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高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.5知识点总结含同步练习及答案

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高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念

一、学习任务 1. 通过实例(如求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助 几何直观体会定积分的基本思想. 2. 会求简单的定积分. 3. 掌握定积分的概念及几何意义的简单应用. 4. 直观了解微积分基本定理的含

义.

二、知识清单
定积分的概念与计算

三、知识讲解
1.定积分的概念与计算 描述: 定积分定义与性质
如果函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点
a = x 0 < x 1 < ? < x i?1 < x i < ? < x n = b

将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间 [x i?1 , x i ] 上任取一点 ξi (i = 1,2 ,?,n ),作和式
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n

b?a f (ξi ), n

当 n → ∞ 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分(definite integral),记作
b ∫ a f (x)dx,即



b a

f (x)dx = lim ∑
n→∞ i=1

n

b?a f (ξi ), n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 [a, b] 叫做积分区间,函数 f (x) 叫做被积函数,x 叫做积分变量,f (x)dx 叫做被积式. 从几何上看,如果在区间 [a, b] 上函数 f (x) 连续且恒有 f (x) ? 0,那么定积分 ∫ ab f (x)dx 表示由直线 x = a,x = b (a ≠ b) ,
y = 0 和曲线 y = f (x) 所围成的曲边梯形(如下图)的面积.这就是定积分 ∫ ab f (x)dx 的几何意义.

由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质: (1)∫ ab kf (x)dx = k ∫ ab f (x)dx(k 为常数); (2)∫ ab [f 1 (x) ± f 2 (x)]dx = ∫ ab f 1 (x)dx ± ∫ ab f 2 (x)dx; 微积分基本定理 一般地,如果 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数,并且 F ′ (x) = f (x),那么

b a

(3)∫ ab f (x)dx = ∫ ac f (x)dx + ∫ cb f (x)dx(其中 a < c < b ).

f (x)dx = F (b) ? F (a).

这个结论叫做微积分基本定理(fundamental theorem of calculus),又叫做牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Lelbniz formula). 其中 F (x) 叫做 f (x) 的一个原函数,由于 [F (x) + c] ′ = f (x),所以 F (x) + c 也是 f (x) 的原函数,其中 c 为常数.为了方 便,我们常常把 F (b) ? F (a) 记成 F (x)| b a ,即

b a

f (x)dx = F (x)| b a = F (b) ? F (a).

例题: 利用定积分定义计算: (1)∫ 12 (1 + x)dx;(2)∫ 01 xdx. 解:(1)因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续,将区间 [1, 2] 分成 n 等份,则每个区间的长度为

Δx i =
于是

1 i?1 i i?1 ,在 [xi?1 , xi ] = [1 + (i = 1 ,2 ,3 ,?,n), , 1 + ] 上取 ξi = xi?1 = 1 + n n n n f (ξi ) = f (xi?1 ) = 1 + 1 + i?1 i?1 =2+ , n n

从而

∑ f (ξi )Δxi = ∑ (2 +
i=1

n

n

2 i?1 + ) n n2 i=1 2 1 = ?n+ [0 + 1 + 2 + ? + (n ? 1)] n n2 1 n(n ? 1) = 2+ ? 2 n2 n?1 = 2+ , 2n = ∑(

i=1 n

i?1 1 )? n n

所以



2 1

(1 + x)dx = lim ∑ (2 +
n→∞ i=1

n

n?1 1 5 ) =2+ = . 2n 2 2 i?1 i , ] (i = 1 ,2 ,3 , n n

(2)①分割:将区间 [0, 1] 分为 n 等份,形成 n 个小区间 [x i , x i?1 ] = [

1 ?,n),且每个小区间的长度为 Δx = . n i ②近似代替:取 ξ i = (i = 1 ,2 ,3 ,?,n),则 n ∫
1 0

n n i i 1 1 n 1 n(n + 1) n+1 xdx ≈ S n = ∑ f ( ) Δx = ∑ ? = = . ∑i = 2 ? 2 n n n 2 2n n i=1 n i=1 i=1

③取极限:


利用定积分的几何意义求:

1 0

xdx = lim S n = lim
n→∞

n→∞

n+1 1 = . 2n 2

(1)∫ 02 (2x + 1)dx;(2)∫ 02 √4 ? x2 dx . 解:(1)如图所示,所求的定积分为阴影部分的面积,而面积为
2 ∫ 0 (2x + 1)dx = 6.

? ? ? ? ?

1 × (1 + 5) × 2 = 6,所以 2

∫ 0 (2x + 1)dx = 6

(2)如图所示,所求的定积分为阴影部分的面积,阴影部分的面积为圆的面积的

? ? ? ? 2 ? ∫ 0 √4 ? x2 dx = π.

1 ,即 4

计算下列定积分: (1)∫ 13 (1 + x + x2 )dx;(2)∫ 1e 解:(1)
3 1

π 2 dx;(3)∫ 0 2 (sin x ? cos x)dx. x



(1 + x + x2 ) = ∫

3 1

1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 2 1 = (3 ? 1) + (3 ? 1 2 ) + (3 3 ? 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +

1dx + ∫

3 1

xdx + ∫

3 1

x 2 dx

(2)



e 1

2 dx = 2 ln x| e 1 x = 2 ln e ? 2 ln 1 = 2.

(3)



π 2

0

(sin x ? cos x)dx = (? cos x ? sin x)| 02 = (? cos = 0.

π

π π ? sin ) ? (? cos 0 ? sin 0) 2 2

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 下列等于 1 的积分是 ( A. ∫
1 0 0 1

)
B. ∫
1 0 0 1

xdx 1dx
1 0

(x + 1)dx 1 dx 2

C. ∫

D. ∫

答案: C 解析:



∣1 1dx = x ∣ = 1 . ∣0

2. 下列式子正确的有 ( ① ② ③ ④
b ∫a b ∫a b ∫a b ∫a

). f (x) dx ( k 为常数);
b b

kf (x) dx =

[f 1 (x) + f 2 (x) dx] = ∫ ab f 1 (x) dx + ∫ ab f 2 (x)dx ; [f 1 (x) ? f 2 (x)]dx = ∫ a f 1 (x)dx ? ∫ a f 2 (x) dx ;
B.①②③

k ∫ ab

f (x) dx = ∫ ac f (x) dx + ∫ cb f (x) dx (其中 a < c < b ).
C.①②③④ D.①②④

A.②③④
答案: C

3. 求由抛物线 y = 2x 2 与直线 x = 0,x = t (t > 0),y = 0 所围成的曲边梯形的面积时,将区间 [0, t] 等分成 n 个 小区间,则第 i ? 1 个区间为 (

) i i+1 , ] n n t (i ? 2) t (i ? 1) D.[ , ] n n
B.[

i?1 i , ] n n t (i ? 1) ti C.[ , ] n n
A.[
答案: D

4. 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为 (

).

C. A.∫
d a

D.

f (x) dx

B.∣∫

∣ ∣

d a

∣ f (x) dx∣ ∣



b a

f (x) dx + ∫

c b

f (x) dx + f x( )x d )x d? x∫ ∫∫ f(
a c

b d

c b

f (x) dx + ∫

d c

f (x) dx

答案: D

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