) 的大小,并求 n 为何值时, ? ( n) 取得最大值; (3)证明 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些等差数列的公 差按从小到大的顺序依次设为 d1 , d2 , d3 ,

dn ,证明:数列 {dn } 为等比数列

a1[1 ? (? 1 ) n ] 2 ? 2 a [1 ? (? 1 ) n ] 解: (1) S n ? 3 1 2 1 ? (? 1 ) 2
2 n (1)当 n 是奇数时, Sn ? 2 a1[1 ? ( 1 ) ] , 单调递减,? S1 ? S3 ? S5 ? ??? ? S 2 n ?1 ? a1 ,

3 3

2

3

2 n (2)当 n 是偶数时, Sn ? 2 a1[1 ? ( 1 ) ] , 单调递增,? S 2 ? S 4 ? S6 ? ??? ? S 2 n ? a1 ;

2

3

综上,当 n=1 时, Sn有最大值为S1 ? 2012 ; 当 n=2 时, Sn有最小值为S2 ? 1006 (2) | ?(n) |?| a1a2a3

an | ,?

| ? (n ? 1) | ?| an ?1 |? 2012( 1 )n , | ? ( n) | 2

2012 ? 1 ? 2012 , 211 210
则当 n ? 10 时, | ?(n ? 1) |?| ?(n) | ;当 n ? 11 时, | ?(n ? 1) |?| ?(n) | , 又 ?(10) ? 0, ?(11) ? 0, ?(9) ? 0, ?(12) ? 0 ,

? ?(n) 的最大值是 ?(9)和?(12) 中的较大者.
? (12) ? a10 a11a12 ? a113 ? [2011(? 1 )10 ]3 ? 1 ,??(12) ? ?(9) , ? (9) 2
因此当 n=12 时, ? ( n) 最大. (3) | an | 随 n 增大而减小,数列 {an } 的奇数项均正数且递减,偶数项均负数且递增. ①当 n 是奇数时,调整为 an ?1 , an ? 2 , an .则

a a , 2an?2 ? 2a1 (? 1 )n?1 ? 1 , an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? 1 n 2 2 2 2 2n
? an?1 ? an ? 2an? 2 , an?1 , an? 2 , an 成等差数列;
②当 n 是偶数时,调整为 an , an ? 2 , an ?1 ;则

a a , 2an?2 ? 2a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 , an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 n 2 2 2 2 2n
? an?1 ? an ? 2an? 2 , an , an? 2 , an?1 成等差数列;
综上可知,数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列.14 分 ①n 是奇数时,公差 dn ? an?2 ? an?1 ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n ] ?

2

2

3a1 ; 2n?1 3a1 . 2n?1

②n 是偶数时,公差 dn ? an?2 ? an ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n?1 ] ?

2

2

无论 n 是奇数还是偶数,都有 dn ?

d 3a1 ,则 n ? 1 , n ?1 d n ?1 2 2

因此,数列 {dn } 是首项为 3 a1 ,公比为 1 的等比数列. 4 2 20. 首项为 a1 的正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , q 为非零常数,已知对任意正整数 n, m , S n ? m ? S m ? q m S n 总成立. (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列;
m h 2k (2)若不等的正整数 m, k , h 成等差数列,试比较 am 与 ak 的大小; ? ah

(3)若不等的正整数 m, k , h 成等比数列,试比较 a ? a 与 a 的大小. 解: (1)证:因为对任意正整数 n, m , S n ? m ? S m ? q m S n 总成立, 令 n ? m ? 1 ,得 S 2 ? S1 ? qS1 ,则 a2 ? qa1 令 m ? 1 ,得 S n ?1 ? S1 ? qS n (1) , 从而 S n ? 2 ? S1 ? qS n ?1 (2),

1 m m

1 h h

2 k k

(2)-(1)得: an ? 2 ? qan ?1 , (n ? 1) 综上得 an ?1 ? qan (n ? 1) ,所以数列 ?an ? 是等比数列 (2)正整数 m, k , h 成等差数列,则 m ? h ? 2k ,所以 m 2 ? h 2 ? 则 am ? ah ? a1 q
m h m m2 ? m

1 ( m ? h ) 2 ? 2k 2 , 2

a1h q h

2

?h

? a12 k q m

2

? h2 ?m ?h

m h 2k ① 当 q ? 1 时, am ? ah ? a12 k ? ak

② 当 q ? 1 时, am ? ah ? a1 q
m h 2k m h

m2 ? h2 ? m ? h

? a12 k q 2 k

2

?2k

2k ? (a1q k ?1 ) 2 k ? ak
2

③ 当 0 ? q ? 1 时, am ? ah ? a1 q
2k

m2 ? h2 ? m ? h

? a12 k q 2 k

?2k

2k ? (a1q k ?1 ) 2 k ? ak

(3)正整数 m, k , h 成等比数列,则 m ? h ? k 2 ,则
m ? ahh ? (a1q 所以 am 1 1 1 m ?1 m

1 1 1 2 ? ?2 ? , m h mh k
2 a 1 ?1 a 2 ? q 2 ( 1 ) m h , ak k ? q 2 ( 1 ) k q q

) (a1q h ?1 ) h ? a1m h q

1

1 1 ?

1 1 2? ? m h

1 1 2 2 a1 2 m h k k ① 当 a1 ? q ,即 ? 1 时, am ? ah ? ak ? q ? ak q

② 当 a1 ? q ,即

1 1 2 a 1 ?1 a 2 a1 m ? ahh ? q 2 ( 1 ) m h ? q 2 ( 1 ) k ? ak k ? 1 时, am q q q

1 1 1 1 2 2 ? a1 2 a1 m h 2 a1 k m h k ? q ( ) ? ak ③ 当 a1 ? q ,即 ? 1 时, am ? ah ? q ( ) q q q


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