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河南省郑州一中2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含答案)


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2013—2014 学年上期中考 15 届 高二理科数学试题
说明: 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,满分 150 分,时间 120 分钟. 2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中. 第Ⅰ卷 (选择题、填空题,共 80 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 在 ?ABC 中,若 a ? 3, cos A ? ? A.

1 ,则 ?ABC 的外接圆半径是 2
D. 3 )项.

1 2

B.

3 2

C. 2 3

2. 已知数列 5, 11, 17, 23, 29, ?, 则 5 5 是它的第( A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

3. 若不等式 a ? b 与 A. a ? b ? 0

1 1 ? 同时成立,则必有 a b 1 1 B. 0 ? ? C. a ? 0 ? b a b

D.

1 1 ? ?0 a b

4. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ? 60? , b ? 4 3 ,为使此三角 形只有一个,则 a 满足的条件是 A. 0 ? a ? 4 3 B. a ? 6 C. a ? 4 3 或 a ? 6 D. 0 ? a ? 4 3 或 a ? 6

5. 已知等差数列 {an } 满足, a1 ? 0,5a8 ? 8a13 ,则前 n 项和 S n 取最大值时,n 的值为 A.20 B.21 C.22 D.23

6. 在△ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 ccosC=bcosB,则△ABC 的形状一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形

7. 已知正项等比数列 {an } 满足: a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n
A. 9 B.

4 3

C.

5 3

D.

3 2

8. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若三边的长为连续的三个正整数,且

A ? B ? C , 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C =
A. 4:3:2 B. 5:6:7 C. 5:4:3
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D. 6:5:4

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2 2

9. 设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+9y -z=0,则当 为 A.1 B.

3 1 9 xy 取得最大值时, ? ? 的最大值 z x y z

9 4

C.-1

D.3

10. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? n ? 1, bn ? (?1) n a n (n ? N * ) ,则 {bn } 的前 50 项的和为 A.49 B.50 C.99 D.100

?x ? 1 ? 11. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 6,最小值为 1, ?ax ? by ? c ? 0 ?
其中 b ? 0, 则 A.1

c 的值为 b
B.2 C .3 D.4

12. 数列 {an } 的通项公式为 an ? 13 ? 3n , bn ? an ? an ?1 ? an ? 2 , S n 是数列 ?bn ? 的前 n 项和, 则 S n 的最大值为 A. 280 B. 300 C. 310 D. 320 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 在△ ABC 中,三边 a 、 b 、 c 所对的角分别为 A 、 B 、 C ,若

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 0 ,则角 C 的大小为
2 2



14. 设 x, y ? R ,若 4 x ? y ? xy ? 1 ,则 2 x ? y 的最大值是_________. 15. 已知方程 x ? (2 ? a ) x ? 1 ? a ? b ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 则
2

a 的取值范 b





16. 已 知 数 列

?a ?
n

满 足 an ?1 ? qan ? 2q ? 2 ( q 为 常 数 , | q |? 1 ) , 若 .

a3 , a4 , a5 , a6 ? {?18, ?6, ?1, 6,30} ,则 a1 ?

2013—2014 学年上期中考 15 届 高二理科数学试题答题卷
题号 一 二 三 17 18 19 20 21 22 总分

得分

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一、选择题: (共 60 分) 1 2 3 题号 答案 二、填空题: (共 20 分) . 13. 14.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15.

16.

第Ⅱ卷 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)某单位有 A 、 B 、 C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络 发射点 O ,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面内. (Ⅰ)求 ?BAC 的大小; (Ⅱ)求点 O 到直线 BC 的距离.

18.(本小题满分 12 分)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和. 已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4 构成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

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19. (本小题满分 12 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 cos A ?

2 , sin B ? 5 cos C . 3

(Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a ?

2 ,求 ? ABC 的面积.

