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第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案(word版)


29 届全国中学生物理竞赛决赛试题 panxinw 整理 一、(15 分) 如图,竖直的光滑墙面上有 A 和 B 两个钉子,二者处于同一水平高度,间距为 l ,有一原长为 l 、劲度 系数为 k 的轻橡皮筋,一端由 A 钉固定,另一端系有一质量为 m=
kl 4g

的小

球,其中 g 为重力加速度.钉子和小球都可视为质点,小球

和任何物体碰 撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连.现将小球水平向右拉伸到与 A 钉 距离为 2 l 的 C 点,B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触.初始时 刻小球获得大小为 v 0 ?
gl 2

、方向竖直向下的速度,试确定此后小球沿

竖直方向的速度为零的时刻.

二、(20 分) 如图所示,三个质量均为 m 的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点 A、B 和 C 处.AD ⊥BC,且 AD=BD=CD=a,小球可视为质点,整个杆球体系置于水平桌面上,三个小球和桌面接触,轻质杆架 悬空.桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ ,在 AD 杆上距 A 点 a/4 和 3a/4 两处分别施加一垂直于此杆的推力,且两推力大小相等、方向相反. 1.试论证在上述推力作用下,杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时, 三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力; 2.如果在 AD 杆上有一转轴,随推力由零逐渐增加,整个装置将从静止开始绕 该转轴转动.问转轴在 AD 杆上什么位置时,推动该体系所需的推力最小,并求出 该推力的大小.

三、(20 分) 不光滑水平地面上有一质量为 m 的刚性柱体,两者之间的摩擦因数记为μ .柱体 正视图如图所示,正视图下部为一高度为 h 的矩形,上部为一半径为 R 的半圆形.柱 体上表面静置一质量同为 m 的均匀柔软的链条,链条两端距地面的高度均为 h/2, 链条和柱体表面始终光滑接触.初始时,链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑.试 求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中, 当题中所给参数满足什么关系 时, 1.柱体能在地面上滑动; 2.柱体能向一侧倾倒; 3.在前两条件满足的情形下,柱体滑动先于倾倒发生.

四、(20 分) 如图所示,在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球,两球半径均为 a,A 球质 量为 m,所带电荷量为 Q,B 球质量为 4m,所带电荷量为-4Q.在初始时刻,两球球心距为 4a,各有一定的 初速度,以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞,且都不会从圆桌面掉落.现要求在此前提下尽量减 小桌面面积,试求 1.两球初速度的方向和大小; 2.圆桌面的最小半径. 假设两球在运动过程中, 其所带电荷量始终保持均匀分 布:桌面也不发生极化效应.已知两个均匀带电球之间的静 电相互作用力, 等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相 互作用力;静电力常量为 ke.

五、(20 分) 如图所示,一半径为 R 的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置,可绕过圆盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由 转动.一半径为 a 的轻质小圆线圈(a<<R)固定在盘面上,圆线圈与圆盘共轴.在盘边缘处等间隔地固定 4 个质量均为 m 的带正电的金属小球,每个小球所带电荷量均为 q.此装置处在一磁感应强度大小为 B0、方 向竖直向上的均匀强磁场中.初始时圆盘静止,圆线圈中通有恒定电流 I.方向沿顺时针方向(从上往下 看).若切断圆线圈中的电流,则圆盘将发生转动.求薄圆盘稳定转动后,圆盘在水平方向对每个金属球 小的作用力的大小.假设金属小球可视为质点,不计小圆线圈的自感和 带电金属小球因运动所产生的磁场. 已知固定在圆盘面上的半径为 a、通有电流 I 的圆线圈在圆盘面内、 距线圈圆心的距离为 r 处(r>>a)产生的磁场的磁感应强度的大小为 B= k m
2? a I
2

r

3

,式中 km 为已知常量,当线圈中的电流沿顺时针方向时,

磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上.静电力常量为 ke.

