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广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中 数学理试题


汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高三理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.)

>1. sin 660 o 等于(
A.
3 2


1 2 1 2

B.

C. ? )

D. ?

3 2

2.设 x ? R , 那么“ x ? 0 ”是“ x ? 3 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
? ? ? ? ?

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
? ?

3.已知单位向量 i , j 满足 ( 2 j ? i ) ? i ,则 i , j 夹角为(
?
4


2? 3

A.

B.

?
6
? ?

C.
? ?

?
3

D.

4.已知函数 y ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? 0, 0 ? ? ?
? ?

? ,且此函数的图象如图所示,则点 ? ? , ? ? 的坐标是( 2 ? ? ?



A. ? 2,
? ?

? ?
? 4 ?

B. ? 2,
? ?

? ?
? 2 ?

C. ? 4,

? ?
? 4 ?
ln x

D. ? 4,
? x ? 1 的图象大致是(

? ?
? 2 ?

5.函数 y ? e



? x ? y ?1? 0 ? 6.已知 x , y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若 a ? ( x , ? 2 ) , b ? (1, y ) ,则 z ? a ? b 的最大值是( ?x ? 4y ?1? 0 ?



A. ? 1

B. 5
x

C. ?

5 2

D. 7 )

7.若函数 f ? x ? 的零点与函数 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0 .2 5 ,则 f ? x ? 可以是( A. f ? x ? ? e ? 1
x

B. f ? x ? ? ln ? x ?
?

?

1? ? 2?

C. f ? x ? ? 4 x ? 1

D. f ? x ? ? ( x ? 1)

2

8.对于下列命题:①在△ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ,则△ ABC 为等腰三角形;②已知 a,b,c 是△ ABC 的三

边长,若 a ? 2 , b ? 5 , A ? ④将函数 y A. 0
? ? ? ? 2 sin ? 3 x ? ? 6 ? ?

?
6

,则△ ABC 有两组解;③设 a ? sin
?
6

2 0 1 2? 3

, b ? co s
? ?
? 6 ?

2 0 1 2? 3

, c ? tan

2 0 1 2? 3

,则 a ? b ? c ; )

图象向左平移

个单位, 得到函数 y ? 2 co s ? 3 x ? ?
?

图象。 其中正确命题的个数是 (

B. 1

C. 2

D. 3

第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分) 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) ks5u 9.已知向量 a ? ? 1, 2 ? , b ? ? 1, 0 ? , c ? ? 3, 4 ? .若 ? 为实数, a ? ? b // c ,则 ? ? 10.设 ? ? ( 0 ,
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?



?
2

), 且函数 y ? (sin ? )

x ?6 x?5

2

的最大值为 16,则 ? ?
? ?

。 。
?
4

11.已知 sin ? ? ?

? ?

? ? sin ? ? ? 3 ?

4 3 5

,? ? ? ?

?

2? ? ? ? , 0 ? ,则 cos ? ? ? ?? 2 ? 3 ? ?

12. 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 5 , b ?
cos B ?

5 2 3

,A?

,则

。 。

13.若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 14.函数 f ( x ) ?
x ?x
2 4

x?2 ?2

.给出函数 f ( x ) 下列性质:①函数的定义域和值域均为 ? ? 1,1 ? ;②函数的图像关于

原点成中心对称;③函数在定义域上单调递增;④ ? f ( x ) d x ? 0 (其中 A 为函数的定义域) ;⑤ A 、 B 为函
A

数 f (x) 图 象 上 任 意 不 同 两 点 , 则 号 。

2 < AB ? 2 。 请 写 出 所 有 关 于 函 数 f ( x) 性 质 正 确 描 述 的 序

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? ? x | | x ? a |? 2 ? , B ? ? x |
? ? 2x ? 6 ? ? 1? . x?2 ?

(Ⅰ)求集合 A 和集合 B ; (Ⅱ)若 A ? B ? R ,求 a 的取值范围。
1 16. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系中, 已知 A ( cos x , x ) ,B ( 1 , ) ,O 为坐标原点,O A ? O B ? O C , sin

??? ?

??? ?

????

???? 2 f (x) ? | OC | . (Ⅰ)求 f

? x ? 的对称中心的坐标及其在区间 ? ? ? , 0 ? 上的单调递减区间;

(Ⅱ)若 f ? x 0 ? ? 3 ?

