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南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题


一、填空题:
1.已知集合 U ? ??1,0,1,2?, A ? ??1,1,2? ,则 CU A ? 2.已知复数 z ? ? 2 ? i ? ( i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数为
2

. .

3.如图是甲、乙两位同学在 5 次数学测试中得分的茎叶图,则成绩较稳定(方 差较小)的那一位同学的方差为 . .



4.如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值为

5.已知正三棱柱的各条棱长均为 a ,圆柱的底面直径和高均为 b ,若它们 的体积相等,则 a : b 的值为
3 3

.

6.将一颗骰子连续抛掷 2 次,向上的点数分别为 m, n ,则点 P ? m, n ? 在直 线y?

1 x 下方的概率为 2

.

7.函数 f ? x ? ?

1 ? 2 的定义域为 lg x

.

8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

x2 ? y 2 ? 1与抛物线 y 2 ? ?12 x 有 2 a
.

相同的焦点,则双曲线的两条渐近线的方程为

10.如图,已知 ?ABC 的边 BC 的垂直平分线交 AC 于点 P ,交 BC 于点 Q .若

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? AB ? 3, AC ? 5 ,则 AP ? AQ ? AB ? AC 的值为

?

??

?

.

? 11.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, ?1 ? an ?1 ??1 ? an ? ? 1 n ? N ,则

?

?

? ? a a ? 的值为
k ?1 k k ?1

100

.

12.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? a ? R ? , g ? x ? ? ?
2

? ? f ? x? , x ? 0 ' ( f ? x ? 为 f ? x ? 的导函数) .若方程 ' ? ? f ? x?, x ? 0

g ? f ? x ?? ? 0 有四个不等的实根,则 a 的取值范围是
13.如图,矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上,顶点 C , D 在函数

.

y ? x?


m 1 ? x ? 0 ? 的图像上.记 AB ? m, BC ? n ,则 2 的最大值 n x
.
2 2 2

2 2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 2 ,圆 C1 : ? x ? m ? ? ? y ? m ? ? m ,若圆

C2 上存在点 P 满足:过点 P 向圆 C1 作两条切线 PA, PB, 切点为 A, B , ?ABP 的面积为 1,则正
数 m 的取值范围是 .

三、解答题
15.已知 ?ABC 是锐角三角形,向量 m ? ? cos ? A ?

?? ? ?

? ?

??

? ?? ? ? ? ,sin ? A ? ? ? , n ? ? cos B,sin B ? ,且 3? 3 ?? ?

?? ? m?n.
(1)求 A ? B 的值; (2)若 cos B ?

3 , AC ? 8 ,求 BC 的长. 5

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 平面 PAD , AB ? CD, CD ? 2 AB ? 2BC, M , N 分别 是棱 PA, CD 的中点. (1)求证: PC ? 平面 BMN ; (2)求证:平面 BMN ? 平面 PAC .

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,长轴长为 4,过椭圆的左顶点 A 作直线 l ,分别交椭圆 2 a b 2
和圆 x2 ? y 2 ? a 2 于相异两点 P, Q . (1)若直线 l 的斜率为

1 AP ,求 的值; 2 AQ

(2)若 PQ ? ? AP ,求实数 ? 的取值范围.

??? ?

??? ?

18.某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为 1m 的圆形,并用四根木条将圆分 成如图所示的 9 个区域,其中四边形 ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将矩形 ABCD 区域设 计为可推拉的窗口. (1)若窗口 ABCD 为正方形,且面积大于 范围; (2)若四根木条总长为 6 m ,求窗口 ABCD 面积的最大值.

1 2 m (木条宽度忽略不计) ,求四根木条总长的取值 4

19.已知数列 ?an ? , ?bn ? 均为各项都不相等的数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,

an ?1bn ? S n ? 1? n ? N ? ? .
(1)若 a1 ? 1, bn ?

n ,求 a4 的值; 2

(2)若 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,求证:存在实数 ? ,使得 ?bn ? ?? 为等比数列; (3)若 ?an ? 的各项都不为零,?bn ? 是公差为 d 的等差数列,求证: a2 , a3 ,?, an ,? 成等差数列 的充要条件是 d ?

1 . 2

20.设函数 f ? x ? ? xex ? a sin x cos x ( a ? R ,其中 e 是自然对数的底数). (1)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; (2)若对于任意的 x ? ?0,

? ?? , f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; ? 2? ?
? ?

