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训练题F解答


2014 东南地区冬令营赛前训练题 F 解答
陶平生提供
1 、求满足以下条件的整数无穷数列 ?an ? 的个数: an ? ?1, an ? 2 ?
an ? 2015 . an ?1 ? 1

解:据条件, an? 2 (an?1 ? 1) ? an ? 2015 , an?3 (an? 2 ? 1) ? an?1 ? 201

5 ,相减得

an?2 ? an ? (an?2 ? 1)(an?3 ? an?1 )

… ①,于是有

a3 ? a1 ? (a3 ? 1)(a4 ? a2 ) , a4 ? a2 ? (a4 ? 1)(a5 ? a3 ) , a5 ? a3 ? (a5 ? 1)(a6 ? a4 ) ,…,
由条件, an ? 1 ? 0 ,顺次考虑①中各式,则有两种情况,

(10 ) 、如果 a3 ? a1 ? 0 ,则可依次得到, a4 ? a2 ? 0 , a5 ? a3 ? 0 ,…,从而有
a1 ? a3 ? a5 ?
, a2 ? a4 ? a6 ? , … ②

(20 ) 、如果 a3 ? a1 ? 0 ,则依次有, a4 ? a2 ? 0 , a5 ? a3 ? 0 ,…,
此时,由①, 0 ? an ?3 ? an ?1 ? an ? 2 ? an ? 于是得到 a3 ? a1 ? a4 ? a2 ? a5 ? a3 ?

1 an? 2 ? 1

? an ? 2 ? an , (n ? 1) ,… ③

,由于不大于 a3 ? a1 的正整数只有有限个,所

以这个序列在某项后必变为常数(即是说,不存在正整数无穷递减数列) ,所以存在某个 N 和 d ,使得对于所有 n ? N ,均有 an? 2 ? an ? d ,再由③得, an ? 2 ? 1 ? 1 ,即对于所有的

n ? N ? 2 ,有 an ??0, ? 2? ,利用条件得, aN ? 4 ?

aN ? 2 ? 2015 ,从而 aN ? 4 只能是 aN ? 3 ? 1

0 ? 2015 0 ? 2015 ?2 ? 2015 ?2 ? 2015 ? 2015 , ? ?2015 , ? 2013 ,或 ? ?2013 这四 0 ?1 ?2 ? 1 0 ?1 ?2 ? 1
个值之一,此与 an ? ?0, ? 2? 矛盾!即在此情况下不存在满足条件的数列. 因此,满足条件的数列只能存在于②中;将 a1 ? a3 代入条件式 an ? 2 ?

an ? 2015 中,有 an ?1 ? 1

a1 ?

a1 ? 2015 ,得 a1a2 ? 2015 … ④,而 2015 ? 5 ?13 ? 31 ,当 a1 , a2 ? ?1 时, a1 的值 a2 ? 1

只能取数集 ?1, ? 5, ? 13, ? 31, ? 65, ? 155, ? 403, 2013? 中的 14 个数之一,而当 a1 确定之 后, a2 的值由④随之确定,再由②便得到相应的数列,因此满足题意的数列有 14 个.

1 2 、设 f ( x) ? x ? ? x ? ? ,证明:对于任意实数 x 和任意正整数 n ,都有 2

2 ?f? ?
k ?1

n

?

k

1? x ? ? ? 1. 2?
? ? 1? ?

证:注意到,对于任何实数 a ,有恒等式 ? 2a ? ? ? a ? ? ? a ? ? . 2 所以,

2 ?f? ?
k ?1

n

?

k

1? 1 ? 1? 1 x ? ? ? 2k x ? ? ? 2k x ? ? ? 2? 2 ? 2? 2

1 1 ? 2k x ? ? ? 2k ?1 x ? ?? 2k x ? ? ? ? 2k ?1 x ? 2k x ? ? ? 2k ?1 x ? ?? 2k x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2

?

?

?

?