六、(15 分) 如图,一水平放置的刚性密闭气缸,缸壁是绝热的,活塞把气缸内空 间分为两个体积相同的密闭室 A 和 B.活塞由一层热容量很小(略去其影 响)、导热良好的材料(与气缸壁有摩擦)和一薄层绝热材料(与气缸壁没 有摩擦)压制而成,绝热层在 A 室一侧.初始时,A 室和 B 室充有绝对温 度均为 T0 的同种多原子分子理想气体, 室气体压强是 B 室气体压强的 4 A 倍.现释放活塞,活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而运动缓 慢,最后停止在平衡位置(此时活塞与缸壁间无静摩擦). 已知气缸中的气体具有如下特性:在温度高于某个临界温度 Td(>T0) 时,部分多原子气体分子将发生分解,一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子.被分解的 气体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比 a 满足关系 a= ? (T ? T d ) ,其中β =2.00T0 .分解过程是可逆
-1

的,分解 1 摩尔分子所需能量φ =CT0/l0,1 摩尔气体的内能与绝对温度 T 的关系为 u=CT(C 是与气体的种 γ 类无关的常量).已知当压强为 P、体积为 V 的这种气体绝热缓慢膨胀时,PV =常量,其中γ =4/3. 1.对于具有上述特性的某种气体,若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生了分解,求这种分 子发生分解的临界温度 Td 的可能值; 2.对于具有上述特性的另一种气体,若实验测得在上述过程结束时有 a=l0.0%的分子分解了,求这种 分子发生分解的临界温度 Td.

七、(15 分) 如图一所示的光学系统是由平行光管、 载物台和望远镜组成. 已知望远镜物镜 L0 的焦距为 l6.OOcm. 在 L0 的焦平面 P 处,放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物,如图二所示.在载物台上放置双面平行的平面 镜 M,通过望远镜的目镜 Le 观察时,能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过 L0 折射、M 反 射、再经 L0 折射后在分划板上所成的十字像,十字像位于 A 点,与上十字叉丝线的距离为 5.2mm.绕载物 台转轴(沿竖直方向)转动载物台,使平面镜转 l80°,此时十字像位于 B 点,与上十字叉丝线的距离为 18.8mm.根据以上情况和数据可计算出,此时望远镜光轴与水平面的夹角为 rad;据此结果, 调节望返镜,使其光轴与载物台的转轴垂直. 平行光管是由十字缝 S 和凸透镜 L 组成.去掉光学系统中的平面镜 M,并用钠光灯照亮 S.沿水平方 向移动 S,当 S 到平行光管中的透镜 L 距离为 8.25cm 时,通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成 在分划板中心十字叉丝线上,由此可以推知,L 的焦距等于 cm. 将载物台平面调至与载物台的转轴垂直,在载物台上放置长、宽、高均为 3.OOcm、折射率为 1.52 的 分束棱镜 abed(分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成,接触面既能透光又能反光)和待测凹球面镜 0,0 到 L 的距离为 l5.OOcm, 并保证分束棱镜的 ab 面与图三中的 XX′轴垂直、 凹球面镜的光轴与图三中的 XX′ 轴重合;再将望远镜绕载物台的中心轴转 90°,如图三所示。向右移动 S,当 S 移动的距离为 3.75cm 时, 通过望远镜目镜刚好能看清楚十字缝 S 的像成在分划板中心十字叉丝线上.试求凹球面镜的曲率半径.

八、(15 分) 在处理微观物理问题时,经常接触到诸如电子质量 me、质子电荷量 e 及普朗克常量 h 等基本物理常量.在 国际单位制中,这些物理常量的数值都很小,给相关的数值计算带来不便.为了方便起见,在微观物理领 域引入所谓 “原子单位制” 规定电子质量为质量单位,? ( ? ? h / 2 ? ) 为角动量单位, , 质子电荷量的 k e 倍 为电荷量单位,其中常数 ke 和国际单位制中的静电力常量取值相同.按如上定义规定了质量、电荷量和角 动量的基本单位后,在“原子单位制”中其它物理量的单位可用相关物理公式导出.如果在“原子单位制” 下,长度、时间和能量的单位用符号 Lau、Tau 和 Eau 表示,试从玻尔氢原子模型推出三者分别与米、秒 和焦耳的换算关系.结果用 ke、me、e 和 ? 等常量表示.


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