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椭圆及其标准方程教学设计 (1)


椭圆及其标准方程教学设计

青铜峡市高级中学 二○○六年十月

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课题

椭圆及其标准方程

一学情分析 学生在必修Ⅱ中学过圆锥曲线之一,圆。掌握了圆的定义及圆的 标准方程的推导, 学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。 二、教学目标 知识技能: 〈1〉掌握随圆的定义

,掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过 程 〈2〉能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用定义法,待定系 统法求随圆的标准方程。 过程方法: 〈1〉通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能 力。 〈2〉通过对椭圆标准方程的推导,是学生进一步掌握求曲线方程 的一般方法,并渗透数结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标解 决几何问题的能力,情感态度和价值观:通过让学生大胆探索椭圆的 定义和标准方程,激发学生学习数学的积极性,培养学生的学习兴趣 和创新意识。 三、教学重点,难点分析 重点:椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。 难点:椭圆标准方程的建立和推导。 关键:掌握建立坐标系统与根式化简的方法。
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椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容,一是椭圆 定义,二是椭圆的标准方程,椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种 圆锥曲线中,先要学习的内容,所以教材把对椭圆的研究放在了重点, 对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用,先讲椭圆也与圆的知识衔接 自然,学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。 四、教法建议 〈1〉安排学生提前预习,动手切割圆锥形的事物,使学习了解圆 锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。 〈2〉 对椭圆定义的引入, 要注重于借助直观、 形象的模型或教具, 让学生从感性认识入手,逐步上升到理性认识,进而形成正确的概念。 〈3〉将课本提出的问题分解成若干小问题,通过学生、教师动手 演示,来体现椭圆定义的实质。 〈4〉注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。 〈5〉推导椭圆的标准方程时,教师要注重化解难点,实施的补充 根式化简方法。 〈6〉讲解完焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程后,教师要启发学生 自己研究焦点在 y 轴上的标准方程。然后,鼓励学生探索椭圆的两种 标准方程的异同点,进一步加深对椭圆的认识。 〈7〉在学习新知识的基础上要巩固旧知识。 〈8〉要突出教师的指导作用,又要强调学生的主体作用,课堂上 尽量让全体学生参与讨论。由基础较差的学生提出猜想,由基础较好 的学生帮助证明,培养学生团结协作的团队精神。 五、课前准备
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1、每人准备一根细绳、一卷胶带。 2、圆锥曲线模型。 六、教学基本流程

回忆圆的定义,及画法

类比画出椭圆,引出椭圆定义

根据条件,建立椭圆的标准方程

例题及练习

小结与布置作业

七、教学过程设计 问题 设计意图 师生活动

1、我们在必修Ⅱ中, 在数学学习中, 我们可 教师在黑板上, 分别用 已学习圆的知识, 请同 以用类比方法由学习、 圆规画圆;用线绳画 学们用集合的观点叙 熟悉的知识引入新的 圆。 让学生观察、回答 述圆的定义。 问 题 知识。 设计设计意图
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圆的定义。 师生活动

2、同学们,除了大家 让学生从感性认识入 学生思考、回答。如: 所熟悉的圆, 还有另一 手, 逐步上升到理性认 地球运行轨道。圆锥、 种圆锥曲线 ---- 椭圆。 识,形成正确的概念。 圆柱的斜截面。 教师展 请大家举例生活中椭 圆的形象。 示截面是椭圆的模型。

3、如何画椭圆的呢? 培养学生观察能力, 类 学生思考、试验。教师 比圆的画法,解决问 可提示采用线绳画。 题。 〈1〉固定在两点 F1、 F2, 〈2〉 细绳长用 2a 表示 2a>∣F1F2∣ 〈3〉套上铅笔,拉动 细绳移动笔尖。

4、通过画椭圆观察这 培养学生观察能力、 归 分析画图过程中的 条曲线上所有点满足 纳总结能力, 为形成椭 “变”与“不变”的条 的几何条件是什么? 圆定交奠定基础。 件 M F1,M F2 都在变 化 , 但 ∣ MF1 ∣ + ∣ MF2 ∣ 的 长 度 保 持 不 变。
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设计设计意图