(3) 是否存在实数 a , 使得函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 若不存在,请说明理由.

??

求出 a 的取值范围; ? 上有两个零点?若存在, 2?

南通市 2016 届高三第三次调研测试 数学 II
21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多 做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A.【选修 4-1】几何证明选讲(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, ?A ? 2?B, ?C 的平分线交 AB 于点 D , ?A 的平分线交 CD 于点 E . 求证: AD ? BC ? BD ? AC .

B.【选修 4-2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? y ? 2 ? 0 在矩阵 A ? ?

?1 a ? ? 对应的变换作用下得到直线 ?1 2 ?

x ? y ? b ? 0 ? a, b ? R? ,求 a ? b 的值.
C.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? 3 ? ( ? 为参数)以原点 O 为极 ? ? y ? 2sin ?

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ? ? 求线段 AB 的长. D.【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分)

?
6

.若直线 l 与曲线 C 交于 A, B ,

已知 x ? 0, y ? 0, z ? 0 ,且 xyz ? 1 ,求证: x ? y ? z ? xy ? yz ? xz
3 3 3

【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明,证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上一点 P ?
2

?3 ? , m ? 到准线的距离与到原 ?4 ?

点 O 的距离相等,抛物线的焦点为 F .

(1)求抛物线的方程; (2)若 A 为抛物线上一点(异于原点 O ) ,点 A 处的切线交 x 轴于点 B ,过 A 作准线的垂线, 垂足为点 E .试判断四边形 AEBF 的形状,并证明你的结论. 23.(本小题满分 10 分)
? 甲,乙两人进行围棋比赛,共比赛 2n n ? N 局,根据以往比赛胜负的情况知道,每局甲胜的

?

?

概率和乙胜的概率均为 率为 P ? n ? .

1 .如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概 2

(1)求 P ? 2 ? 与 P ? 3? 的值; (2)试比较 P ? n ? 与 P ? n ? 1? 的大小,并证明你的结论.

南通市 2016 届高三第三次调研测试 数学学科参考答案
一、填空题

1. ?0? 8. y ? ?

2. 3 ? 4i

3. 2

4. 3

5. ? : 3

6.

1 6

7. 1, 10 ?

?

?
1 4
14. ?1,3 ? 2 3 ?

2 x 4

9.

4 3 3

10. -16

11.

100 101

12. a ? 0 或 a ? 2

13.

?

?

二、解答题 15.(1)因为 m ? n ,所以 m ? n ? cos ? A ?

??

?

?? ?

? ?

??

?? ? ? ? ? ? cos B ? sin ? A ? ? sin B ? cos ? A ? ? B ? ? 0 3? 3? 3 ? ? ?
? ? ? ? ? ,所以 A ? 3 ? B ? 2 ,即 A ? B ? 6 ; ?

又 A, B ? ? 0,

? ? ?? ? ? ? ? 5? ? ,所以 ? A ? ? B ? ? ? ? , 3 ? 2? ? ? ? 6 6

(2)因为 cos B ?

3 4 ? ?? , B ? ? 0, ? ,所以 sin B ? 5 5 ? 2?

所以 sin A ? sin ? B ?

? ?

??

? ? sin B cos ? cos B sin 6? 6 6

?

?

4 3 3 1 4 3 ?3 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10

sin A 由正弦定理,得 BC ? ? AC ? sin B

4 3 ?3 10 ? 8 ? 4 3 ? 3 . 4 5
1 CD, AB ? CD , N 为 CD 的中点, 2

16.(1)设 AC ? BN ? O ,连结 MO, AN ,因为 AB ?

所以 AB ? CN , AB ? CN ,所以四边形 ABCN 为平行四边形,所以 O 为 AC 的中点,所以

MO ? PC
又因为 MO ? 平面 BMN , PC ? 平面 BMN ,所以 PC ? 平面 BMN . (2) (方法一)因为 PC ? 平面 PDA , AD ? 平面 PDA 所以 PC ? AD , 由 (1) 同理可得, 四边形 ABND 为平行四边形, 所以 AD ? BN , 所以 BN ? PC 因为 BC ? AB ,所以平行四边形 ABCN 为菱形,所以 BN ? AC ,因为 PC ? AC ? C

AC ? 平面 PAC , PC ? 平面 PAC ,所以 BN ? 平面 PAC
因为 BN ? 平面 BMN ,所以平面 BMN ? 平面 PAC . (方法二)连结 PN ,因为 PC ? 平面 PDA , PA ? 平面 PDA ,所以 PC ? PA

因为 PC ? MO ,所以 PA ? MO ,因为 PC ? 平面 PDA , PD ? 平面 PDA ,所以 PC ? PD 因为 N 为 CD 的中点,所以 PN ?