? ? 3? ? 2 , x0 ? tan x 0 的值。 ? 2 , 4 ? ,求 ? ?
3 sin x co s x ? co s x ?
2

17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2



x ? R.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)设 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别 a , b , c , 且 c ? 3 , f ( C ) ? 0 ,若 sin ? A ? C ? ? 2 sin A ,求 a , b 的值.

18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? (Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ? x ? 的单调区间;

1 3

x ? ? a ? 6 ? x ? ? 4 ? 2 a ? ln x , g ? x ? ? ? x ? 2 x ? b
3

2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,对 ? x 1 , x 2 ? ?0 , ?? ? ,都有 f ? x 1 ? ? g ? x 2 ? ,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)若 f ? x ? 在 ?0 , m ? , ? n , ?? ? 上单调递增,在 ? m , n ? 上单调递减,求实数 a 的取值范围。 19. (本小题满分 14 分) 如图: 某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ( ABCD ) 的池底水平铺设污水净化管道 ( Rt ? FHE ,H 是直角顶 点)来处理污水,管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点, E , F 分别落在线段
BC , AD

上。已知 AB ? 20 米, AD ? 10 3 米,记 ? BHE ? ? 。

(Ⅰ)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (Ⅱ)若 sin ? ? cos ? ?
3 ?1 2

D F

C E

,求此时管道的长度 L ;

(Ⅲ) 当 ? 取何值时, 问: 铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度。 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
4x ? a 1? x
2

A

的单调递增区间为 ? m , n ? ,

H

θ

B

(Ⅰ)求证: f ( m ) f ( n ) ? ? 4 ; (Ⅱ)当 n ? m 取最小值时,点 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 )( a ? x1 ? x 2 ? n ) 是函数 f ( x ) 图象上的两点,若存在 x 0 使 得 f ( x0 ) ?
'

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

,求证: x1 ? x 0 ? x 2

汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高三理科数学 答题卷
班级 一、选择题(40 分) 题号 答案 二、填空题(30 分) 9. 14. 10. 。 11. 12. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 姓名 学号 评分

三、解答题(80 分) 15. (本小题满分 12 分)

\

16. (本小题满分 12 分)

17. (本小题满分 14 分)

姓名 学号 18. (本小题满分 14 分)

19. (本小题满分 14 分)

D F

C E

A

H

θ

B

20. (本小题满分 14 分)

汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高三理科数学 参考答案
一、选择题(40 分)

题号 答案 二、填空题(30 分) 1 ? 9. 10.
2 6

1

2

3

4

5

6

7

8

D
11.
4 5

A
12.
2 3

C
2

A

D

B

C
14.②④

C

13. ? ? ? , ? 3 ? ? ? 3, ? ? ?

三、解答题(80 分) 1 5 . 解 : Ⅰ ) 由 | x ? a ? 2, 得 a ? 2 ? x ? a ? 2 , 即 A ? ( a ? 2 , a ? 2 … … … … … … … 3 分 ( | ) 由
2x ? 6 x?2 ?1? x?4 x?2 ? 0 ? x ? ?4 或 x ? ?2 ,

即 B ? ( ? ? , ? 4) ? ( ? 2, ? ? ) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 分
?a ? 2 ? ?4 ?a ? 2 ? ?2

(Ⅱ) A ? B ? R ? ?

? ?4 ? a ? ?2 ,

? a 的 取 值 范 围 是 ?4 ? a ? ?2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 2 分 ??? ? ??? ? sin 1) 16.解:? O A ? (co s x , x ) , O B ? (1 , ,

则 OC ? OA ? OB
????

????

??? ?

??? ?

? (1 ? cos x , ? sin x ) 1

… … … … … … … … … … … … … 2



? f ( x ) ? | O C | 2 ? (1 ? cos x ) 2 ? (1 ? sin x ) 2
? 3 ? 2(sin x ? cos x ) ? 3 ? 2 2 sin ( x ?

?
4

) ……………………………………………………4 分

(Ⅰ)由 x ? 当 2k? ?
?
2

?
4

? k ? , k ? Z ,即 x ? k ? ?

?
4

, k ? Z ? 对称中心是 ( k ? ?

?
4

, ,k ? Z 3)
5? 4 ,k ? Z

? x?

?
4

? 2k? ?

