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【三维设计】2013版高中数学 第1部分 第二章 阶段质量检测 新人教A版必修1


第 1 部分

第二章 阶段质量检测

(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

b ?1? 1.若 log2a<0,? ? >1,则( ?2?
A.a>1,b>0 C

.0<a<1,b>0 解析:∵log2a<0,∴0<a<1.

) B.a>1,b<0 D.0<a<1,b<0

b ?1? 又? ? >1,∴b<0. ?2?
答案:D
? ?1 x+1 ? 2.已知集合 M={0,1},P=?x? <3 <9,x∈Z?,则 M∩P=( ?3 ? ?

)

A.{-1,0} C.{0} 1 x+1 解析:∵ <3 <9, 3 ∴-1<x+1<2,∴-2<x<1,

B.{1} D.{0,1}

则 P={-1,0},故 M∩P={0}. 答案:C 3.下列函数在(0,+∞)上是增函数并且是定义域上的偶函数的是( 2 A.y=x3 C.y=ln x 1 x B.y=( ) 2 D.y=x +2x+3
2

)

1 x 2 解析:y=( ) 在(0,+∞)上是减函数,故 B 项不正确.y=ln x 与 y=x +2x+3 都是 2 非奇非偶函数,故 C、D 不正确. 答案:A
? ?log2x,x>0, 4.已知函数 f(x)=? x ?2 ,x≤0. ?

1

1 若 f(a)= ,则实数 a=( 2 A.-1 C.-1 或 2

) B. 2 D.1 或- 2

1 解析:由 log2a= 得 a= 2>0,合适; 2 1 1 a 由 2 = 得 a=log2 =-1<0,合适, 2 2 故 a=-1 或 2. 答案:C 5.某函数同时具有以下性质:①图象过点(0,1);②在区间(0,+∞)上是减函数;③ 是偶函数.此函数可能是( A.f(x)=log2|x| C.f(x)=2
|x|

) 1 |x| B.f(x)=( ) π 1 D.f(x)=x2

1 |x| 解析:f(x)=( ) 的定义域为 R, π

f(-x)=( )|-x|=( )|x|=f(x),
1 0 且 f(0)=( ) =1. π 1 x 当 x>0 时,f(x)=( ) 在(0,+∞)以上为减函数. π ∴B 满足条件. 答案:B 6.若 0<a<1,且 logba<1,则( A.0<b<a C.0<a<b<1 )

1 π

1 π

B.0<a<b D.0<b<a 或 b>1

解析:当 b>1 时,logba<1=logbb. ∴a<b,即 b>1 成立. 当 0<b<1 时,logba<1=logbb,0<b<a<1, 即 0<b<a. 答案:D 7.某种放射性元素,100 年后只剩原来的一半.现有这种元素 1 克,3 年后剩下( A.0.015 克 B.(1-0.5%) 克
2
3

)

C.0.925 克

D.

100
x

0.125克

解析:设该放射性元素满足 y=a (a>0,且 a≠1), 1 1 100 1 则有 =a ,得 a=( )100. 2 2 可得放射性元素的质量满足 1 x 1 1 y=[( )100]x=( )100. 2 2 3 100 1 1 3 100 当 x=3 时,y=( )100= ( )= 0.125. 2 2 答案:D
?3 ,x≤0, ? 1 8.已知函数 f(x)=? 则 f[f( )]的值是( 2 ? ?log2x,x>0,
x

)

A.-3 C. 1 3

B.3 1 D.- 3

1 1 1 1 -1 解析:f( )=log2 =-1,f[f( )]=f(-1)=3 = . 2 2 2 3 答案:C 9.三个数 a=7 ,b=0.3 ,c=ln 0.3 的大小关系是( A.a>b>c C.b>a>c
0.3 7 0.3 7

)

B.a>c>b D.c>a>b

解析:a=7 >1,0<b=0.3 <1,c=ln 0.3<0, ∴a>b>c. 答案:A 10.定义运算 a⊕b=?
? ?a, ? ?b,

a≤b, a>b,

则函数 f(x)=1⊕2 的图象是(

x

)

? x≤0, ?2 , x 解析:据题意 f(x)=1⊕2 =? ?1, x>0. ?

x

3

答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 4-x 11.函数 f(x)= 的定义域为________. lg(x-2)

?4-x≥0, ?x≤4, ? ? 解析:?x-2>0,? ?x>2, ?x-2≠1 ?x≠3 ? ?
? {x|2<x≤4,且 x≠3}. 答案:{x|2<x≤4,且 x≠3} 12.函数 f(x)=a
x-2 011

+2 011 的图象一定过点 P,则 P 点的坐标是________.

解析:当 x-2 011=0,即 x=2 011 时,

f(x)=a0+2 011=2 012,
∴定点 P 的坐标为(2 011,2 012). 答案:(2 011,2 012) 13.指数函数 f(x)=a 的图象经过点(2,4),则 f(-3)的值是________. 解析:由 f(x)=a 的图象过点(2,4)可得 a=2, 1 所以 f(-3)= . 8 1 答案: 8 14.若 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg 2+lg x+lg y,则 =________. 解析:lg(x-y)(x+2y)=lg 2xy
x x

x y

?x+2y>0, ? ? ?x>0, ?y>0,y)(x+2y)=2xy, ?(x-
x-y>0,
?x>y>0, ? ∴? ? ?(x-2y)(x+y)=0.

∴x=2y,即 =2. 答案:2 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

x y

4

步骤) 15.(本小题满分 12 分)计算下列各式的值: (1)( 3 4 0 2× 3) +( 2× 2)3-(-2 012) ;
6 2

(2)lg 5×lg 20+(lg 2) . 1 1 1 1? 4 6 解:(1)原式=(23×32) +(2×22) 2 3 -1 =2
1 ?6 3
2

×3
3

1 ?6 2
1

+2

3 1 4 ? ? 2 2 3

-1

=2 ×3 +2 -1 =4×27+2-1 =109. (2)原式=lg 5×lg(5×4)+(lg 2) =lg 5(lg 5+lg 4)+(lg 2)
2 2 2

=(lg 5) +lg 5×lg 4+(lg 2)
2

2

=(lg 5) +2lg 5×lg 2+(lg 2) =(lg 5+lg 2) =1.
2

2

16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lg(3+x)+lg(3-x). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解:(1)由?
?3+x>0, ? ? ?3-x>0

得-3<x<3.

∴函数 f(x)的定义域为(-3,3). (2)由(1)知,函数 f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(-x)=lg(3-x)+lg(3+x)=f(x), ∴函数 f(x)为偶函数. 2 7 α 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= -x 且 f(4)=- . x 2 (1)求 α 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 7 2 α 7 解:(1)∵f(4)=- ,∴ -4 =- ,α =1. 2 4 2

5

2 (2)f(x)= -x 在(0,+∞)上是减函数.

x

证明如下: 设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2.

f(x1)-f(x2)=( -x1)-( -x2) x1 x2
=(x2-x1)( 2

2

2

x1x2

+1). 2

∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,

x1x2

+1>0.

∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), 2 即 f(x)= -x 在(0,+∞)上是减函数.

x

1 x 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时,(x)=( ) . f 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)画出函数的图象,根据图象写出 f(x)的单调区间. 解:(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0. 当 x<0 时,-x>0,

f(x)=-f(-x)=-( )-x=-2x.
所以函数的解析式为:

1 2

? ?0, f(x)=? 1 ?? 2? ?

-2 , x<0,

x

x=0,
x

, x>0.

(2)函数图象如图所示. 通过函数的图象可以知道,

f(x)的单调递减区间是(-∞, (0, 0), +∞).

6


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