1 1 CD ,由(1) AN ? BC ? CD ,所以 AN ? PN 2 2

又因为 M 为 PA 的中点,所以 PA ? MN 因为 MN ? MO ? M , MN ? 平面 BMN , MO ? 平面 BMN 所以 PA ? 平面 BMN ,因为 PA ? 平面 PAC ,所以平面 PAC ? 平面 BMN .

? 2a ? 4 ? ? 2 ?a ? 2 ?c 17.(1)由条件, ? ? ,解得 ? 2 ?b ? 2 ? ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 ?
所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 4 2

1 ? 1 ? y ? ? x ? 2? 2 (方法一)直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 ? ,由 ? 得: 3x ? 4 x ? 4 ? 0 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 4 ?
解得 x A ? ?2, x p ?

2 ?2 4? ,所以 P ? , ? 3 ?3 3?
2 2

4 5 2 ?2 ? ?4? 所以 AP ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ,又因为原点 O 到直线 l 的距离 d ? 3 5 ?3 ? ?3?

4 5 AP 5 4 8 5 ? 3 ? 所以 AQ ? 2 4 ? ? ,所以 AQ 8 5 6 5 5 5
(方法二)由 ?

?x ? 2 y ? 2 ?x ? 2 y ? 4
2 2

2 得 3 y ? 4 y ? 0 ,所以 y P ?

8 5

所以

AP 4 5 5 ? ? ? ; AQ 3 8 6

(2) (方法一)若 PQ ? ? AP ,则 ? ? 设直线 l : y ? k ? x ? 2? ,由 ?

??? ?

??? ?

AQ ?1 AP

2 2 ? ?x ? 2 y ? 4 2 2 2 得, ? 2k ? 1? x ? 8k ? 4 ? 0 ? ? y ? k ? x ? 2?

2 2 即 ? x ? 2 ? ? 2k ? 1 x ? 4k ? 2 ? ? 0 ,所以 x A ? ?2, xP ?

??

? ?

??

? 2 ? 4k 2 2 ? 4k 2 4k ? ,得 P , 2 ? ? 2 2 2k ? 1 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

? 2 ? 4k 2 ? ? 4k ? 16 ? 16k 2 4 k 2 ?1 4 所以 AP ? ? , 即 , 同理 AQ ? AP ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2k ? 1 k 2 ?1 ? 2k ? 1 ? ? 2k ? 1 ? ? 2k 2 ? 1?
2

2

2

2 由题意: k ? 0 ,所以 0 ? ? ? 1 .

?x? 2 18.(1)设一根木条长为 xcm ,则正方形的边长为 2 1 ? ? ? ? 4 ? x m ?2?
因为 S四边形ABCD ?

2

1 1 15 2 ,所以 4 ? x ? ,即 x ? 4 4 2

又因为四根木条将圆分成 9 个区域,所以 x ? 所以 4 2 ? x ? 2 15 ;

2

(2) (方法一)设 AB 所在木条长为 am ,则 BC 所在木条长为 ? 3 ? a ? m 因为 a ? ? 0,2? ,3 ? a ? ? 0,2? ,所以 a ? ?1, 2?

S矩形ABCD

? 3 ? a ? ? 4 ? a 2 ? 4 ? 3 ? a 2 ? a 4 ? 6a 3 ? a 2 ? 24a ? 20 a2 ? 4 1? ? 1? ? ? 4 4
2

设 f ? a ? ? a ? 6a ? a ? 24a ? 20 , f
4 3 2

'

? a? ? 4a3 ?18a2 ? 2a ? 24 ? 2 ? a ?1?? 2a ? 3?? a ? 4?

令 f ' ? a ? ? 0 ,得 a ? 列表如下:

3 ,或 a ? ?1 (舍去) ,或 a ? 4 (舍去) 2
3 2
0 极大值

a

? 3? ?1, ? ? 2?
+

?3 ? ? ,2? ?2 ?
-

f ' ? a?
f ?a?
所以当 a ?

