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2015年上海市虹口区高三一模理科数学试卷WORD版(含答案)

时间:2015-01-16


虹口区 2014 学年第一学期高三期终教学质量监测试卷
2015.1.8
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1、椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的焦距为 4
9

.

1? ? 2

、在 ? 2 x ? ? 的展开式中,各项系数之和为 x? ?

. . . .

3、若复数 z 满足

zi ,则复数 z ? ? 2 ? i ( i 为虚数单位) 2?i

4、若正实数 a,b 满足 ab = 32,则 2a ? b 的最小值为
3sin x tan ?? ? x ?

5、行列式

4 cos x tan(

?
2

? x)

的最小值为

b ? 6 、 在 ?ABC 中 , 角 A、 B、 C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 若 A ? 75? ,B ? 60? ,
c?

3 ,则

. .
? an ?

0 ? x ? ?, ?2sin x, 7、若 f ? x ? ? ? 2 则方程 f ? x ? ? 1 的所有解之和等于 x ? 0, ?x ,

8、 若数列 ?an ? 为等差数列, 且 a1 ? 1, a2 ? a3 ? a4 ? 21 , 则 lim

a1 ? a2 ? n?? n2

.

9 、 设 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , 前 n 项 和 为 Sn , 若 Sn ?1 , Sn , Sn ? 2 成 等 差 数 列 , 则

q?

.

, ?,B ? 0, 2 ? 两点的两条平行直线,当 l1 , l2 之间的距离最大时, 10、已知 l1 , l2 是分别经过 A ? 21
直线 l1 的方程是 .

11、若抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A 、 B 到焦点的距离之和为 6,则线段 AB 的中点到 y 轴的距 离为 .

12 、 10 件产品中有 8 件正品, 2 件次品,从中任取 3 件,则恰好有一件次品的概率 为 .(结果用最简分数表示)

13、右图是正四面体的平面展开图, M 、N、G 分别为 DE、BE、FE 的中点,则在这个正四 面体中, MN 与 CG 所成角的大小为 .

A

y
E

D
N

D MG
B
N

F

MO

x
C

E

C

14、右图为函数 f ? x ? =Asin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ) 的部分图像, M 、N 是它与 x 轴 2 的 两 个 交 点 , D、 C 分 别 为 它 的 最 高 点 和 最 低 点 , E ? 0,1? 是 线 段 MD 的 中 点 , 且

?

MD ? MN ?

?2
8

,则函数 f ? x ? 的解析式为

.

二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15、设全集 U ? R, A ? x y ? ln ?1 ? x ? , B ? x x ? 1 ? 1 ,则 ? CU A? A. ? ?2,1? B. ? ?2,1? C. ?1,2 ?

?

?

?

?

B?

( D. ?1, 2 ? (

).

16、设 a, b 均为非零向量,下列四个条件中,使 A. a ? ?b B. a / / b

a a

?

b b

成立的必要条件是

).

C. a ? 2b

D. a / / b 且 a ? b

17、关于曲线 C : x4 ? y 2 ? 1 ,给出下列四个命题: ①曲线 C 关于原点对称; ③曲线 C 围成的面积大于 ? 上述命题中,真命题的序号为 ②曲线 C 关于直线 y ? x 对称 ④曲线 C 围成的面积小于 ? ( )

A.①②③

B.①②④

C.①④

D.①③

18 、若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ( ).
? 1 1? A. ?? ,0, ? ? 8 8?

1 1 ? x ? 有四个不同交点,则实数 k 的取值范围是 x x

? 1 1? B. ?? , ? ? 8 8?

? 1 1? C. ? ? , ? ? 8 8?

? 1 1? D. ? ? , ? ? 8 8?

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必 要步骤. 19、 (本题满分 12 分)

?? 2 ? ? ? 3? , x ?? , 已知 cos ? x ? ? ? 4 ? 10 ? ?2 4

?? ? ? ? ,求 sin ? x ? ? ,sin x, cos 2 x 的值 4? ? ?

20、 (本题满分 14 分)本题共 2 个小题,每小题 7 分 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥, 且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在 这个球面上,如图,已知圆锥底面面积是这个球面面积的 半径为 r . (1)试确定 R 与 r 的关系,并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比; (2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
O

3 ,设球的半径为 R ,圆锥底面 16

B

R
r

O1

A

21、 (本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 已知函数 f ( x) 和 g ( x) 的图像关于原点对称,且 f ( x) ? x2 ? x (1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若 h( x) ? g ( x) ? m ? f ( x) ? 3 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

22、 (本题满分 16 分)本题共 3 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分. 已知各项均不为零的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an ? an?1 ? 1 n ? N ? ,其中 a1 ? 1 . (1)求证: a1 , a3 , a5 成等差数列; (2)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (3)设数列 ?bn ? 满足 2bn ? 1 ? 等式 2Tn ? log 2 an ?1 恒成立.
1 ? n ? N ? ? ,且 Tn 为其前 n 项和,求证:对任意正整数 n ,不 an

?

?

