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江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编


江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 圆锥曲线
一、填空题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)已知椭圆与 x 轴相切,左、右两个焦 点分别为 F1 (1,1 ),F2 (5, 2) ,则原点 O 到其左准线的距离为 ▲ 答案: .

5 34 17

2 、 江 苏 省 东 台 市

创 新 学 校 2014 届 高 三 第 三 次 月 考 ) 已 知 方 程 ax2 ? by2 ? ab 和

ax ? by ? 1 ? 0 (其中 ab ? 0 , a ? b ),它们所表示的曲线可能序号是

.

答案:(2) 3、 (江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 已知双曲线 两渐近线的夹角为 60 ,则双曲线的离心率为
?

x2 y2 ? ? 1, ?a ? b ? 0? , a2 b2

答案: 4、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴 的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为 3 , 则椭圆的方程为

答案: 5、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是
2

答案:

2 y2 x 6、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右 a b

焦点分别为 F1 , F2 , 渐近线分别为 l1 , l2 , 点 P 在第一象限内且在 l1 上, 若 l2 ? PF1 , l2 ∥ PF2 , 则双曲线的离心率为 答案:2 ▲
x2 y2 ? ? 1 的一条准线方程 4 m

7、(江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)椭圆 为 y ? m ,则 m ? ______ 答案:5

8、(江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考)在平面直角坐标系 xOy 中,已 知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A ,上顶点为 B , M 为线段 AB 的中点,若 a 2 b2


?MOA ? 30o ,则该椭圆的离心率的值为
答案:

6 3

9、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)顶点在原点且以双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右准线为准线的抛物线方程是 3
答案: y ? ?6 x
2

10 、 ( 江 苏 省 睢 宁 县 菁 华 高 级 中 学 2014 届 高 三 12 月 学 情 调 研 ) 已 知 椭 圆

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x2 ? y2 ? b2 , 若 C 上存在点 P , 使得过点 P 引圆 O 的 a b
两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ▲

答案: 11、(江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考)双曲线 x2 ?
x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为

y2 ? 1 的渐近线被圆 4



答案:4 12、(江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知

x2 y2 y= 3x 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程,则此双曲线的离心率为 a b 答案:2



二、解答题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点, 点 P 是线段 AM 的垂直平分线与直线 CM 的 学科网 交点. (1)求点 P 的轨迹曲线 E 的方程; (2)设点 P( x0 , y0 ) 是曲线 E 上任意一点,写出曲线 E 在点 P( x0 , y0 ) 处的 切线 l 的方程;(不要求证明) (3)直线 m 过切点 P( x0 , y0 ) 与直线 l 垂直,点 C 关于直线 m 的对称点为
C P O A M

D ,证明:直线 PD 恒过一定点,并求定点的坐标.
解:(1)? 点 P 是线段 AM 的垂直平分线,∴ PA=PM

PA+PC=PM+PC=2 2>AC=2,
∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆. 椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ∴曲线 E 的方程为

? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1.
………5′

x2 ? y 2 ? 1. 2

x0 x ? y0 y ? 1 .………8′ 2 (3)直线 m 的方程为 x0 ( y ? y0 ) ? 2 y0 ( x ? x0 ) ,即 2 y0 x ? x0 y ? x0 y0 ? 0 .
(2)曲线 E 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线 l 的方程是 设点 C 关于直线 m 的对称点的坐标为 D ? m, n ? ,

? 2 x03 ? 3 x0 2 ? 4 x0 ? 4 x0 ? n m ? ? ? ? ? x0 2 ? 4 2 y0 ? ? m ?1 则? ,解得 ? 4 3 2 ? n ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 8 x0 ?2 y ? m ? 1 ? x0 n ? x y ? 0 0 0 0 ? ? 2 y0 (4 ? x0 2 ) ? 2 2 ?
? 直线 PD 的斜率为 k ?

n ? y0 x04 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8x0 ? 8 ? m ? x0 2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8 ( x ? x0 ) 2 y0 (? x03 ? 3x02 ? 4)

从而直线 PD 的方程为: y ? y0 ? 即x?

