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专题一 集合和简易逻辑


专题一 集合和简易逻辑 集合部分: 一、知识回顾: 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 3.集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 4.常用数集及其记法: 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集,

Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.

5. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R

? 二、四象限的点集.
?x ? y ? 3

③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集.例: ? ?2 x ? 3 y ? 1 点集与数集的交集是 ? . (例: A ={(x, y)| y =x+1} 6.集合间的基本关系:子集、真子集、集合相等 名称 记号
A? B (或
B ? A)

解的集合{(2,1)}. 则 A∩B = ? )

B={y|y =x2+1}

意义 (1)A ? A (2) ? ? A

性质

示意图

子集

A 中的任一元素 (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C 都属于 B (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B (1) ?? A (A 为非空子集)
?

A(B)

B

A



A?B 真子 集
?

A ? B ,且 B 中

(或 B ? A)
?

B 且 B ? C ,则 A ? C 至少有一元素不 (2)若 A ? ? ? ? 属于 A
A 中的任一元素 都属于 B,B 中 (1)A ? B 的任一元素都属 (2)B ? A 于A

B

A

集合 相等

A? B

A(B)

①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n -1 个. ③n 个元素的非空真子集有 2n-2 个.

7.集合的基本运算:交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 (1) A ? A ? A 交 集
A? B
{x | x ? A, 且 x ? B}

性质

示意图

(2) A ? ? ? ?
A B

(3) A ? B ? A
A? B ? B

(1) A ? A ? A 并 集
A? B
{x | x ? A, 或 x ? B}

(2) A ? ? ? A
A B

(3) A ? B ? A
A? B ? B

补 集

? UA

{x | x ?U , 且x ? A}

A∩CUA=φ, A∪CUA=U

例 1、已知集合 A ? {x ? R | ax2 ? 2x ? 1 ? 0}, a 为实数. (1)若集合 A 是空集,求实数 a 的取值范围; (2)若集合 A 是单元素集,求实数 a 的值; (3)若集合 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围.

例 2、设集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? k ? 0} ,若 M ? N,求 k 的取值范围.

例 3、 已知集合 A ? ?x | 0 ? x ? 3? , B ? ?x | m ? x ? 4 ? m? ,且 B ? A ,求实数 m 的取 值范围.

例 4、设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值.

例 5、 已知集合 A={x|-2≤x≤5},集合 B={x|m+1≤x≤2m-1},且 A∪B=A,试求实数 m 的取值范围.

例 6、 设全集 U={x ? N+|x≤8},若 A∩(CuB)={1,8},(CuA)∩B={2,6},(CuA)∩(CuB)={4,
7},求集合 A,B.

【拓展·变式】 1. 已知集合 A ? {a | 关于 x 的方程
x2 ? 4 ? 1 有唯一解 } ,用列举法表示集合 A . x?a

简易逻辑部分:
1.逻辑联结词 (1)可以判断真假的语句叫命题,命题由_____和______两部分构成. (2)逻辑联结词有___________, 不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题 与逻辑联结词构成的命题叫复合命题;复合命题的三种成形式是 _____________________________ (3)判断复合命题真假的方法:真值表. p 真 真 假 假

q p且q p或q p
非p 2.四种命题及关系

真 ___ ____

假 ___ _____ 真 _____

真 ___ _____ 假 _____

假 ___ ____

3.充要条件 (1)定义:对于“若 p 则 q”形式的命题,如果已知 p?q,那么 p 是 q 的_________,q 是 p 的 __________. 如果既有 p? q,又有 q?p,则记作 p?q,就说 p 是 q 的充分必要条件,简称__________. (2)若 p? q,但 q 若 q?p,但 p p,则 p 是 q 的充分但不必要条件; q,则 p 是 q 的___________________ .

4.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用 “?”表示;含有全称量词的命题叫做全称命题. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量 词,用“?”表示;含有存在量词的命题叫做特称命题.

5.含有一个量词的命题的否定

例 1.(2013·重庆)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为 A.对任意 x∈R,都有 x <0 C.存在 x0∈R,使得 x ≥0
2 0 2

(

)

B.不存在 x∈R,使得 x <0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0

2

例 2 .若命题“ ? x∈R , x2 - mx - m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是 ________. π 个单位得到函数 y = 3 π? π? ? ? ?π ? sin?2x- ?的图象; 命题 q: 函数 y=sin?x+ ?cos? -x?的最小正周期为 π , 3? 6? ? ? ?3 ? 例 3 .命题 p :将函数 y = sin 2x 的图象向右平移 则命题“p∨q”“p∧q”“非 p”为真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.0 ( )

(1)若命题 p:函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题 q: 1 函数 y=x- 的单调递增区间是[1,+∞),则 ( )

x

A.p∧q 是真命题 C 非 p 是真命题

B.p∨q 是假命题 D.非 q 是真命题

(2)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的________条件. 例 4.(1)(2013·山西名校联考)已知 p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+

mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围为
A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2
x

(

)

B.m≤-2 D.-2≤m≤2

(2)已知命题 p:“?x∈[0,1],a≥e ”;命题 q:“?x∈R,使得 x2+4x+a= 0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是__________.