1? ? k 1? ? k ?1 k k ?1 k ? ? 2k ?1 x ? ? ?2 x ? ? ? 2 ???2 x ? ? ?2 x ? ? ? 2 ? ? f ?2 x? ? f ?2 x? . ? ? ? ?
因此,

1? ? f ? 2k x ? ? ? ? 2? ? k ?1
n

?? f ?2
n k ?1

k ?1

x ? ? f ? 2k x ?

?

m?1 ? f ? 2m?1 x ? ? f ? 2 x ? ? 2m?1 x ? ? ?2 x ? ? ? ? 2 x ? ? 2 x ??

?

?

? ?2m?1 x? ? ?2 x? .
由于 0 ? 2 于是 2

?

m ?1

x? ? 1, 0 ? ?2 x? ? 1 ,所以 ?1 ? ?2m?1 x? ? ?2 x? ? 1 .

?

m ?1

n 1? ? x? ? ?2 x? ? 1 ,即有 ? f ? 2k x ? ? ? 1 . 2? ? k ?1

对于任一个 ?XYZ , 用 P(?XYZ ) 表 3、 示其周长; 给定锐角 ?ABC , 其顶点 A, B, C 在 边 BC, CA, AB 上 的 投 影 分 别 为 点 A, B, C 在边 EF , FD, DE 上的 D, E, F ; 投影分别为 M , N , K ; 证明: P(?DEF ) ? 2P(?MNK ) .

A
F
N
H V W

M
U

E

K

B

D

C

证:设 H 是 ?ABC 的垂心,则 EA ? EM ? FA ? FM ,
2 2 2 2

即 EA ? FA ? EM ? FM ; EA ? EH ? FA ? FH ,
2 2 2 2 2 2 2 2

即 EA ? FA ? FH ? EH ,于是 EM ? FM ? FH ? EH ,
2 2 2 2 2 2 2 2

又设点 H 在 EF , FD, DE 上的投影分别为 U ,V ,W ,则 FH ? FU ? EH ? EU ,
2 2 2 2

即 FH ? EH ? FU ? EU ,所以 EM ? FM ? FU ? EU ,得
2 2 2 2 2 2 2 2

EM ? FM ? FU ? EU ,因 EM ? FM ? FU ? EU ,于是 EU ? FM ,同理得

DV ? FN , DK ? EW ,注意 ?ABC 的垂心 H 是其垂足三角形 ?DEF 的内心,U ,V ,W 是
其内切圆在 EF , FD, DE 三边的切点,故可记 DV ? DW ? x , EW ? EU ? y ,

FU ? FV ? z ,因此 DE ? x ? y, EF ? y ? z, FD ? z ? x ,
于是 x ? DV ? DW ? EK ? FN , y ? EW ? EU ? FM ? DK , z ? FU ? FV ? DN , 据余弦定理,在 ?DEF 中,

cos ?DFE ?

DF 2 ? EF 2 ? DE 2 ( x ? z )2 ? ( y ? z )2 ? ( x ? y)2 z 2 ? yz ? zx ? xy ? ? 2 DF ? EF 2( x ? z )( y ? z ) ( x ? z )( y ? z )

? 1?

2 xy … ① ( x ? z )( y ? z )
2 2 2

因此 MN ? FM ? FN ? 2FM ? FN cos ?MFN

? ? 2 xy 4 x2 y 2 2 ? y 2 ? x 2 ? 2 xy ? ?1 ? ? ( x ? y ) ? 4 xy ? ? ( x ? z )( y ? z ) ? ( x ? z )( y ? z ) ?
? ( x ? y)2 ? 4 z ( x ? y ? z ) ? 4 z 2 ( x ? y ? z )2 ( x ? z )( y ? z )
… ②

(这里用到, z ? yz ? zx ? xy
2

?

