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【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套练习:1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时


第一章

1.1

第 1 课时

一、选择题 1 1.(2013· 北京文,5)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 1 A. 5 C. 5 3 5 B. 9 D.1 )

[答案] B a b 3 5 5 [解析] 本题考查了正弦定理,由 = 知 = ,即 sin

B= ,选 B. sinA sinB 1 sinB 9 3 2.在锐角△ABC 中,角 A、B 所对的边长分别为 a、b.若 2asinB= 3b,则角 A 等于( π A. 12 π C. 4 [答案] D [解析] 由正弦定理得 2sinAsinB= 3sinB,∴sinA= 3.在△ABC 中,下列关系式中一定成立的是( A.a>bsinA C.a<bsinA [答案] D a b bsinA [解析] 由正弦定理,得 = ,∴a= , sinA sinB sinB 在△ABC 中,0<sinB≤1,故 1 ≥1,∴a≥bsinA. sinB ) ) 3 π ,∴A= . 2 3 π B. 6 π D. 3 )

B.a=bsinA D.a≥bsinA

4.△ABC 中,b=30,c=15,C=26° ,则此三角形解的情况是( A.一解 C.无解 [答案] B [解析] ∵b=30,c=15,C=26° , ∴c>bsinC,又 c<b,∴此三角形有两解. B.两解 D.无法确定

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3 5.已知△ABC 的面积为 ,且 b=2,c= 3,则 sinA=( 2 A. C. 3 2 3 4 1 B. 2 D. 3

)

[答案] A 3 1 [解析] 由已知,得 = ×2× 3×sinA, 2 2 ∴sinA= 3 . 2 )

6.已知△ABC 中,a=x,b=2,∠B=45° ,若三角形有两解,则 x 的取值范围是( A.x>2 C.2<x<2 2 [答案] C [解析] 由题设条件可知
?x>2 ? ,∴2<x<2 2. <2 ?xsin45°

B.x<2 D.2<x<2 3

二、填空题 7.已知△ABC 外接圆半径是 2 cm,∠A=60° ,则 BC 边长为__________. [答案] 2 3cm BC [解析] ∵ =2R, sinA ∴BC=2RsinA=4sin60° =2 3(cm). 8.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边.若∠A=105° ,∠B=45° ,b =2 2,则 c=______. [答案] 2 [解析] C=180° -105° -45° =30° . b c 根据正弦定理 = 可知 sinB sinC
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2 2 c = ,解得 c=2. sin45° sin30° 三、解答题 9.根据下列条件,解三角形. (1)△ABC 中,已知 b= 3,B=60° ,c=1; (2)△ABC 中,已知 c= 6,A=45° ,a=2. c 1 3 1 [解析] (1)由正弦定理,得 sinC= · sinB= × = . b 3 2 2 ∴C=30° 或 C=150° . ∵A+B+C=180° ,故 C=150° 不合题意,舍去. ∴A=90° ,a= b2+c2=2.

c· sinA 6sin45° 3 (2)由正弦定理,得 sinC= = = . a 2 2 ∴C=60° 或 C=120° . 当 C=60° 时,B=75° ,b= csinB 6sin75° = = 3+1. sinC sin60°

csinB 6sin15° 当 C=120° 时,B=15° ,b= = = 3-1. sinC sin120° ∴b= 3+1,B=75° ,C=60° 或 b= 3-1,B=15° , C=120° . 10.在△ABC 中,若 sinA=2sinBcosC,且 sin2A=sin2B+sin2C,试判断三角形的形状. [解析] ∵A、B、C 是三角形的内角, ∴A=π-(B+C), ∴sinA=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC =2sinBcosC. ∴sinBcosC-cosBsinC=0, ∴sin(B-C)=0, 又∵0<B<π,0<C<π, ∴-π<B-C<π,∴B=C.
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又∵sin2A=sin2B+sin2C, ∴a2=b2+c2,∴A 是直角, ∴△ABC 是等腰直角三角形.

一、选择题 1.在△ABC 中,a=1,A=30° ,C=45° ,则△ABC 的面积为( A. C. 2 2 3 2 B. D. 2 4 3+1 4 )

[答案] D asinC [解析] c= = 2,B=105° , sinA sin105° =sin(60° +45° ) =sin60° cos45° +cos60° sin45° = 3+1 1 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C.若 acosA=bsinB,则 sinAcosA +cos2B=( 1 A.- 2 C. -1 [答案] D [解析] ∵acosA=bsinB, ∴sinAcosA=sin2B=1-cos2B, ∴sinAcosA+cos2B=1. 1 3.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 asinBcosC+csinBcosA= b, 2 且 a>b,则∠B=( π A. 6 2π C. 3 ) π B. 3 5π D. 6
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6+ 2 , 4

) 1 B. 2 D. 1

[答案] A [解析] 本题考查解三角形,正弦定理,已知三角函数值求角. 1 1 1 由正弦定理可得 sinB(sinAcosC+sinCcosA)= sinB,∵sinB≠0,∴sin(A+C)= ,∴sinB= , 2 2 2 π 由 a>b 知 A>B,∴B= .选 A. 6 4.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx-ysinB+sinC=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直 [答案] C sinA b [解析] ∵k1=- ,k2= ,∴k1· k2=-1, a sinB ∴两直线垂直. 二、填空题 5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2, 则角 A 的大小为________. [答案] π 6 ) B.重合 D.相交但不垂直

π? [解析] sinB+cosB= 2sin? ?B+4?= 2, π ∴sin(B+ )=1,∵0<B<π, 4 π π 5 π ∴ <B+ < π,∴B= , 4 4 4 4 又∵ b a 1 = ,∴sinA= , sinB sinA 2

π ∵a<b,∴A<B,故 A= . 6 a b c 6.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 一定是________三角形. A B C cos cos cos 2 2 2 [答案] 等边 [解析] 由正弦定理得, sinA sinB sinC = = , A B C cos cos cos 2 2 2

A B C ∴sin =sin =sin , 2 2 2
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A B C π ∵0<A,B,C<π,∴0< , , < , 2 2 2 2 A B C ∴ = = ,∴A=B=C.故△ABC 为等边三角形. 2 2 2 三、解答题 5 3 7.在△ABC 中,cosA=- ,cosB= . 13 5 (1)求 sinC 的值; (2)设 BC=5,求△ABC 的面积. 5 3 12 4 [解析] (1)在△ABC 中,由 cosA=- ,cosB= 得,sinA= ,sinB= . 13 5 13 5 ∴sinC=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB = = 12 3 5 4 × +(- )× 13 5 13 5 16 . 65

(2)根据正弦定理, 16 5× 65 4 BC· sinC AB= = = , sinA 12 3 13 1 1 4 4 8 ∴△ABC 的面积 S= AB· BC· sinB= × ×5× = . 2 2 3 5 3 8.在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. [解析] (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 所以在△ABC 中,由正弦定理,得 3 2 6 = , sinA sin2A

2sinAcosA 2 6 6 所以 = ,故 cosA= . sinA 3 3 (2)由(1)知 cosA= 所以 sinA= 6 , 3 3 . 3

1-cos2A=

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1 又因为∠B=2∠A,所以 cosB=2cos2A-1= . 3 所以 sinB= 2 2 1-cos2B= , 3

在△ABC 中,sinC=sin(A+B) 5 3 =sinAcosB+cosAsinB= . 9 asinC 所以 c= =5. sinA

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