师生活动

5、 如何描述动点 M 所 整理试验, 归纳抽象成 把平面内与两个定点 满足的几何条件。 数学问题。 F1,F2,的距离之和等 于 常 数 ( 大 于 ∣ F 1F 2 ︳) 的点的轨迹叫做椭 圆。 两个定点叫做椭圆 的焦点; 两点间的距离 叫做椭圆的焦距(板 书) 。 6、如何用集合表示 M 使学生能将文字语言 学生回答:教师板书 点所满足的几何条件。 转化为数学语言, 为推 P= ﹛ M ∣ MF1 ∣ + ∣ 导椭圆标准方程做铺 MF2∣=2a﹜ 垫。 7、我们怎样建立坐标 推导曲线方程时, 建立 师生共同分析椭圆的 系, 求椭圆的标准方程 坐标系要适当。 呢? 特征(如:对称性) , 使方程比较简单; 以线 F1F2 的中心为原心, 以 F1F2 垂直平分线为 Y 轴,建立直角坐标系。 完成“建系” ,设动点 M(x,y)是椭圆上的任意一点,椭圆的 焦距为 2c(C>0) ,则 F1(-C,0) ,F2(C,0) ,又设 M 与 F1F2 的 距离和等于 2a(板书) 问 题 设计设计意图
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师生活动

8、请同学们来表示 M 巩固已学过的两点距 ∣MF1∣= 到 F1F2 的距离 ∣MF1∣,∣MF2∣ 离公式, 为推导标准方 ∣MF2∣= 程做准备。

( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c) 2 ? y 2

由 P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜得

( x ? c) 2 ? y 2

+

( x ? c) 2 ? y 2

=2a

9、 如何整理化简上式。 学习巩固根式化简, 两 找两位同学板演, 其余 边平方。 同学自己完成,化简 到:
x2 a2

? a 2y?c 2 ? 1

2

10、 观察下图, 找出表 确定 a、b、c 的几何定 通过观察 y 轴是 F1 F2 示 a、c、 段 Y
F1 O F2

a2 ? c2

的线 义及其关系

的中垂线,P 到 F1 F2 的距离相等, OF1, OF2 被 y 轴平分,所以:

X

∣PF1∣=∣PF2∣=a, ∣OF1∣=∣OF2∣=c, ∣P0∣=
a2 ? c2
y2
2 2 2

由∣P0∣=

a2 ? c2
x2 a2

,令 b=
y2 b2

a2 ? c2

,b =a -c ,即:代入

x2 a2

? a 2 ?c 2 ? 1 得椭圆

形标准方程:

?

?1

根据上图知:a﹥b﹥0

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设计设计意图

师生活动

11、 对于椭圆形标准方 适时总结归纳, 区分焦 学生讨论,教师板书。 程
x2 a2

?

y2 b
2

? 1 (a ﹥ b ﹥ 0) 点在 X 轴与 Y 轴的不 <1>

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ﹥ b ﹥

的特点是什么?还有 同。 什么结论。

0)的焦点在 X 轴上; <2> a 2 -b 2 =c 2(结论)

12、P38 思考 Y F2 M X F1

推导焦点在 Y 轴上的 学生已有推导焦点在 椭圆标准方程 x 轴上的椭圆标准方 程的经验, 教师通过以 下几点引导, 由学生完 成〈1〉设出动点,焦 点坐标, 注:特别教师 焦头烂额坐标,应在 y 轴上〈2〉列出相等关 系(定义) 〈3〉化简整 理, 得椭圆的另一标准 方程
y2 a
2

?

x2 b2

?1

13、 椭圆的另一个标准 对比上一个焦点在 x 〈1〉交点在 y 轴上 方程 ay
2 2

?

x2 b2

?( 1 a﹥b﹥c) 轴上的椭圆标准方程

〈2〉a2-b2=c2(结论)

有什么特点, 有什么结 论? 问 题 设计设计意图
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师生活动

例 1P38 求标准方程

区别焦点不同, 选择设 由学生独立思考, 发表 不同的方程, 会用定义 各自的想法, 教师适时 来求椭圆标准方程, 或 引导, 强调要注意的问 用待定系数法来求椭 题,及时总结: 圆标志方程 〈1〉确定要设的椭圆 标准方程 〈2〉要求椭圆标准方 程,即要求 a,b 〈3〉 恰当列出含 a, b, c 的方程 〈4〉 相等关系 a2-b2=c2

练习:写出适合下列条件的椭圆方程 〈1〉a=4,b=1,焦点在 x 轴上。 〈2〉a=4,c=,焦点在 y 轴上。 〈3〉a+b=10,c=2 分析:以上练习较简单,其目的为了巩固求椭圆标准方程,及区别 焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上的椭圆标准方程

小结:以提问形式 〈1〉椭圆是怎样的点的轨迹?〈2〉椭圆的标准方程是怎样的? 〈3〉椭圆的两个标准方程有什么区别? 布置作业:课本习题 2.1A 组 P463 题

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