2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) y ? 1 , 从而直线 PD 恒过定点 A(1, 0) .………16′ x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8

2、(江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考)

x2 y2 3 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 且垂直 2 a b
于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点, 过点 P 作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 C 有 且只有一个公共点,设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,若 k ? 0 , 试证明:

1 1 为定值,并求出这个定值. ? kk1 kk 2

x2 y2 解:(1)由于 c2=a2-b2,将 x=-c 代入椭圆方程 2 + 2=1, a b b2 2b2 得 y=± .由题意知 =1,即 a=2b2. ……………2 分 a a c 3 又 e= = , a 2
2

x2 所以 a=2,b=1. 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4

……6 分

(2)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0). x ? ? 4 +y2=1, 联立? ? ?y-y0=k(x-x0), ………………8 分

2 2 整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y2 0-2kx0y0+k x0-1)=0. 2 2 由题意 Δ=0,即(4-x2 ………………10 分 0)k +2x0y0k+1-y0=0. 2 x0 x0 2 2 2 又 +y2 . ……………12 分 0=1,所以 16y0k +8x0y0k+x0=0,故 k=- 4 4y0

1 1 x0+ 3 x0- 3 2x0 由(2)知 + = + = , ……………15 分 k1 k2 y0 y0 y0 1 1 1 1 1 ? ?-4y0? 2x0 + = 所以 + = ? · =-8, kk1 kk2 k?k1 k2? ? x0 ? y0 1 1 因此 + 为定值,这个定值为-8. ……………16 分 kk1 kk2 3、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A、B 两点. a 2 b2

(1)若椭圆的半焦距 c ? 3 ,直线 x ? ? a 与 y ? ?b 围成的矩形 ABCD 的面积为 8, 求椭圆的方程; (2)如果

1 1 3 2 ? 2 ? 2 又椭圆的离心率 e 满足 ,求椭圆长轴长的取值范围. ?e? 2 a b 3 2

x2 y2 4、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)若椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离 a b 4 心率 e 为 ,且椭圆 C 的一个焦点与抛物线 y2=-12x 的焦点重合. 5 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(2,0),点 Q 是椭圆上一点,当|MQ|最小时,试求点 Q 的坐标; (3)设 P(m,0)为椭圆 C 长轴(含端点)上的一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线 l 交椭圆与 A,B 两点,若|PA|2+|PB|2 的值仅依赖于 k 而与 m 无关,求 k 的值.
O

y

x

5、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 中 心 在 原 点 , 离 心 率 为 1 的 椭 圆 E 的 一 个 焦 点 为 圆

2

C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 ? 0 的圆心.
⑴求椭圆 E 的方程; ⑵设 P 是椭圆 E 上一点, 过 P 作两条斜率之积为 1 的直线 l1 , l2 , 当直线 l1 , l2 都与圆 C 相

2

切时,求 P 点坐标. 解:(1)
2 x2 ? y ? 1 16 12

……………4 分

(2)设 P ? x0 , y0 ? ,得 l1 : y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , l2 : y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ?

2k1 ? y0 ? k1 x0 ? ∵ k1k2 ? 1 ,依题意 C ? 2,0? 到 l1 的距离为

2

1 ? k12

2

整理得 ?? 2 ? x0 ? ? 2? k1 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k1 ? y0 ? 2 ? 0 同理
2

?

?

2

2

?? 2 ? x0 ?2 ? 2? k22 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k2 ? y02 ? 2 ? 0 ? ?

∴ k1k2 是方程 ?? 2 ? x0 ? ? 2? k ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两实根…… 10
2

?

?

2

2



?? 2 ? x0 ?2 ? 2 ? 0 ? ? ? 2 2 ? x0 ? ? y0 2 ? 2 ? ? 0 ?? ? 8 ? ?? ? ? 2 y0 ? 2 ? ?1 2 ?k1k2 ? ? 2 ? x0 ? ? 2 2 ?
? x0 2 y0 2 ? ?1 ? ∴ ? 16 12 ?? 2 ? x ?2 ? 2 ? 2 ? y 2 ? 2 ? 0 0 ?

……………12 分

……………14 分

? ? ? ? ? P ? ?2,3? 或P ? ?2, ?3? 或 ? 18 , 57 ? 或 ? 18 , ? 57 ? 5 ? ?5 5 ? ?5

…………16 分


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