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新课标正定2013—2014学年度高一(下册)第一次月考数学试卷(理科)附答案[编辑6页]


新课标正定 2013—2014 学年度高一(下册) 第一次月考数学试卷(理科)附答案
一.单项选择题(每小题 5 分,共 60 分。请将正确答案涂在答题卡上) 1.在 ?ABC 中,已知角 A ? 45? , B ? 60? , a ? 2 2, 则b= ( A. 2 3 B. 3 C. 2 ) )

D. 4 3

2. 若 l

g a, lg b, lg c三数成等差数列,则 (

A. b ?

a?c 2

B. b ? ? ac

C.a, b, c成等比数列

D.a, b, c成等差数列


3.已知数列 ?an ? 的通项公式是 an = A.第 19 项 B.第 20 项

1 n( n ? 2) ,则 220 是这个数列的( 2
C.第 21 项 D.第 22 项 )

4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? ? A. ?

1 ,则 a2001 等于( an ? 1
C. 1 D. 2

3 2

B. ?

1 3

5.等差数列 {an } 中 a8 ?

1 a a a a ,则 2 1 ? 2 2 ? 2 3 ??? 2 15 ? ( 3



A. 2

10

B. 2

15

C. 2

5

D. 2

1 ( )15 3

6.等比数列 {an } 中,前 10 项和 48,前 20 项和 60,则前 30 项和为( A 108 B 75 C 36 D 63



7.已知数列 {an } 的通项公式是 an ? ?4n ? 76 , {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn 达到最大 值时, n 的值是( A.17 ) B.18 C.19 D.20

8.已知点 A(1,2),B(2,1),直线 l 过坐标原点,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的 取值范围是( ) 1 1 A.( , 2) B.[ , 2] C.(0, 2] D.[?1, 2] 2 2

s 9. 在△ABC 中, a, b, c 的对角分别为 A、 C, n 边 B、 且 i
A. 30
?

2

A ?n i s
?

2

C ?n i s
D. 45

A ?n C ?n i s i s
?

2

B 。 B=( 则角

)。

B. 60

?

C. 120

10.若 c ? a cos B , b ? a sin C ,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
1/7

11.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? A. 2 ? n ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 1 ? n ? ln n D. 2 ? ln n

1 n

12.设 f ( x ) 是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意的实数 x, y ? R ,都有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y),若

a1 ?

1 * , an ? f (n) , n ? N ) ( ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的最小值是( ) 2 3 1 A. B.2 C. D.1 4 2

二.填空(每小题 5 分,共 20 分.请将正确答案填写在答题纸上) 13.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 10 项和 等于 14.如右图:一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个 灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶4h 后,船到达 C 处,看到这个灯 塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km. A
? 15.在 ?ABC 中, A ? 120 ,若 a ? 7 , b ? c ? 8 ,则 ?ABC 的面积是
?

B

60
B

15?
B C

16.在 1 与 25 之间插入个正数,使这 n ? 2 个数成等比数列,则插入的 n 个数的积为 三.解答题(共 6 个小题,共 70 分.请将正确答案填写在答题纸上.) 17.(本小题满分 10 分) 成等差数列的三个数的和等于 18,并且这三个数分别加上 1,3,17 后就成了等比数列,求这三个数.

18.(本小题满分 12) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 sin A : sin B : sin C ? 2 : 5 : 6 (1)求 cos B ; (2)若 ?ABC 的面积为 3 39 ,求 ?ABC 的周长。

2/7

19.(本小题满分 12) 已知数列满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 4 n ? N (1)求 ?an ? 的通项公式. (2)求数列 ?nan ? 前 n 项和.
*

20.(本小题满分 12) 张先生欲从银行贷款,购买一套自己满意的住房,按规定,政策性住房贷款的年息为 9% ,最长年限 为 10 年,可以分期付款,张先生根据自己的实际情况估计每年最多可偿还 5000 元,打算平均 10 年还清, 如果银行贷款按复利计算,那么张先生最大限额的贷款是多少元?( 1.0910 ? 2.4, 保留到个位 )

3/7

21.(本小题满分 12) 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ?1 ,数列 ?bn ? 满足: b1 ? 3 , bn?1 ? an ? bn , n ? N (1)证明数列 ?an ? 为等比数列; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
*



22.(本小题满分 12) 数列 ?an ? 中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 , n ? N (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?
*

1 * * ( n ? N ), Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( n ? N )是否存在最大的整数 m ,使得对任意 n(12 ? an )
m 成立,若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由. 32

n ? N * 均有 Tn ?