23、 (本题满分 18 分)本题共 3 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 6 分.

x2 y 2 已知 F1、F2 为为双曲线 C:2 ? 2 ? 1 的两个焦点,焦距 F1 F2 =6 ,过左焦点 F1 垂直于 x 轴的 a b
直线,与双曲线 C 相交于 A, B 两点,且 ?ABF2 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的方程; (2) 设 T 为直线 x ? 1 上任意一点, 过右焦点 F2 作 TF2 的垂线交双曲线 C 与 P, Q 两点, 求证: 直线 OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点) ; (3)是否存在过右焦点 F2 的直线 l ,它与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 R, S 两点,且 使得 ?F1 RS 的面积为 6 2 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

y
A
F1
O

F2

x

B

2015 年虹口区高三一模数学试卷理科(参考答案)
一.填空题 1. 2 3 ; 8. 1.5 ; 2. 1; 9. ?2 ; 3. ? 5i ; 4. 16; 5. ?5 ; 11. 3; 6. 12.

2;
7 ; 15

7. ? ? 1 ;

10. 2 x ? y ? 3 ? 0 ;

13. arccos 二.选择题 15. C; 三.解答题 19. 解: x ?

3 ; 3

14. y ? 2sin(2 x ?

?
4

);

16. B;

17. D;

18. A;

?

? 2 7 2 ? ? ? ( , ) ,在第一象限,∴ sin( x ? ) ? 1 ? ? ; 4 4 2 4 100 10
?
4 ?

sin x? sin x? ( cosx 2? ? 1
2 20. (1)解: ? r ?

?
4

? )

sxi n ?( 4

?

?

) co ?s x c ?o s ( 4 4

?

?4
4

? ) sin ; 5

22 sx in ??

7 ; 25

3 3 ? 4? R 2 , r ? R ; V大 : V小 ? h大 : h小 ? 3:1; 16 2

1 2 1 2 4 r 2 h小 3 3 2 3 h : R? 2 ? ? ; ( 2 )解: (V大 ? V小 ) : V 球 ? ( ? r h 大 ? ? r h 小 ): ? R? r 小 3 3 3 R R 8
21. (1)解: g ( x) ? ? x2 ? x ; (2)解: h( x) ? (?1 ? m) x ? (1 ? m) x ? 3 ,
2

当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时,对称轴 x ?

1? m ? ?1 ,∴ ?3 ? m ? ?1 ; 2(m ? 1)

当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时, h( x) ? 2 x ? 3 ,符合题意,∴ m ? ?1 ; 当 ?1 ? m ? 0 ,即 m ? ?1 时,对称轴 x ? 综上, ?3 ? m ? ?

1? m 1 ? 1 ,∴ ?1 ? m ? ? ; 3 2(m ? 1)

1 ; 3

22. (1) 解:4Sn ? an an?1 ? 1 ①;4Sn?1 ? an?1an ? 1 ②;①-②得 an?1 ? an?1 ? 4 , 得证; (2)解:由 a1 ? 1 ,得 a2 ? 3 ,结合第(1)问结论,即可得 {an } 是等差数列; (3)解:根据题意, bn ? log 2

2n 2 4 6 2n , Tn ? log 2 ? ? ? … ? ; 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1

要证 2Tn ? log2 an?1 ? log2 (2n ? 1) ,即证 当 n ? 1 时, 2 ? 3 成立; 假设当 n ? k 时, 当 n ? k ? 1 时,

2 4 6 2n ? ? ? …? ? 2n ? 1 ; 1 3 5 2n ? 1

2 4 6 2k ? ? ? …? ? 2k ? 1 成立; 1 3 5 2k ? 1

2k ? 2 2 4 6 2k 2k ? 2 2k ? 2 ? ? ? …? ? ? 2k ? 1 ? ; ? 1 3 5 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

要证

2k ? 2 ? 2k ? 3 ,即证 (2k ? 2)2 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,展开后显然成立, 2k ? 1

所以对任意正整数 n ,不等式 2Tn ? log 2 an ?1 恒成立; 23. (1) c ? 3 ,∵等边三角形,∴ AF2 ? 4 3 , AF 1 ? 2 3 , a ? 3 ,∴ (2)解:设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,中点为 T ?( x0 , y0 ) ,然后点差法, 即得

x2 y 2 ? ?1; 3 6

2( x1 ? x2 ) y1 ? y2 1 3 ?1 2 , ? ? kPQ ? ? ? ? ( y1 ? y2 ) x1 ? x2 kPF2 yT yT
y0 yT ? ? kOT ,即点 T ? 与点 T 重合,所以 T 为 PQ 中点,得证; x0 1

∴ kOT ? ?

(3)解:假设存在这样的直线,设直线 l : x ? my ? 3 , R( xR , yR ) , S ( xS , yS ) 联立 ?

? y ? 2x ? y ? ? 2x 3 2 ?3 2 ? ? 得 yR ? ;联立 ? 得 yS ? ; 1 ? 2m 1 ? 2m ? ? ? x ? my ? 3 ? x ? my ? 3
? 1 ?6 ?( y 2
R

S


F1 R S

?y S ) ?6 ,即 2 ( yR ? yS ) ? 2 2 ;

3 2 3 2 ? ? 2 2 ,该方程无解,所以不存在这样得直线 l 1 ? 2m 1 ? 2m


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