座号 20.(本小题满分 12 分)如图所示, ABCD 是一个矩形 花坛,其中

AB= 4 米, AD = 3 米. 现将矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN , 要求: B 在 AM 上,D 在 AN 上,对角线 MN 过 C 点, 且矩形 AMPN 的面积小于 64 平方米. (Ⅰ) 设 AN 长为 x 米, 矩形 AMPN 的面积为 S 平方米, 试用解析式将 S 表示成 x 的函数,并写出该函数的定义域; (Ⅱ)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最 小?并求最小面积.
A B M N P

D

C

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21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 3 .
2

(Ⅰ)当 x ? ? ?2, 2? 时, f ? x ? ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若对一切 a ? ? ?3,3? , f ? x ? ? a 恒成立,求实数 x 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ? (I)证明:数列 {an ? n} 是等比数列; (Ⅱ) 若 bn ? ( ) ? an , cn ? 1 ?
n

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N * ). 2 2

1 2

1 1 ? , 数列 {cn } 的前 n 项和为 Pn , 求不超过 P2013 2 bn bn ?12

的最大整数的值.

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2013—2014 学年上期中考 15 届 高二理科数学试题
参考答案 一、选择题: 1-5 DCCCB 6-10 CDDAA 11-12 二、填空题 13. DC

2 10 3? (或 135? ) 14. 5 4

15. (?

3 1 ,? ) 2 2

16. 126

三、解答题: 17. 解:(Ⅰ)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m ,

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 802 ? 502 ? 702 1 由余弦定理得 cos ?BAC ? ? ? . 2 ? AB ? AC 2 ? 80 ? 50 2
因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ? (Ⅱ)方法 1:设外接圆的半径为 R , 因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ?

? .……………………5 分 3

A

3 ? ,所以 sin A ? . 2 3
B

O C

所以 2 R ?

70 140 3 70 3 ,即 R ? . ? 3 3 3 2

D

过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , 在△ OBD 中, OB ? R ?

70 3 BC 70 , BD ? ? ? 35 , 3 2 2
2

A

? 70 3 ? 35 3 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? ? 3 ? ? ? 35 ? 3 . ? ?
2 2

O B D C

35 3 所以点 O 到直线 BC 的距离为 m. 3

方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等,所以点 O 为△ ABC 外接 圆的圆心.连结 OB , OC ,过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D ,

?? ? ,所以 ?BOC ? . 3 3 ? BC 70 所以 ?BOD ? .在 Rt △ BOD 中, BD ? ? ? 35 , 3 2 2
由(1)知 ?BAC ?

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所以 OD ?

BD 35 35 3 . ? ? ? tan ?BOD tan 60 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

35 3 m .……………………10 分 3

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 18. 解: (Ⅰ)由已知得 : ? (a ? 3) ? ( a ? 4) 解得 a2 ? 2 .设数列 {an } 的公比为 q ,由 1 3 ? 3a2 . ? ? 2

2 2 a2 ? 2 ,可得 a1 ? ,a3 ? 2q .又 S3 ? 7 ,可知 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 , q q
解得 q1 ? 2,q2 ?

1 .由题意得 q ? 1, ? q ? 2 .? a1 ? 1 . 2

故数列 {an } 的通项为 an ? 2n ?1 .………………………………6 分 (Ⅱ)由于 bn ?

n n = n ?1 ,所以 an 2

1 2 n + 1 + ? + n ?1 , 0 2 2 2 1 1 2 n ?1 n ? Tn ? 1 + 2 + ? + n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 n n?2 两式相减得: Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? 2(1 ? n ) ? n ? 2 ? n . 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ………………………………12 分 ?Tn ? 4 ? n ?1 . 2 Tn ?
19. 解:(Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos 2 A ?
2 3

5 , 3 5 2 cosC+ sinC. 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA= 整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 sinC= 又由正弦定理知:
5 . 6

………………………………6 分

a c ? ,故 c ? 3 . (1) sin A sin C
b2 ? c2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3