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新课标正定 2013—2014 学年度高一(下册) 第一次月考数学试卷(理科)标准答案
一. 二. 1—5.ACBAC 13.330 6—10.DBBBB 11.D 15. 12.C 16. 5
n

14. 30 2

15 3 4

三. 解答题.

17.解:设这三个数为a ? d , a, a ? d,则 ?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 18 ? 2 ?(a ? d ? 1)( a ? d ? 17) ? ( a ? 3) ?a ? 6 ?a ? 6 或 ? ? ?d ? 4 ? d ? ?20 所以,这三个数为: 2, 6,10 或 解得

26, 6, ?14

18. 解:?

a : b : c ? sin A :sin B :sin C ? 2:5: 6

设 a ? 2k , b ? 5k , c ? 6k (k ? 0) (1) cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 (6k )2 ? (2k )2 ? (5k )2 5 ? ? 2ac 2 ? (6k ) ? (2k ) 8
39 8

(2) sin B ? 1 ? cos 2 B ? ?S
? ABC

1 ac sin B ? 3 39 2 ? ac ? 48, 又 ? a : c ? 2 : 6 ? a ? 4, c ? 12, b ? 10 ? ?? ABC的周长为a ? b ? c ? 4 ? 10 ? 12 ? 26

19.解: (1) an ?1 ? 2 ? 3an ? 4 ? 2 ? 3(an ? 2),?

an?1 ? 3,??an ? 2? 是等比数列. an

an ? 2 ? (a1 ? 2) ? 3n?1 ? 3n ,?an ? 3n ? 2
n n (2) nan ? n ? 3 ? 2n, 设 ?nan ? , n ? 3 , ?2n?的前n项和分别为sn , s1 , s2 , 则

?

?

s1 ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ?? n ? 3n 3s1 ? 1 3 ? ? 33 ?3 4 3?? n ? ? 2 2 ? ?
n? 1 3

① ②
5/7

①-②得 ?2s1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
2 3 n

n ?1

3(1 ? 3n ) ? ? n ? 3n ?1 1? 3

? s1 ?

( 2 ? 1 )n ?1 ? n 3 4

3

又? s2 ? 2 ?

n(n ? 1) (2n ? 1)3n ?1 ? 3 2 ? n 2 ? n ,? sn ? ?n ?n 2 4

20.解:设最大限额的贷款为 x 元,则:
1 x( 1? 9 % 0 ? )

5 0 0 0 ( 1 99? ) ? %

5? 0 08 ? 9 % ) 0 ( 1? ?

? 5 0 0 ? (,得: ) 0 1 9%

5000

1.0910 x ?
2.4x ?

5000(1 ? 1.0910 ) ,?1.0910 ? 2.4, 代入得: 1 ? 1.09

5000 ?1.4 ,x ? 32407(元) 0.09


答:最大限额的贷款是 32407 元. 21. ( 1 ) 证 明 : ? sn ? 2an ?1

? sn?1 ? 2an?1 ? 1

② ,

① - ② 得 :

an ? 2an ? 2an?1 ,即:an ? 2an?1 ,

an ? 2,(n ? 2),? 数列?an ? 是等比数列. an?1

(2)在①中令 n=1, s1 ? 2a1 ? 1, 即:a1 ? 2a1 ?1, a1 ? 1,?an ? 2n?1.

?bn?1 ? bn ? an ,?bn?1 ? bn ? an ,
? b2 ? b1 ? 20 b3 ? b2 ? 21 ? ? bn ? bn ?1 ? 2n ?2 累加得:bn ? b1 ? 20 ? 21 ? ? ? 2n ?2 ? 2n ?1 ? 1,? b1 ? 3,
? bn ? 2n?1 ? 1 ? 3 ? 2n ?1 ? 2, 验证b1也符合.?Tn ? 1? (1 ? 2n ) ? 2n ? 2 n ? 1 ? 2n 1? 2

22.(1) ? an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 0,? an ? 2 ? an ? 2an ?1 ,? 数列?an ? 是等差数列. 由a1 ? 8, a4 ? 2, 得:d ? ?2,? an ? 8 ? (n ? 1 ? ? 2) ?2n ? 10 ) ( ?
(2) bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?( ? ) n(12 ? an ) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 m 1 Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) ? ,? m ? 16(1 ? ) 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 32 n ?1

设f (n) ? 1 ?

1 , 则f(n)可看作n的递增函数,(n ? N ? ), n ?1
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? f (n) min ? 1 ?

1 1 1 ? ,? m ? 16 ? ? 8,? 存在最大整数m ? 7. 1?1 2 2

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