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2015高考试题——数学(江苏卷)Word版含答案


数学Ⅰ试题
参考公式 圆柱的体积公式: V圆柱 =Sh,其中 S 是圆柱的底面积,h 为高。 圆锥的体积公式: V圆锥

1 Sh,其中 S 是圆锥的底面积,h 为高。 3

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。

2 3? , B ? ?2,, 4

5? ,则集合 A 1.已知集合 A ? ?1,,

B 中元素的个数为_______.

2.已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 3.设复数 z 满足 z 2 ? 3 ? 4i (i 是虚数单位) ,则 z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为________.

5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机 摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量 a = (2,1) ,b = (1, -2) , 若 ma ? nb = (9, -8) (m, n ? R) , 则 m-n 的值为______. 7.不等式 2
x2 ? x

v

v

v

v

? 4 的解集为________.
1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

8.已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ?

9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个, 则 新的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R ) 相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。

11. 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , 且 an ?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N * ) ,则数列 { 为 。
2 2

1 } 前 10 项 的 和 an

12.在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。若点 P 到直线

x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为



13.已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ? 数为 。

? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 实根的个 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1
12

14. 设 向 量 ak ? (cos 为 。

k? k? k? , sin ? cos )(k ? 0,1,2,? ,12) , 则 6 6 6

? (a
k ?0

k

? ak ?1 ) 的 值

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡制定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 14 分) 在 V ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60 .
o

(1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值。 16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AC ? BC , BC ? CC1 . 设 AB1 的中点为 D ,

B1C ? BC1 ? E .
求证: (1) DE / / 平面AA1CC1 (2) BC1 ? AB1

17.(本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一条连

l2 ,山区边界曲线为 C, 接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 的距离分别为 5 计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 所在的直线分别为 千米和 40 千米,点 N 到 l 1,

x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y ? 模型.

a (其中 a,b 为常数) x ?b
2

(I)求 a,b 的值; (II)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度. 18.(本小题满分 16 分)

x2 y 2 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右 a b 2
焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程. 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R ) 。
3 2

(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是与 a 无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取 值范围恰好是 (??,?3) ? (1, ) ? ( ,??) ,求 c 的值。

3 2

3 2

20.设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 2 , a33 , a4 4 依次构成等比数列?并说明理由; (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1n , a2 n ? k , a3n ? 2 k , a4 n ?3k 依次构成等比数列?并说明 理由。
a a a a

数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共计 70 分.

1.2 6.-3

2.6 7.

3.

5

4.7 8.3

5 5. 6
9. 7

(或(-1,2)) ?x︱-1<x<2?
20 11
2 2

2 2 10. ( x ? 1) ? y ? 2

11.

12.

13.4

14. 9 3

二、解答题 15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函数关系与二倍角公式,考查运算求解 能力.满分 14 分。 解: (1)由余弦定理知, ?C ? ?? ? ?C ? 2?? ? ?C ? cos ? ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ?
2 2 2

1 ? 7, 2

所以 ?C ?

7.

(2)由正弦定理知,

?? ?C ?? 2sin 60 21 ? ,所以 sin C ? . ? sin ? ? ? sin C sin ? ?C 7 7
3 2 7 . ? 7 7

因为 ?? ? ?C ,所以 C 为锐角,则 cos C ? 1 ? sin 2 C ? 1 ?

因此 sin 2C ? 2sin C ? cos C ? 2 ?

21 2 7 4 3 . ? ? 7 7 7

16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能 力和推理论证能力.满分 14 分。

(1)由题意知, ? 为 ?1C 的中点, 证明: 又 D 为 ??1 的中点,因此 D? //?C . 又因为 D? ? 平面 ??1C1C , ?C ? 平面 ??1C1C , 所以 D? // 平面 ??1C1C . (2)因为棱柱 ??C ? ?1?1C1 是直三棱柱, 所以 CC1 ? 平面 ??C . 因为 ?C ? 平面 ??C ,所以 ?C ? CC1 . 又因为 ?C ? ?C , CC1 ? 平面 ?CC1?1 , ?C ? 平面 ?CC1?1 , ?C 所以 ?C ? 平面 ?CC1?1 . 又因为 ?C1 ? 平面 ?CC1?1 ,所以 ?1C ? ?C . 因为 ?C ? CC1 ,所以矩形 ?CC1?1 是正方形,因此 ?C1 ? ?1C . 因为 ?C , ?1C ? 平面 ?1?C , ?C

CC1 ? C ,

?1C ? C ,所以 ?C1 ? 平面 ?1?C .