由余弦定理得:cosA=

解(1) (2)得: b ? 3 or b=

3 5 (舍去).∴ ? ABC 的面积为:S= .…………12 分 3 2

20. 解: (Ⅰ)由△NDC∽△NAM,可得

DN DC ? , NA AM
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4x2 x ?3 4 4x ,即 AM ? ,故 S =AN ? AM ? , ? x ?3 x AM x ?3

4x2 由 S= ? 64 且 x ? 3 ,解得 x ? ? 4,12 ? , x ?3
故所求函数的解析式为 S =

4x2 ,定义域为 ? 4,12 ? .……………………6 分 x ?3

(Ⅱ)令 x ? 3 ? t ,则由 x ? ? 4,12 ? ,可得 t ? ?1,9 ? ,

? ? 4 x 2 4 ? t ? 3? 9 ? 9 ? = ? 4?t ? ? 6? ? 4? 2 t ? ? 6 故 S= ? ? ? ? 48 , x ?3 t t ? t ? ? ? 9 当且仅当 t = ,即 t =3 时,即当 x ? 6 时, S 取最小值 48. t
2

故当 AN 的长为 6 时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积为 48 平方米. …………12 分 21. 解:(Ⅰ)当 x ? ? ?2, 2? 时,设 g ? x ? ? x ? ax ? 3 ? a ,分以下三种情况讨论:
2

(1)当 ? 因此 ?

a ? ?2 时,即 a ? 4 时, g ? x ? 在 ? ?2, 2? 上单调递增, g ? x ?min =g ? ?2 ? ? 7 ? 3a , 2

? a?4 , a 无解. ?7 ? 3a ? 0
a ? 2 时,即 a ? ?4 时, g ? x ? 在 ? ?2, 2? 上单调递减, g ? x ?min =g ? 2 ? ? 7+a , 2

(2)当 ? 因此 ?

? a ? ?4 ,解得 ?7 ? a ? ?4 . ?7+a ? 0

a2 a ? a? ? a ?3, (3)当 ?2 ? ? ? 2 时,即 ?4 ? a ? 4 时, g ? x ?min =g ? ? ? ? ? 4 2 ? 2?
? ?4 ? a ? 4 ? 因此 ? a 2 ,解得 ?4 ? a ? 2 . ?? ? a ? 3 ? 0 ? 4
综上所述,实数 a 的取值范围是 ?7 ? a ? 2 .……………………6 分 (Ⅱ) 由 f ? x ? ? a 得 x 2 ? ax ? 3 ? a ? 0 ,令 g ? a ? ? ? x ? 1? a ? x ? 3 ? 0 ,
2

要使 g ? a ? ? 0 在区间 ? ?3,3? 恒成立,只需 ?

2 ? ? g ? ?3? ? 0 ? x ? 3 x ? 6 ? 0 即? 2 , g 3 ? 0 x ? 3 x ? 0 ? ? ? ? ?

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解得 x ? ?3 或 x ? 0 .所以实数 x 的取值范围是 ? ??, ?3? ? ? 0, ?? ? .……………………12 分 22. 解:(Ⅰ) 因为 an ? S n ? ? n 2 ? 所以

1 2

3 n ?1, 2 1 . 2

① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ?

② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 . 所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,

1 2

3 2

1 1 1 ,所以数列 {an ? n} 是首项为 ,公比为 的等比数列, 2 2 2 1 所以 an ? n ? n . ……………………6 分 2 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n ? ( ) n ? n , ? bn ? n . 2
而 a1 ? 1 ?

cn ? 1 ?
?

1 1 1 1 n 2 (n ? 1) 2 ? ( n ? 1) 2 ? n 2 ? ? 1 ? ? ? n 2 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2 bn 2 bn ?12

n(n ? 1) ? 1 1 1 1 ?1? ?1? ? , 所以 n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 P2013 ? 2013 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2014 ? . 2 2 3 2013 2014 2014
故不超过 P2013 的最大整数为 2013 . ……………………12 分

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