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苏教版必修4《第一章三角函数》综合检测试卷含答案解析

时间:2017-11-05


(时间:120 分钟,满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填在题中横线上) 1.72° =________rad. π 2π 解析:72° =72· rad= . 180 5 2π 答案: 5 2.若角 α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan α 的值为________. -2 解析:由三角函数定义得 tan α= =-2. 1 答案:-2 5 π 3.若 cos(2π-α)= ,且 α∈(- ,0),则 sin(π-α)=________. 3 2 5 π 解析:cos(2π-α)=cos α= ,又 α∈(- ,0), 3 2 2 ∴sin α=- , 3 2 ∴sin(π-α)=sin α=- . 3 2 答案:- 3 4.某扇形的面积为 1 cm,它的弧长为 2 cm,那么该扇形圆心角弧度数为________. 1 lr=1, 2 解析:由 得 α=2. l |α|= , r 答案:2 5.设点 A 是单位圆上的一定点, 动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点P ︵ 旋转过的弧AP的长为 l,弦 AP 的长为 d,有下列图象:

? ? ?

其中,函数 d=f(l)的图象大致是________. ︵ θ d θ l 解析:令AP所对的圆心角为 θ,由 OA=1,知 l=θ,sin = ,所以 d=2sin =2sin , 2 2 2 2 l 即 d=f(l)=2sin (0≤l≤2π).结合四个图象可知填③. 2 答案:③ π 6.函数 y=tan(x- )的定义域是________. 6 π π 2π 解析:由 x- ≠ +kπ(k∈Z),解得 x≠ +kπ(k∈Z). 6 2 3

2π ? ? 答案:?x|x≠kπ+ 3 ,k∈Z?
? ?

π 7.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解 4 析式是________. π π 解析: 将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位, 得到函数 y=sin 2(x+ ), 即 y=sin(2x 4 4 π + )=cos 2x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y=1+cos 2x. 2 答案:y=1+cos 2x 8.为了使函数 y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值,则 ω 的最小值是 ________. 1 解析:由函数图象可知,要出现 50 次最大值,至少需要 49 个周期. 4 1-0 4 ∴T≤ = . 1 197 49 4 2π 2π 197π ∴ω= ≥ = . T 4 2 197 197π 答案: 2 9.若 0≤α≤2π,sin α> 3cos α,则 α 的取值范围是________. 解析:∵sin α> 3cos α, ?cos α=0, ?cos α>0, ?cos α<0, ? ∴? 或? 或? ?sin α>0. ?tan α> 3, ?tan α< 3, ? π π π 4π π 又∵0≤α≤2π,∴ <α< 或 <α< 或 x= , 3 2 2 3 2 π 4π 即 x∈( , ). 3 3 π 4π 答案:( , ) 3 3 πx 10.已知函数 f(x)= 3sin 的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆 x2+ k 2 2 y =k 上,则 f(x)的最小正周期为________. k 2π , 3?在圆上, 解析:T= =2|k|.由题意知? 2 ? ? π ? ? ? k? k2 得 +3=k2, 4 所以|k|=2,所以 T=4. 答案:4 π 11.先将 y=sin x 的图象向右平移 个单位,再变化各个点的横坐标(纵坐标不变),得到 3 2π 最小正周期为 的函数 y=sin(ωx+φ)(其中 ω>0)的图象,则 ω=________,φ=________. 3 2π 解析:因为函数 y=sin(ωx+φ)的最小正周期为 ,所以 ω=3.又因为将函数 y=sin x 的 3 π π 图象向右平移 个单位, 可得函数 y=sin(x- )的图象, 故可判断函数 y=sin(ωx+φ)中 φ=- 3 3 π . 3

π 答案:3 - 3 π 12.方程 2sin?x+ ?+2a-1=0 在[0,π]上有两个不相等的实根,则实数 a 的取值范围是 ? 3? ________. 解析:∵x∈[0,π], π π 4π? , , ∴x+ ∈? 3 ?3 3 ? π? ∴2sin? ?x+3?∈[- 3,2]. π? 作出函数 y=2sin? ?x+3?与 y=1-2a 在[0,π]上的图象(图略),当 3≤1-2a<2 时,原方 程有两个不等的实根, 1- 3 1 故- <a≤ . 2 2 ? 1 1- 3? 答案:?- , ? 2 ? ? 2 π 13.函数 f(x)=2cos(x- )-1 在区间(0,π)内的零点是________. 4 π 解析:函数 f(x)=2cos(x- )-1 的零点即方程 4 π π 1 π π 2cos(x- )=1 的解,也就是方程 cos(x- )= 的解,∴x- =2kπ± (k∈Z), 4 4 2 4 3 7π π 7π 即 x=2kπ+ 或 x=2kπ- (k∈Z),∴在区间(0,π)内的解是 x= . 12 12 12 7π 答案: 12 π 14.函数 f(x)=3sin(2x- )的图象为 C. 3 11 ①图象 C 关于直线 x= π 对称; 12 π 5π ②函数 f(x)在区间(- , )内是增函数; 12 12 π ③由 y=3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 以上三个论断中,正确论断的个数是________. 11π 11 π 3 解析:①f( )=3sin( π- )=3sin π=-3, 12 6 3 2 11 ∴直线 x= π 为对称轴,①对; 12 π 5π π π π ②由- <x< ?- <2x- < , 12 12 2 3 2 π π 由于函数 y=3sin x 在(- , )内单调递增, 2 2 π 5π 故函数 f(x)在(- , )内单调递增,②对; 12 12 π π ③∵f(x)=3sin 2(x- ),∴由 y=3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y=3sin 6 3 π 2(x- )的图象,得不到图象 C,③错. 3 答案:2 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

π 15.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=cos(2x+ ). 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)用五点法作出函数 f(x)在一个周期内的图象. π 解:(1)∵f(x)=cos(2x+ ),∴T=π. 3 (2)列表: π π x - 6 12 π π 0 2x+ 3 2 π 1 0 cos(2x+ ) 3 描点得一个周期内的图象:

π 3 π -1

7π 12 3π 2 0

5π 6 2π 1

π 1 16.(本小题满分 14 分)已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 (1)求 sin x-cos x 的值; 1 (2)求 2 的值. cos x-sin2x 解:(1)法一:联立方程: 1 ? ?sin x+cos x=5, ① ?