?

?

3 7 ? 3 ? 49 时, f ? x ?max ? f ? ? ? ,即 S max ? 2 4 ? 2 ? 16

(方法二)设 AB 所在木条长为 am , CD 所在木条长为 bm 由条件, 2a +2b ? 6 ,即 a ? b ? 3 因为 a, b ? ? 0,2? ,所以 b ? 3 ? a ? ? 0, 2? ,从而 a, b ? ?1, 2? 由于 AB ? 2 1 ?

b2 a2 b2 a2 , S矩形ABCD ? 4 1 ? , BD ? 2 1 ? ? 1? ? 4 ? b2 ? 4 ? a 2 4 4 4 4
8 ? ? a 2 ? b2 ? 2

因为 4 ? b ? 4 ? a ?
2 2

?

? a ? b? 8?
2 2

2

?

7 4

3 7 ? ?1, 2 ? 时, S矩形ABCD ? 2 4 7 2 答:窗口 ABCD 面积的最大值为 m 4 n 19.(1)由 a1 ? 1, bn ? ,知 a2 ? 4, a3 ? 6, a4 ? 8 2
当且仅当 a ? b ? (2) (方法一)因为 an?1bn ? Sn ? 1 ,所以 a1q bn ?
n

a1 ?1 ? qn ? 1? q
n

?1

? 1 1 ?? 1 ? 1 1 1 qn ? ?? ? ? 所以 q bn ? ,即 bn ? ? ? ? 1 ? q a1 1 ? q ? 1 ? q a1 ? ? q ? 1 ? q
n

? 1 1 ?? 1 ? 1 ? ?? ? 所以存在实数 ? ? ,使得 bn ? ? ? ? 1? q ? 1 ? q a1 ? ? q ?
又因为 bn ? ? ? 0 (否则 ?bn ? 为常数数列与题意不符)

n

所以当 n ? 2 ,

bn ? ? 1 ? ,此时 ?bn ? ?? 为等比数列 bn ?1 ? ? q
1 ,是 ?bn ? ?? 为等比数列; 1? q

所以存在实数 ? ?

(方法二)因为 an?1bn ? Sn ? 1 ① 所以当 n ? 2 时, anbn?1 ? Sn?1 ? 1 ② ①-②得,当 n ? 2 时, an?1bn ? anbn?1 ? an ③ 由③得,当 n ? 2 时, bn ?

an a 1 1 bn?1 ? n ? bn?1 ? an?1 an?1 q q

所以 bn ?

1 1 1? 1 ? ? ? bn?1 ? ? ,又因为 bn ? 1 ? q ? 0 (否则 ?bn ? 为常数数列与题意不符) 1? q q ? 1? q ? 1 ,是 ?bn ? ?? 为等比数列; 1? q

所以存在实数 ? ?

(3)因为 ?bn ? 为公差为 d 的等差数列,所以由③得,当 n ? 2 时, an?1bn ? an ?bn ? d ? ? an 即 ? an?1 ? an ? bn ? ?1 ? d ? an ,因为 ?an ? , ?bn ? 各项均不相等,所以 an?1 ? an ? 0,1 ? d ? 0 所以当 n ? 2 时,

bn an ④ ? 1 ? d an ?1 ? an

当 n ? 3 时,

bn ?1 an ?1 ⑤ ? 1 ? d an ? an ?1

由④-⑤,得当 n ? 3 时 先证充分性:即由 d ? 因为 d ?

an an?1 b ?b d ⑥ ? ? n n?1 ? an?1 ? an an ? an?1 1? d 1? d

1 证明 a2 , a3 ,?, an ,? 成等差数列 2

1 an an ?1 ? ?1 ,由⑥得 2 an?1 ? an an ? an ?1

所以当 n ? 3 时,

an an ?1 ?1 ? an?1 ? an an ? an ?1

又 an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? an ? an?1

即 a2 , a3 ,?, an ,? 成等差数列; 再证必要性:即由 a2 , a3 ,?, an ,? 成等差数列证明 d ?

1 2

因为 a2 , a3 ,?, an ,? 成等差数列,所以当 n ? 3 时, an?1 ? an ? an ? an?1 所以由⑥得,

an an?1 an an?1 d ? ? ? ?1? an?1 ? an an ? an?1 an ? an?1 an ? an?1 1? d

所以 d ?