?? z

2

? yz ? zx ? xy ? ? ( z 2 ? yz ? zx)2 ? ( xy)2 ,

( z 2 ? yz ? zx)2 ? ( xy)2 ( z 2 ? yz ? zx)2 ? ( xy)2 ? 即 z ? yz ? zx ? xy ? , z 2 ? yz ? zx ? xy ( x ? z )( y ? z )
2

也即 xy ?

x2 y 2 z 2 ( x ? y ? z )2 ? z( x ? y ? z) ? ) ( x ? z )( y ? z ) ( x ? z )( y ? z )
2 ? ( x ? z) ? ( y ? z) ? 1 ? ? ? x ? y ? 2 z ? ,则 2 4 ? ? 2

又注意 ( x ? z )( y ? z ) ? ?

( x ? y)2 ? 4 z ( x ? y ? z ) ? ( x ? y)4 ( x ? y ? 2 z)2
2

4 z 2 ( x ? y ? z )2 16 z 2 ( x ? y ? z )2 ? ( x ? y)2 ? 4 z( x ? y ? z ) ? ( x ? z )( y ? z ) ( x ? y ? 2 z)2
2

?

… ③. (这是因为, ( x ? y ) ? 4 z ( x ? y ? z ) ?

16 z 2 ( x ? y ? z )2 ( x ? y ? 2 z )2

16 z 2 ( x ? y ? z )2 ,通分并用平方差,立得③的右端) ? ( x ? y) ? 4 z ( x ? y ? z ) ? ( x ? y)2 ? 4 z ( x ? y ? z )
所以, MN ?

( x ? y)2 ( y ? z )2 ( z ? x) 2 ,同理有 NK ? , KM ? ; x ? y ? 2z y ? z ? 2x z ? x ? 2y ( x ? y)2 ( y ? z)2 ( z ? x) 2 ? ? x ? y ? 2z y ? z ? 2x z ? x ? 2 y
2

因此, MN ? NK ? KM ?

?

? ( x ? y ) ? ( y ? z ) ? ( z ? x) ?

( x ? y ? 2 z ) ? ( y ? z ? 2 x) ? ( z ? x ? 2 y )

? 2( x ? y ? z ) ? ?
4( x ? y ? z )

2

? x? y? z

1 ? ( DE ? EF ? FD) ,即 P(?DEF ) ? 2P(?MNK ) . 2
【附注】这里用到权方和不等式:设 ai , bi ? 0, i ? 1, 2,

, n ,实数 m ? 0 或 m ? ?1 ,则

aim ?1 ? m i ?1 bi
n

? n ? ? ? ai ? a a ? ? i ?1 ? m ,当且仅当 1 ? 2 ? n b1 b2 ? ? ? ? bi ? ? i ?1 ?

m ?1

?

an 时取得等号. bn

证明如下:对 n 归纳, n ? 2 时,为证

m ?1 a1m?1 a2 (a1 ? a2 )m?1 ? ? ,活化一个量,引入 m b1m b2 (b1 ? b2 )m

变元 x ,令 f ( x) ?

a1m?1 x m?1 (a1 ? x)m?1 ? m ? ,x ?0, b1m b2 (b1 ? b2 )m

?? x ?m ? a ? x ?m ? (m ? 1) x m 由 f ?( x) ? (m ? 1) ?? ? ? ? 1 ? ?? b2 ? ? b1 ? b2 ? ? (b1 ? b2 )m ? ? ? ?
一的驻点 x ?

?? b ? m ? a ? m ? ??1 ? 1 ? ? ?1 ? 1 ? ? ? 0 ,得到唯 b2 ? ? x? ? ? ?? ?

a1b2 ,因实数 m ? 0 或 m ? ?1 ,则 m(m ? 1) ? 0 . b1

于是 f ?? ?

? a1b2 ? a1m?1 ab ? m ( m ? 1) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? 1 2 处取得极小值,注意到 ? m?2 b1 b2 (b1 ? b2 ) b1 ? b1 ?