又因为 ??1 ? 平面 ?1?C ,所以 ?C1 ? ??1 . 17. 本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知 识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分. 解: (1)由题意知,点 ? , ? 的坐标分别为 ? 5, 40 ? , ? 20, 2.5 ? .

? a ? 40 ? a ? 25 ? b 将其分别代入 y ? 2 ,得 ? , x ?b ? a ? 2.5 ? 400 ? b ?
解得 ?

?a ? 1000 . ?b ? 0

(2)①由(1)知, y ?

1000 ? 1000 ? ( 5 ? x ? 20 ) ,则点 ? 的坐标为 ? t , 2 ? , 2 x ? t ?

设在点 ? 处的切线 l 交 x , y 轴分别于 ? , ? 点, y? ? ?

2000 , x3

则 l 的方程为 y ?

1000 2000 ? 3t ? ? 3000 ? ? ? 3 ? x ? t ? ,由此得 ? ? , 0 ? , ? ? 0, 2 ? . 2 t ? t t ?2 ? ?
2 2

3 2 4 ?106 t ? 5, 20 ? 3t ? ? 3000 ? 故 f ?t ? ? ? ? ? ? 2 ? ? , ? ?. t ? 2 t4 ?2? ? t ?
②设 g ? t ? ? t 2 ?

4 ?106 16 ?106 ? ,则 .令 g ? ? t ? ? 0 ,解得 t ? 10 2 . g ? t ? ? 2t ? t4 t5

? 当 t ? ?10

当 t ? 5,10 2 时, g ? ? t ? ? 0 , g ? t ? 是减函数;

?

2, 20 时, g ? ? t ? ? 0 , g ? t ? 是增函数.

?

从而,当 t ? 10 2 时,函数 g ? t ? 有极小值,也是最小值,所以 g ? t ?min ? 300 , 此时 f ? t ?min ? 15 3 . 答:当 t ? 10 2 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3 千米. 18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆的 位置关系等基础知识,考查分析问题及运算求解能力.满分 16 分. (1)由题意,得

a2 c 2 且c ? ? 3, ? c a 2

解得 a ?

2 , c ? 1 ,则 b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 2 所以椭圆的标准方程为 .
(2)当 ?? ? x 轴时, ?? ?

2 ,又 C? ? 3 ,不合题意.

当 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 ?? 的方程为 y ? k ? x ? 1? , ? ? x1 , y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 将 ?? 的方程代入椭圆方程,得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,

则x

1,2

?

2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
2

, C 的坐标为 ?

? 2k 2 ?k ? , 2 2 ? ,且 ? 1 ? 2k 1 ? 2k ?

?? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

2

?

?1 ? k ? ? x
2

2

? x1 ? ?
2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



若 k ? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k ? 0 ,故直线 ?C 的方程为 y ?

k 1? 2k 2 ? ? ? x ? ? ?, 1 ? 2k 2 k? 1 ? 2k 2 ?

? 2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 5k 2 ? 2 ? ? ? 则 ? 点的坐标为 ?2, ,从而 ?C ? . 2 2 ? ? k 1 ? 2 k k 1 ? 2 k ? ? ? ? ? ?
因为 ?C ? 2 ?? ,所以

2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 k ?1 ? 2k 2 ?

?

4 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

,解得 k ? ?1 .

此时直线 ?? 方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .

19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学 思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分 16 分。
2 解: (1) f ? ? x ? ? 3 x ? 2ax ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ?

2a . 3

2 当 a ? 0 时,因为 f ? ? x ? ? 3 x ? 0 ( x ? 0 ) ,所以函数 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上单调递增;

当 a ? 0 时, x ? ? ??, ?

? ?

2a ? ? 3 ?

? 0, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ? ??

2a ? , 0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , ? 3 ?

所以函数 f ? x ? 在 ? ??, ? 当 a ? 0 时, x ? ? ??, 0 ?

? ?

2a ? ? 2a ? ? , ? 0, ?? ? 上单调递增,在 ? ? , 0 ? 上单调递减; 3 ? ? 3 ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ? 0, ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 3 ? ? 3 ? ? 2a ? ? 2a ? ? , ?? ? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调递减. 3 ? ? 3 ? ? ? 2a ? 4 3 a ? b ,则函数 f ? x ? ?? ? 3 ? 27

所以函数 f ? x ? 在 ? ??, 0 ? , ? ?