集合和简易逻辑 第I卷
一、选择题 1.设集合 A = {1,2},B = {1,2,3},C = {2,3,4},则(A∩B)∪C = A.{1,2,3} A.x ?A 且 x ?B C.x ?A∩B A.M B.N B.{1,2,4} C.{2,3,4} B.x ?A 或 x ?B D.x ?A∩B ) ) C.{1,4,5} D.{6} ( 2.若命题 p:x∈A∪B,则?p 是 ( ( ) ) D.{1,2,3,4}

3. 定义 A ? B = {x | x?A 且 x?B}, 若 M={1, 2, 3, 4, 5}, N={2, 3, 6}, 则 N ? M 等于( 4.“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为 A.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不是锐角 B.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不都是锐角 C.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不一定是锐角 D.以上都不对

5.设 I 为全集, S1、S 2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S 2 ? S 3 ? I ,则下面论断 正确的是 A. C (S2 ? S3) ?? I S1 ? C. C ) ?? I S1 ? (C I S2 ? C I S3 ( ) B. S1 ? (CI S2 ? CI S3) D. S1 ? (CI S2 ? CI S3)

6 .“若一个数不是负数,则它的平方不是正数.”和这个命题真值相同的命题为 A.“若一个数是负数,则它的平方是正数.” B.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数.” C.“若一个数的平方是正数,则它是负数.” D.“若一个数不是负数,则它的平方是非负数.” 7.若非空集 S ? {1,2,3,4,5},且若 a∈S,必有(6-a)∈S,则所有满足上述条件的 集合 S 共有( )A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 ) 8. 命题 “若△ABC 不是等腰三角形, 则它的任何两个内角不相等. ” 的逆否命题是( A.“若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等” B.“若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形” C.“若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形” D.“若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形”

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分把答案填在题中横线上) 9.命题“若 a ? b, 则2 ? 2 ? 1”的否命题为
a b



10.用“充分、必要、充要”填空: ①p 或 q 为真命题是 p 且 q 为真命题的______条件.

②非 p 为假命题是 p 或 q 为真命题的______条件. ③A:|x-2 |<3, B:x2-4x-15<0, 则 A 是 B 的_____条件; 5 ? 11.已知集合 M ? ?x || x ? 1 |? 2, x ? R? , P ? ? ? 1, x ? Z ? ,则 M ? P ?x | x ? 1 ? ? = 的条件是___ ; ____.
2

12.设集合 A= {x|x2+x-6=0},B={x|mx+1= 0},则 B 是 A 的真子集的一个充分不必要

m }. 13. 已知集合 A= { -1, 3, 2 m -1 } , 集合 B= { 3, 若 B ? A, 则实数 m =
{2,3},则集合 A⊙B 的所有元素之和为 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 12 分) 设集合 P ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, Q ? {x | x ? a ? 0} , (1) 若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围; (2) 若 P ? Q ? {x | 0 ? x ? 3} ,求实数 a 的值. .



14.定义集合运算:A⊙B={z | z= xy(x+y),z∈A,y∈B},设集合 A={0,1},B=

16.(本小题满分 13 分)已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ; q : x2 ? 2x ? 1 ? 0(m ? 0) 若?p 是?q 的必 3

要非充分条件,求实数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 13 分) 已知全集为 R, A ? ? x | log 1 (3 ? x) ? ?2 ? , B ? ? x |

? ?

? ?

2

? ?

5 ? ? 1? , 求?R A ? B . x?2 ?

18.(本小题满分 14 分) 设 a, b ? Z , E ?

?1, 0? ? E , ? 3, 2? ? E ,求 a, b 的值.

?? x, y ? ? x ? a? ? 3b ? 6 y? ,点 ?2,1? ? E ,但
2

19. (本小题满分 14 分) 已知 A={x| ?2 ? x ? a}, B={y | y = 2x + 3, x?A}, M={z | z = x2, x ?A}, 且 M? B,求实数 a 的取值范围.


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