1 1 ,所以 a2 , a3 ,?, an ,? 成等差数列的充要条件是 d ? . 2 2

20.(1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? xex , f ; ? x ? ? ex ? x ?1? 令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 列表如下:

x
f ' ? x?
f ? x?

? ??, ?1?
+

-1 0 极小值

? ?1, ???
-

?

?
1 ,无极大值; e

所以函数 f ? x ? 的极小值为 f ? ?1? ? ?

(2)①当 a ? 0 时,由于对于任意 x ? ?0,

? ?? ,有 sin x cos x ? 0 ? 2? ?

所以 f ? x ? ? 0 恒成立,当 a ? 0 时,符合题意; ②当 0 ? a ? 1 时,因为 f 所以函数 f ? x ? 在 ? 0,
'

? x? ? ex ? x ?1? ? a cos2x ? e0 ?0 ?1? ? a cos0 ? 1? a ? 0

? ?? 上为增函数,所以 f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,即当 0 ? a ? 1 ,符合题意; ? 2? ?

③当 a ? 1 时, f

'

? 0? ? 1 ? a ? 0 , f ' ? ?
??

? ? 4 ? ? ? e ? ? 1? ? 0 ?4? ?4 ?

??

?

所以存在 ? ? ? 0,

? ?

' ' ? ,使得 f ?? ? ? 0 ,且在 ? 0,? ? 内, f ? x ? ? 0 4?

所以 f ? x ? 在 ? 0,? ? 上为减函数,所以 f ? x ? ? f ? 0? ? 0 即当 a ? 1 时,不符合题意

综上所述, a 的取值范围是 ? ??,1? ; (3)不存在实数 a , 使得函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

? ?

??

由 (2) 知, 当 a ? 1 时, f ? x ? ? 上有两个零点, 2?

在 ? 0,

? ?

??

? ?? ? 上是增函数,且 f ? 0? ? 0 ,故函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上无零点 2? ? 2?

当 a ? 1 时, f ' ? x ? ? ex ? x ?1? ? a cos 2x 令 g ? x ? ? ex ? x ? 1? ? a cos 2x , g ' ? x ? ? ex ? x ? 2? ? 2a sin 2x 当 x ? ? 0,

? ?

??

? ?? ' ? 时,恒有 g ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? 0, ? 上是增函数 2? ? 2?

由 g ? 0 ? ? 1 ? a ? 0, g ? 故 g ? x ? 在 ? 0,

? ? ?? ? 2 ? ? ? e ? ? 1? ? a ? 0 ?2? ?2 ?

?

? ?

??

? ?? ' ? 上存在唯一的零点 x0 ,即方程 f ? x ? ? 0 在 ? 0, ? 上存在唯一解 x0 2? ? 2?
'

且当 x ? ? 0, x0 ? 时, f

? x? ? 0 ,当 x ? ? ? x0 ,
? ? ?

??

' ? , f ? x? ? 0 2?

即函数 f ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 ,

??

? 上单调递增, 2?

当 x ? ? 0, x0 ? 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,即 f ? x ? 在 ? 0, x0 ? 无零点; 当 x ? ? x0 ,

? ?

??
2?

? 时, f ? x0 ? ? f ? 0 ? , f ? ? ?

?? ? ? 2 ?? e ?0 ?2? 2

?

所以 f ? x ? 在 ? x0 ,

??

? 上有唯一零点, 2? ? ?

所以,当 a ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0,

??

? 上有一个零点 2? ? ?

综上所述,不存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

??

? 上有两个零点. 2?

数学 II(附加题)
21.A.因为 ?CAB ? 2?B, AE 为 ?CAB 的平分线,所以 ?CAE ? ?B

又因为 CD 是 ?C 的平分线,所以 ?ECA ? ?DCB 所以 ?ACD ? ?BCD ,所以

AE AC ? ,即 AE ? BC ? BD ? AC BD BC

又因为 ?AED ? ?CAE ? ?ECA, ?ADE ? ?B ? ?DCB 所以 ?AED ? ?ADE ,所以 AD ? AE 所以 AD ? BC ? BD ? AC B.设 P ? x, y ? 是直线 x ? ?2 ? 0 上一点,由 ? 即x? 解得 ?