(2) 由(1)知,函数 f ? x ? 的两个极值为 f ? 0 ? ? b , f ? ? 有三个

?a ? 0 ? ? 2a ? ? 4 3 ? 零点等价于 f ? 0 ? ? f ? ? 或 ? ? b ? a ? b ? ? 0 ,从而 ? 4 3 ? a ?b?0 ? 3 ? ? 27 ? ? ? 27 ?a ? 0 ? . 4 ? 0 ? b ? ? a3 ? 27 ?

又 b ? c ? a ,所以当 a ? 0 时,

4 3 4 a ? a ? c ? 0 或当 a ? 0 时, a 3 ? a ? c ? 0 . 27 27

设 g ?a? ?

4 3 a ? a ? c ,因为函数 f ? x ? 有三个零点时, a 的取值范围恰好是 27

? ??, ?3?

? 3? ?3 ? ? 3? ?3 ? ?1, ? ? , ?? ? ,则在 ? ??, ?3? 上 g ? a ? ? 0 ,且在 ?1, ? ? , ?? ? 上 ? 2? ?2 ? ? 2? ?2 ?

g ? a ? ? 0 均恒成立,
从而 g ? ?3? ? c ? 1 ? 0 ,且 g ?
3 2

?3? ? ? c ? 1 ? 0 ,因此 c ? 1 . ?2?
2

此时, f ? x ? ? x ? ax ? 1 ? a ? ? x ? 1? ? ? x ? ? a ? 1? x ? 1 ? a ? ?,
2 因函数有三个零点,则 x ? ? a ? 1? x ? 1 ? a ? 0 有两个异于 ?1 的不等实根,

所以 ? ? ? a ? 1? ? 4 ?1 ? a ? ? a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ,且 ? ?1? ? ? a ? 1? ? 1 ? a ? 0 ,
2 2

解得 a ? ? ??, ?3? 综上 c ? 1 .

? 3? ?3 ? ?1, ? ? , ?? ? . ? 2? ?2 ?

20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数 推理、转化与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力.满分 16 分. 解: (1)证明:因为

2an?1 ? 2an?1 ? an ? 2d ( n ? 1 , 2 , 3 )是同一个常数, an 2

所以 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 依次构成等比数列. (2) 令 a1 ? d ? a , 则 a1 ,a2 ,a3 ,a4 分别为 a ? d ,a ,a ? d ,a ? 2d( a ? d ,a ? ?2d , . d ? 0) 假设存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列, 则 a ? ? a ? d ?? a ? d ? ,且 ? a ? d ? ? a
4 3 6 2

2

3

4

? a ? 2d ?

4



令t ?

d 1 3 6 4 ,则 1 ? ?1 ? t ??1 ? t ? ,且 ?1 ? t ? ? ?1 ? 2t ? ( ? ? t ? 1 , t ? 0 ) , a 2

化简得 t 3 ? 2t 2 ? 2 ? 0 ( ? ) ,且 t 2 ? t ? 1 .将 t 2 ? t ? 1 代入( ? )式,

t ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1? ? 2 ? t 2 ? 3t ? t ? 1 ? 3t ? 4t ? 1 ? 0 ,则 t ? ?

1 . 4

显然 t ? ?

1 不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立, 4
2 3 4

因此不存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列. (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2 则 a1n ? a1 ? 2d ?
n?2k

n

n?k

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列,
2? n ? 2 k ?

? ? a1 ? d ?

2? n ? k ?

,且 ? a1 ? d ? 及 a1
n?k
2? n ? 2 k ?

n?k

? a1 ? 3d ?

n ?3k

? ? a1 ? 2d ?



分别在两个等式的两边同除以 a1 则 ?1 ? 2t ?
n?2k

2? n ? k ?

,并令 t ?
n ?3k

d 1 (t ? ? ,t ? 0) , a1 3
2? n ? 2 k ?

? ?1 ? t ?

2? n ? k ?

,且 ?1 ? t ?

?1 ? 3t ?

? ?1 ? 2t ?



将上述两个等式两边取对数,得 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? ? 2 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? , 且 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? ? ? n ? 3k ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? . 化简得 2k ? ?ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ? 2 ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 2t ? ? ?, 且 3k ? ?ln ?1 ? 3t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ?3ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ? ?. 再将这两式相除,化简得 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ? 4 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ( ?? ) . 令 g ? t ? ? 4 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2 2 ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ? ? ?. 则 g? ?t ? ? ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

令 ? ? t ? ? ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2

则 ?? ?t ? ? 6 ? ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ? ?.

