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2005年上海市高中数学竞赛


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2005 年上海市高中数学竞赛( CASIO 杯)试卷
(2005 年 3 月 27 日 星期日 上午 8:30~10:30) 题号 得分 评卷 复核 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空(前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分,供 60 分) 1.计算: i 0! +

i1! + i 2! + L + i100! = . i 表示虚数单位) ( 一 二 三 四 五 总分

2 . 设 θ 是 某 三 角 形 的 最 大 内 角 , 且 满 足 sin 8θ = sin 2θ , 则 θ 可 能 值 构 成 的 集 合 是 . (用列举法表示) 3.一个九宫格如图,每个小方格内都填一个复数,它的每行、每列及对角线上三个格内的 复数和都相等,则 x 表示的复数是 . A

E

x
i 1
C

B
F

D

在棱 AB 、 上各有一点 E 、 , AE = 1 cm , CD F 若 4. 如图, 正四面体 ABCD 的棱长为 6 cm , CF = 2 cm ,则线段 EF 的长为 cm . 5. 若关于 x 的方程 4 x + ( a + 3) ? 2 x + 5 = 0 至少有一个实根在区间 [1, 2] 内, 则实数 a 的取值 范围为 .

6. a 、b 、 c 、 d 、 e 是从集合 {1, 2,3, 4,5} 中任取的 5 个元素(允许重复) ,则 abcd + e 为 奇数的概率为 .

7.对任意实数 x 、 y ,函数 f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) ? xy ? 1 ,若 f (1) = 1 ,则 对负整数 n , f ( n) 的表达式 .
2

8.实数 x 、 y 、 z 满足 x + y + z = 0 ,且 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,记 m 为 x 、 y 2 、 z 2 中最大者, 则 m 的最小值为 二、 (本题满分 14 分) 设 f ( x) = .

ax 2 + bx ,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正数 b ,使 f ( x) 的

定义域和值域相同.

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三、 (本题满分 14 分) 已知双曲线

x2 y2 ? = 1 ( a 、 b ∈ R + )的半焦距为 c ,且 b 2 = ac . P, Q 是双曲线上 a2 b2

任意两点, M 为 PQ 的中点,当 PQ 与 OM 的斜率 k PQ 、kOM 都存在时,求 k PQ ? kOM 的值.

四、 (本题满分 16 分) 设 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.求集合 ? n | n = ?

? ? ? ?

? ? k2 ? ? ? ,1 ≤ k ≤ 2004, k ∈ N ? 的 ? ? 2005 ? ?

元素个数.

五、 (本题满分 16 分)
n n 1 ?? 1 + 5 ? ? 1 ? 5 ? ? + ?? 数列 { f n } 的通项公式为 f n = ? ?? ? ? ,n∈Z . ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ?? ?

记 S n = C n f1 + C n f 2 + Cn f n ,求所有的正整数 n ,使得 Sn 能被 8 整除.
1 2

n


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