3? 2

, k ? Z 时 f ( x ) 单调递减,即 2 k ? ?

?
4

? x ? 2k? ?

? f ( x ) 的 单 调 递 减 是 [ 2k ? ?

?
4

, 2? ? k

5? 4

]k?Z ………………………………………6 分

3? ? ? f ( x ) 在 区 间 ? ?? , 0 ? 上 的 单 调 递 减 区 间 为 ? ?? , ? .………………………………………8 分 4 ? ? ?

(Ⅱ) ? f ( x 0 ) ? 3 ? 2 2sin ( x 0 ?
? x0 ? [

?
4

) ? 3?

2 ? sin ( x 0 ?

?
4 7?

)?

1 2

? 3?
, 2 4

],? x 0 +

?
4

?[

3? 4

, ? ] ? x0 +

?
4

=

5? 6

即 x0 =

……………………………………10 分

12

? tan x 0 ? tan

7?

? ? ?? ? tan ? ? ? ? ? 2 ? 12 4 ? ? 3
3 2 sin 2 x ?

3 。…………………………………………………12 分

1 7 . 解 :( Ⅰ ) f ( x ) ?

1 ? co s 2 x 2

?

1 2

? sin ( 2 x ?

?
6

) ?1 … … … … … … … … … … 2 分

则 f (x) 的 最 大 值 为 0 , 最 小 正 周 期 是 T ?

2? 2

? ? ……………………………………………4 分

(Ⅱ) f ( C ) ? sin ( 2 C ?

?
6

) ? 1 ? 0 则 sin ( 2 C ?

?
6

) ?1

? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2 C ? 2? ? ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

11 6

?

? 2C ?

?
6

?

?
2

?C ?

?
3

……………………………………………………………………………6 分
a b ? 1 2

? sin( A ? C ) ? 2 sin A

由 正 弦 定 理 得
?
3

① … … … … … … … … … … … 9



由余弦定理得 c ? a ? b ? 2 a b co s
2 2 2

即 a ? b ? ab ? 9 ② … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 2 分
2 2

由①②解得 a ?

3 , b ? 2 3 …………………………………………………………………14 分

18.解: (Ⅰ) f ( x ) 定义域为 (0, ?? ) 当 a ? 2 时, f ( x ) ?
1 3 x ? 4 x , f ' ( x ) ? x ? 4 ,令 f ' ( x ) ? 0 得 x ? 2 或 x ? ? 2 (舍)
3

2

x
f '(x)

(0,2) ↘

2 0

( 2 , ?? )
+ ↗

f (x)

∴ f ( x ) 的 递 减 区 间 为 ( 0 , 2 ) 递 增 区 间 为 ( 2 , ?? ) … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分 , (Ⅱ)∵ ? x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ) 都有 f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 成立 ∴ g ( x ) max ? f ( x ) min … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分 由(Ⅰ)知 f ( x ) min ? f ( 2 ) ? ?
2

16 3

g ( x ) ? ? ( x ? 1) ? 1 ? b , g ( x ) max ? g (1) ? 1 ? b … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 分

∴1? b ? ?

16 3

,∴ b ? ?

19 3

……………………………………………………………………8 分
4 ? 2a x ? x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a
3

2 ( Ⅲ ) f ?( x ) ? x ? ( a ? 6 ) ?

…………………………………9 分

x

由条件知 m , n 恰为 f ? ( x ) ? 0 的两个不相等正根, 即 x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? 0 恰 有 两 个 不 相 等 正 根 , … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 0 分
3

对 于 方 程 a ( x ? 2) ? x ? 6 x ? 4 ? 0 显 然 x ? 2 是 方 程 的 一 个 解 , … … … … … … … … … … … 1 1 分
3

当 x ? 2 时, a ? ? x ? 2 x ? 2 ? ? ( x ? 1) ? 3 ( x ? 0 且 x ? 2 )
2 2

当 x ? 0 时, ? x ? 2 x ? 2 ? 2
2

当 x ? 2 时 , ? x ? 2 x ? 2 ? ?6 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 3 分 ∴ a ? 2 且 a ? ?6 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 4 分
2

19.解: (Ⅰ) E H ?

10 co s ?

, FH ?

10 sin ?

, EF ?
10

10 sin ? cos ?

a ? 由 于 B E ? 1 0? t ? n

1 0 3F ? , A

tan ?