连续函数 f ( x) 在开区间 (0, ? ?) 内只有这一个极值点,则此极小值即为最小值,最小值为

?ab ? ?ab ? a m?1 x m?1 (a ? x)m?1 f ? 1 2 ? ? 0 ,从而由 f ( x) ? f ? 1 2 ? ? 0 ,即 1 m ? m ? 1 ? 0 , ? x ? 0? . b1 b2 (b1 ? b2 )m ? b1 ? ? b1 ?
整理,并将 x 替换为 a2 ,便得到
m ?1 a1m?1 a2 (a1 ? a2 )m?1 ab ,当且仅当 a2 ? 1 2 ,即 ? ? m m m b1 b2 (b1 ? b2 ) b1

a1 a2 ? 时等号成立,因此 n ? 2 时结论成立. b1 b2

设 n ? k 时结论成立,则当 n ? k ? 1 时,

aim?1 k aim?1 akm??11 ?? m ? m ? m bk ?1 i ?1 bi i ?1 bi
k ?1 m ?1

? k ? ? ? ai ? a m??11 ? ? i ?1 ? m ? km bk ?1 ? k ? b ?? i ? ? i ?1 ?

m ?1

? m ?1 k ? ? k ?1 ? ? k ?1 ? a ? a a ? k ?1 ? i ? ?? i ? ? ? ai ? k ?1 m ?1 ai i ?1 i ?1 ? ? ? ? ? i ?1 ? ,从而由归纳法,对所有正整 ? ? ,即 ? m ? m m m k k ?1 i ?1 bi ? m ? ? ? ? k ?1 ? b ? b b b ? k ?1 ? i ? ?? i ? ?? i ? i ?1 ? ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 数 n ,结论皆成立.
a1 , a2 , 设 n 个正整数 (n ? 3) , 4、 , an 满足: 每个数 ai 皆小于 2015 , 而任两个数 ai , a j

m ?1

m ?1

的最小公倍数大于 2015 ;证明:它们的倒数之和小于

3 . 2

证:据条件知,这 n 个数互不相同,且每个数皆大于 1 ,现在设 M ? ?1, 2,3,

, 2015? ,

Ak ? x x ? M , ak x , k ? 1, 2,

?

?

, n ,即 Ak 是集 M 中,所有 ak 之倍数构成的集合;

若有某个数 x 既在 Ai 中,又在 A j ,那么此 x 是 ai , a j 的公倍数,故是其最小公倍数的倍数, 于是 x ? 2015 ,与条件矛盾!故 n 个集合 A1 , A2 , 现在设 A ? A1

, An 互不相交,

A2

An ,则显然 1 不在 A 中,2,3 不同时属于 A ,所以集 A 的元

素个数 A ? 2013 ,即有 ?

? 2015 ? ? 2015 ? ??? ?? ? a1 ? ? a2 ?

? 2015 ? ?? ? ? 2013 , ? an ?
? an ,

再估计 n 的值,应当有 n ? 1008 ,反证法,假若 n ? 1009 ,不妨设 a1 ? a2 ? 由于 an ? 2015 ,则最小的数 a1 ? 2015 ? 1008 ? 1007 ,于是 2a1 ? 2015 , 又显然,在 a1 , a2 ,

, an 中,每个数皆不是另一数的倍数(否则这两数的最小公倍数便

小于 2015 ) ,这样, 2a1 , a2 ,

, an 也是满足条件的 n 个数,但其中的最小数增大了,重复

这样的调整,可以使得 n 个数皆不小于 1008 ,互不相同,且满足题中条件,而这是不可能 的,因为 ?1008,1009, 于是,

, 2015? 中,总共只有 1008 个数,与所设矛盾;因此 n ? 1008 ;
? 2015 ? ? 2015 ? ? ? ? 2015 ? ? ?? ? ? 1? ? ? a ? ? 1? ??? ?? ?? an ? ? 1 ? ? ? ? a2 ? ? ? ? 2015 ? ? ?? ? ? a ? ? 1? ? ?? n ? ?

2015 2015 ? ? a1 a2

? 2013 ? n ? 2013 ? 1008 ? 3021 ,
因此,

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3021 3 ? ? . an 2015 2


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