? ?t ? ? 6 ? 令 ?1 ? t ? ? ? ? ? t ? ,则 ?1 ?3ln ?1 ? 3t ? ? 4 ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ?.
? ?t ? ? ? ? t ? ,则 ?2 令 ? 2 ? t ? ? ?1 12 ?0 ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ? .

? ?t ? ? 0 , 由 g ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? 2 ? 0 ? ? 0 , ? 2

知 ? 2 ? t ? , ?1 ? t ? , ? ? t ? , g ? t ? 在 ? ? , 0 ? 和 ? 0, ?? ? 上均单调. 故 g ? t ? 只有唯一零点 t ? 0 ,即方程( ?? )只有唯一解 t ? 0 ,故假设不成立. 所以不存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2
n n?k

? 1 ? 3

? ?

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列.

数学Ⅱ(附加题)
21、(选做题)本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答, 若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A、 ? 选修 4-1:几何证明选讲 求证: ?ABD : ?AEB

? (本小题满分 10 分)

如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , ?ABC 的外接圆 e O 的弦 AE 交 BC 于点 D

B、 ? 选修 4-2:矩阵与变换

? (本小题满分 10 分)

已知 x, y ? R ,向量 ? ? ?

? x 1? ?1? 是矩阵 A ? ? ? 的属于特征值 ? 2 的一个特征向量,求矩 ? ?? 1? ? y 0?

阵 A 以及它的另一个特征值。 C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2 ? sin(? ?

?
4

) ? 4 ? 0 ,求圆 C 的半径.

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 解不等式 x ? | 2 x ? 3 |? 3 22.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯形,

?ABC ? ?BAD ?

?
2

, PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长

23.(本小题满分 10 分) 已知集合 X ? {1, 2,3}, Yn ? {1, 2,3,....., n}( n ? N * ) ,设

S n ? {(a, b) | a整除b或b除a, a ? X , b ? Yn } ,令 f (n) 表示集合 S n 所含元素的个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f (n) 的表达式,并用数学归纳法证明。

21.[选做题] A.(选修 4—1:几何证明选讲) 本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分。

证明:因为 ?? ? ?C ,所以 ???D ? ?C . 又因为 ?C ? ?? ,所以 ???D ? ?? , 又 ???? 为公共角,可知 ???D ∽ ???? . A

O B E (第 21——A 题) B[选修 4—2:矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识,考查运算求解能力 .满分 10 分。 解:由已知,得 ?? ? ?2? ,即 ? D C

? x 1 ? ? 1 ? ? x ? 1? ? ?2 ? ?? ? ? ? ? ?? ?, ? y 0 ? ? ?1? ? y ? ? 2 ?

则?

? x ? 1 ? ?2 ? x ? ?1 ? ?1 1 ? ,即 ? ,所以矩阵 ? ? ? ?. ?y ? 2 ?y ? 2 ? 2 0?

从而矩阵 ? 的特征多项式 f ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? 1? ,所以矩阵 ? 的另一个特征值为 1 . C[选修 4—4:坐标系与参数方程] 本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等知识,考查运算求解能力.满 分 10 分。 解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ? ,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐 标系 x?y . 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 ? ? ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? ??4 ? 0, ? ?
2

? 2

2

?

化简,得 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? 0 . 则圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 4 ? 0 , 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 6 ,所以圆 C 的半径为 6 .
2 2

D[选修 4—5:不等式选讲] 本小题主要考查含绝对值不等式的解法,考查分类讨论的能力。满分 10 分。

3 3 ? ? ?x ? ? ?x ? ? 2 2 ? ? ? ? ? x ? 3 ? 2 3 x ? 3 ? 2. 解:原不等式可化为 ? 或?
解得 x ? ?5 或 x ? ?

1 . 3
? ? 1? 3?

综上,原不等式的解集是 ? x x ? ?5或x ? ? ? . 22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识,考查运用 空间向量解决问题的能力.满分 10 分。 解:以 ??, ?D, ?? 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ? ? xyz , 则各点的坐标为 ? ?1, 0, 0 ? , C ?1,1, 0 ? , D ? 0, 2, 0 ? , ? ? 0, 0, 2 ? . (1)因为 ?D ? 平面 ??? ,所以 ?D 是平面 ??? 的一个法向量, ?D ? ? 0, 2, 0 ? . 因为 ?C ? ?1,1, ?2 ? , ?D ? ? 0, 2, ?2 ? . 设平面 ?CD 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,则 m ? ?C ? 0 , m ? ?D ? 0 ,即 ? 令 y ? 1 ,解得 z ? 1 , x ? 1 . 所以 m ? ?1,1,1? 是平面 ?CD 的一个法向量. 从而 cos ?D, m ?