? 10 3 ,

3 3

? tan ? ?

3 , ? ?[

? ?
, 6 3

] 。 … … 3 分

所以 L ?

10 cos ?

?

10 s i? n

?

10 s ?? n i

cos ?

, ? ?[

? ?
, 6 3

] ………………………………………………5 分
3

( Ⅱ ) sin ? ? cos ? ? (Ⅲ) L
? 10 co s ? ? 10 sin ?
2

3 ?1 2
? 10

时 , s i n? c o s? ? = 1 0 ? sin ? ?
?

, L ? 20 ( 3 ? 1) ; … … … … … … … … … … 1 0 分 ,

4
? co s ? ? 1 ? ,设 sin ? ? cos ? ? t ? sin ? ? co s ? ?

sin ? ? co s ?

则 sin ? ? co s ? ?

t ?1 2

,由于 ? ? [

? ?
, 6 3

],

20 所以 t ? sin ? ? co s ? ? 2 sin (? ? ? ) ? [ 3 ? 1 , 2 ] , L ?
4 2

t ?1

在[

3 ?1 2

,

2 ] 内单调递减,

于是当 t ? 答:当 ? ?

2 时? ?

?
4

.

L 的最小值 2 0 (

2? 1 ) … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 3 分 米
2? 1 ) … … … … … … 1 4 分 米

?
4

时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为 2 0 (
?4 x ? 2ax ? 4
2

2 0 . 解 : Ⅰ ) f ?( x ) ? (

(1 ? x )
2

2

……………………………………………………………2 分

a ? ?m ? n ? ? 依 题 意 m , n 是 方 程 ? 4 x ? 2 ax ? 4 ? 0 的 两 根 有 : ? 2 ………………………………4 分 ?m n ? ?1 ?
2

f (m ) f (n ) ?

4m ? a 4n ? a 16m n ? 4a (m ? n) ? a ? (1 6 ? a ) ? ? ? ? ?4 2 2 2 2 2 a 1? m 1? n (m n ) ? (m ? n) ? 2m n ? 1 ?4 4
2 2

… … … … … 6



(Ⅱ)? n ? m ?

(m ? n) ? 4m n ?
2

a

2

?4 ? 2

4

? n ? m 取 最 小 值 时 , a ? 0, n ? 1, m ? ? 1 , … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 分
? f

? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上是增函数,? 0 ?
'

x1 ? x 2 ? 1 ,

? f

? x0 ? ?

f

? x2 ? ?
2

f

? x1 ?

x 2 ? x1

? 0 , 从 而 x0 ? ? ? 1 , 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分 ?

f ?( x 0 ) ?
2

4 ?1 ? x 0
2 0

?
2

?1 ? x ?
0 2

?

f

? x2 ? ?

f

? x1 ?

x 2 ? x1

?

4 ? 1 ? x1 x 2 ?

?1 ? x ? ?1 ? x ?
2 2 1 2

?1 ? x ? 即 ?1 ? x ?
2 0
2

?

?1 ? x ? ?1 ? x ?
2 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2

1 ? x1 x 2

? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? ( x1 x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 1 ? (1 ? x1 x 2 )

1 ? x0
0

2 2

?1 ? x ?
2

?

?1 ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? x x ?
2 2 1 2 1 2

1 ? x1 x 2

?

1 ? x1 x 2

2





















1

0



考虑函数 g ? x ? ?

1? x

?1 ? x ?

2

,因 g ? x ? ?
'

? x ? 1?

2

?2
4

?1 ? x ?

,故当 x ? ? 0,1 ? 时,有 g

'

?x? ? 0,

所以 g ( x ) 是 (0,1) 上是减函数.
? 由 g ( x 0 ) ? g ( x1 x 2 ) , 得 x 0 ? x 1 x 2 ? x 1 . ? x 0 ? x 1 . … … … … … … … … … … … … … 1 2 分
2 2 2



1 ? x0
2

2 2

(1 ? x 0 )
2 2

?

1 ? x1 x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 )
2 2

及 0 ? 1 ? x 0 ? 1 ? x1 x 2 得
2

?1 ? x ?
0

? ? 1 ? x1

2

? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ?
2 2 2 2

2

2 2 故 1 ? x 0 ? 1 ? x 2 ,即 x 0 ? x 2 .

? x1 ? x 0 ? x 2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 4 分


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