? ?sin2x+cos2x=1. ②

1 由①得 sin x= -cos x,将其代入②,整理得 5 2 25cos x-5cos x-12=0. 3 sin x=- , 5 π ∵- <x<0,∴ 2 4 cos x= . 5 7 所以 sin x-cos x=- . 5 1 法二:∵sin x+cos x= , 5 12 2 ∴(sin x+cos x) =( ) , 5 1 24 即 1+2sin xcos x= ,∴2sin xcos x=- . 25 25 ∵(sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+cos2x 24 49 =1-2sin xcos x=1+ = .③ 25 25 π 又∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 ∴sin x-cos x<0.④

? ? ?

7 由③④可知 sin x-cos x=- . 5 (2)由已知条件及(1)可知 1 3 sin x+cos x= , sin x=- , 5 5 解得 7 4 sin x-cos x=- , cos x= . 5 5 3 ∴tan x=- . 4 sin2x+cos2x cos2x sin2x+cos2x 1 ∴ 2 2 = 2 2 = 2 cos x-sin x cos x-sin x cos x-sin2x cos2x 3 (- )2+1 4 tan2x+1 25 = = . 2 = 3 7 1-tan x 1-(- )2 4

? ? ?

? ? ?

π 3 17.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=sin?2x+ ?+ ,x∈R. 6? 2 ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? π? 3 解:(1)∵f(x)=sin? ?2x+6?+2, 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π 由题意得 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6 π π kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. ∴f(x)的单调增区间为? 3 6? ? 1 (2)先把 y=sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y=sin 2x 2 π? π 的图像,再把 y=sin 2x 图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=sin? ?2x+6?的图象, 12 π 3 3 2x+ ?+ 的图象. 再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度,就得到 y=sin? 6? 2 ? 2 2 18.(本小题满分 16 分)(1)已知角 α 终边上一点 P(- 3,y)且 sin α= y,求 cos α 的值. 4 πx (2)若 f(x)=sin ,试求 f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值. 6 y 2 解:(1)由 2= 4 y 解得 y=± 5或 y=0; 3+y 6 当 y=± 5时 cos α=- ; 4 当 y=0 时,x=- 3,r= 3+y2= 3, x - 3 故 cos α= = =-1, r 3 6 ∴cos α=- 或-1. 4 πx (2)∵f(x)=sin 的周期为 T=12, 6

∴f(1)+f(2)+…+f(12), f(13)+f(14)+…f(24),…, f(1 993)+f(1 994)+…+f(2 004)是相等的,把它们看成一个个整体,则有: f(1)+f(2)+…+f(2 015)=167[f(1)+f(2)+…+f(12)]+f(2 005)+…+f(2 015), π 2π 3π 12π ∵f(1)+f(2)+…f(12)=sin +sin +sin +…+sin =0, 6 6 6 6 ∴f(1)+f(2)+…+f(2 015) =167× 0+f(2 004+1)+…+f(2 004+11)=f(1)+…+f(11)=0. 17 19.(本小题满分 16 分)设函数 f(x)=cos2x+sin x+a-1,已知不等式 1≤f(x)≤ 对一切 x 4 ∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 解:f(x)=(1-sin2x)+sin x+a-1 1 1 =-sin2x+sin x+a=-(sin x- )2+a+ . 2 4 ∵-1≤sin x≤1, 1 1 ∴当 sin x= 时 f(x)max=a+ ; 2 4 当 sin x=-1 时,f(x)min=a-2. 17 ∵1≤f(x)≤ 对一切 x∈R 恒成立, 4 17 ∴f(x)max≤ 且 f(x)min≥1. 4 1 17 ? ?a+4≤ 4 , 即? 得 3≤a≤4,故 a 的取值范围是[3,4].

?a-2≥1, ? 20.(本小题满分 16 分)求关于 x 的函数 y=2cos2x-2acos x-(2a+1)的最小值. 解:设 cos x=t,则函数 y=2cos2x-2acos x-(2a+1)即为关于 t 的二次函数 y=2t2-2at -(2a+1)(-1≤t≤1); a 该二次函数图象关于 t= 对称,故分三种情况讨论: 2 a (1)当 ≤-1 即 a≤-2 时,关于 t 的二次函数 y=2t2-2at-(2a+1)在区间[-1,1]上为增 2 函数,所以 t=-1 时 ymin=2+2a-(2a+1)=1; a a (2)当-1< <1 即-2<a<2 时,关于 t 的二次函数 y=2t2-2at-(2a+1)在区间[-1, ]上 2 2 a a a2 a a2 为减函数、在区间[ ,1]上为增函数,所以 t= 时,ymin=2× -2a× -(2a+1)=- -2a 2 2 4 2 2 -1; a (3)当 ≥1 即 a≥2 时, 关于 t 的二次函数 y=2t2-2at-(2a+1)在区间[-1, 1]上为减函数, 2 所以 t=1 时,ymin=2-2a-(2a+1)=1-4a; 1,a≤-2,
综上知: 原函数 y=2cos x-2acos x-(2a+1)的最小值 ymin
2

? ? a =?- 2 -2a-1,-2<a<2, ? ?1-4a,a≥2.
2


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