?

?

?x ? y ? 2z ? 0 . ?2 y ? 2 z ? 0

?D ? m ?D m

?

3 ,所以平面 ??? 与平面 ?CD 所成二面角的余弦值为 3

3 . 3
(2)因为 ?? ? ? ?1, 0, 2 ? ,设 ?Q ? ? ?? ? ? ?? , 0, 2? ? ( 0 ? ? ? 1 ) , 又 C? ? ? 0, ?1, 0 ? ,则 CQ ? C? ? ?Q ? ? ?? , ?1, 2? ? ,又 D? ? ? 0, ?2, 2 ? , 从而 cos CQ, D? ?

CQ ? D? CQ D?

?

1 ? 2? 10? 2 ? 2



设 1 ? 2? ? t , t ? ?1,3? ,则

cos 2 CQ, D? ?

2t 2 2 9 ? ? 2 2 5t ? 10t ? 9 ? 1 5 ? 20 10 . 9? ? ? ? 9 ?t 9?

当且仅当 t ?

9 2 3 10 ,即 ? ? 时, cos CQ, D? 的最大值为 . 5 5 10
? ?? ? 上是减函数,此时直线 CQ 与 D? 所成角取得最小值. ? 2?
5 ,所以 ?Q ?

因为 y ? cos x 在 ? 0,

又因为 ?? ? 12 ? 22 ?

2 2 5 . ?? ? 5 5

23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识,考查探究能力及运用数学 归纳法的推理论证能力,满分 10 分。 解: (1) f ? 6 ? ? 13 .

? ?n n? ?n ? 2 ? ? 2 ? 3 ? , n ? 6t ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 1 3 ? ? 2 ? ? ?n n?2? ?n ? 2 ? ? ? ? , n ? 6t ? 2 3 ? ? ?2 (2)当 n ? 6 时, f ? n ? ? ? ( t ? ?? ) . n ? 1 n ? ?n ? 2 ? ? ? ? , n ? 6t ? 3 ? ? 3? ? 2 ? ?n ? 2 ? ? n ? n ? 1 ? , n ? 6t ? 4 ? ? ? 3 ? ?2 ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? , n ? 6t ? 5 ? ? ? 3 ? ? 2 ?
下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 6 时, f ? 6 ? ? 6 ? 2 ?

6 6 ? ? 13 ,结论成立; 2 3

②假设 n ? k ( k ? 6 )时结论成立,那么 n ? k ? 1 时, S k ?1 在 S k 的基础上新增加的元素在

?1, k ? 1? , ? 2, k ? 1? , ? 3, k ? 1? 中产生,分以下情形讨论:
1) 若 k ? 1 ? 6t , 则 k ? 6 ? t ? 1? ? 5 , 此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 3 ? k ? 2 ?

k ?1 k ? 2 ? ?3 2 3

? ? k ? 1? ? 2 ?

k ?1 k ?1 ? ,结论成立; 2 3 k k ? ?1 2 3

2)若 k ? 1 ? 6t ? 1 ,则 k ? 6t ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 1 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

? k ? 1? ? 1 ? ? k ? 1? ? 1 ,结论成立;
2 3

3)若 k ? 1 ? 6t ? 2 ,则 k ? 6t ? 1 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

k ?1 k ?1 ? ?2 2 3

? ? k ? 1? ? 2 ?

k ? 1 ? k ? 1? ? 2 ,结论成立; ? 2 3

4)若 k ? 1 ? 6t ? 3 ,则 k ? 6t ? 2 ,此时有

f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?
? ? k ? 1? ? 2 ?

k k ?2 ? ?2 2 3

? k ? 1? ? 1 ? k ? 1 ,结论成立;
2 3

5)若 k ? 1 ? 6t ? 4 ,则 k ? 6t ? 3 ,此时有

f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?
? ? k ? 1? ? 2 ?

k ?1 k ? ?2 2 3

k ? 1 ? k ? 1? ? 1 ,结论成立; ? 2 3

6)若 k ? 1 ? 6t ? 5 ,则 k ? 6t ? 4 ,此时有

f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 1 ? k ? 2 ?
? ? k ? 1? ? 2 ?

k k ?1 ? ?1 2 3

? k ? 1? ? 1 ? ? k ? 1? ? 2 ,结论成立.
2 3

综上所述,结论对满足 n ? 6 的自然数 n 均成立.


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