?1 a ? ? x ? ? x ? ay ? ?? ? ? ? ? ,得 x ? ay ? ? x ? 2 y ? ? b ? 0 ?1 2 ? ? y ? ? x ? 2 y ?

a?2 b a?2 b y ? ? 0 ,由条件得, ? 1, ? ? ?2 2 2 2 2

?a ? 0 ,所以 a ? b ? 4 b ? 4 ?

C.曲线 C 的普通方程为 x ? 3 直线 l 的直角坐标方程为 y ?

?

?

2

? y 2 ? 4 ,表示以

?

3, 0 为圆心,2 为半径的圆

?

3 3 x ,所以圆心到直线的距离为 2 3
2

? 3? 所以线段 AB 的长为 2 4 ? ? . ? 2 ? ? ? 13 ? ?
D.因为 x ? 0, y ? 0, z ? 0 所以 x ? y ? z ? 3xyz
3 3 3

x3 ? y3 ? 1 ? 3xy , y3 ? z 3 ? 1 ? 3 yz , x3 ? z 3 ? 1 ? 3xz
将以上各式相加,得 3x ? 3 y ? 3z ? 3 ? 3xyz ? 3xy ? 3 yz ? 3xz
3 3 3

又因为 xyz ? 1 ,从而 x ? y ? z ? xy ? yz ? xz
3 3 3

22.(1)由题意点 P ?

?3 ? , m ? 到准线的距离为 PO ?4 ?

由抛物线的定义,点 P 到准线的距离为 PF 所以 PO ? PF ,即点 P ? 所以

?3 ? , m ? 在线段 OF 的中垂线上, ?4 ?

p 3 ? , p ? 3 ,所以抛物线的方程为 y 2 ? 6x 4 4

(2)由抛物线的对称性,设点 A ?

3 ?1 2 ? y0 , y0 ? 在 x 轴的上方,所以点 A 的气息的斜率为 y0 ?6 ?

所以点 A 处切线的方程为 y ? y0 ? 令上式中 y ? 0 ,得 x ? ? 所以点 B 的坐标为 ? ?

3? 1 2? ? x ? y0 ? y0 ? 6 ?

1 2 y0 6

? 1 2 ? ? 3 ? ?3 ? y0 , 0 ? ,又 E ? ? , y0 ? , F ? , 0 ? ,所以 ? 6 ? ? 2 ? ?2 ?

??? ? ??? ? ??? ? ?1 2 3 ? ?1 2 3 ? ??? ? FA ? ? y0 ? , y0 ? , BE ? ? y0 ? , y0 ? ,所以 FA ? BE ,所以 FA ? BE ,又 AE ? FB 2 2 ?6 ? ?6 ?
故四边形 AEBF 为平行四边形 再由抛物线的定义,得 AF ? AE ,所以四边形 AEBF 为菱形. 23.(1)若甲、乙比赛 4 局甲获胜,则甲在 4 局比赛中至少胜 3 局
3 4 所以 P ? 2 ? ? C4 ? ? ? C4 ? ? ?

?1? ?2?

4

?1? ? 2?

4

5 16
6

5 ?1? 5?1? 6?1? 同理 P ? 3? ? C ? ? ? C6 ? ? ? C6 ? ? ? ?2? ? 2? ? 2 ? 16
4 6

6

6

(2)在 2 n 局比赛中甲获胜,则甲胜的局数至少为 n ? 1 局 故 P ? n? ? C
n ?1 2n

?1? n?2 ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? ? C2n ? ? ? ? ? C2n ? ? ? 2? ? 2? ? 2?
2n 2n 2n

2n

2n

2n

? ?C

n ?1 2n

?C

n?2 2n

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n ?1 ? 1 ? C2 n?2 所以 P ? n ? 1? ? ?1 ? 2 n ?2 ? 2? 2 ?
n ? 2n ? ! C2 n 2 4 n 2n 4 ? n ? 1? 2 ? n ? 1? 4C2 n n ! n ! 2 又因为 n ?1 ? n ?1 ? ? ? ?1 C2 n ? 2 C2 n? 2 ? 2n ? 2 ? ! ? 2n ? 2 ?? 2n ? 1? 2n ? 1 22 n ? 2 ? n ? 1?!? n ? 1?!
n n ?1 C2 C2 n n?2 ? ,所以 P ? n ? ? P ? n ? 1? 2n 2n?2 2 2

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江苏省南通市2016届高三数学下学期第三次教学情况调研测试试题

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