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数学选修2-1测试题(含答案)

时间:2014-12-12


数学选修 2-1 综合测评
时间:90 分钟 满分:120 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是(
?1 ? A.?3,1,1? ? ? ? ? 1 3 ? C.?-2,2,-1? ?

)
<

br />B.(-1,-3,2) D.( 2,-3,-2 2)

解析:向量的共线和平行是一样的,可利用空间向量共线定理写 成数乘的形式.即 b≠0,a∥b?a=λb,a=(1,-3,2)=-
? 1 3 ? 1?-2,2,-1?,故选 C. ? ?

答案:C
? π π? 2.若命题 p:?x∈?-2,2?,tan x>sin x,则命题綈 p:( ? ? ? π π? A.?x0∈?-2,2?,tan x0≥sin x0 ? ? ? π π? B.?x0∈?-2,2?,tan x0>sin x0 ? ? ? ? ? π π? C.?x0∈?-2,2?,tan x0≤sin x0

)

π? ?π ? ? D.?x0∈?-∞,-2?∪?2,+∞?,tan x0>sin x0
? ? ? ?

解析:?x 的否定为?x0,>的否定为≤,所以命题綈 p 为?x0∈
? π π? ?- , ?,tan x0≤sin x0. ? 2 2?

答案:C

3.设 α,β 是两个不重合的平面,l,m 是两条不重合的直线,则 α∥β 的充分条件是( )

A.l?α,m?β 且 l∥β,m∥α B.l?α,m?β 且 l∥m C.l⊥α,m⊥β 且 l∥m D.l∥α,m∥β 且 l∥m

解析:由 l⊥α,l∥m 得 m⊥α,因为 m⊥β,所以 α∥β,故 C 选 项正确. 答案:C x2 y2 4.以双曲线 4 -12=-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程 为( ) x2 y 2 x2 y2 A.16+12=1 B.12+16=1 x2 y 2 x2 y2 C.16+ 4 =1 D. 4 +16=1 x2 y2 y2 x2 解析:由 4 -12=1,得12- 4 =1. ∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4), 顶点坐标为(0,2 3),(0,-2 3). x2 y2 ∴椭圆方程为 4 +16=1. 答案:D 5.已知菱形 ABCD 边长为 1,∠DAB=60° ,将这个菱形沿 AC 折成 60° 的二面角,则 B,D 两点间的距离为( 3 1 3 3 A. 2 B.2 C.2 D.4 )

解析:

菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,则 AC′⊥BD,沿 AC 折叠后,有 BO⊥AC′,DO⊥AC,所以∠BOD 为二面角 B-AC-D 的平面角,即∠BOD=60° . 1 1 因为 OB=OD=2,所以 BD=2. 答案:B x2 y2 6.若双曲线 6 - 3 =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( ) A. 3 B.2 C.3 D.6 x2 y2 2 解析:双曲线 6 - 3 =1 的渐近线方程为 y=± 2 x,因为双曲线的 2 渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,故圆心(3,0)到直线 y=± 2 x 的 距离等于圆的半径 r,则 r= 答案:A 7.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高 为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( 8 3 4 3 A.3 B.8 C.3 D.4 ) | 2×3± 2×0| = 3. 2+4

→ → → 解析:取DA,DC,DD1分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系, 可求得平面 AB1D1 的法向量为 n=(2, -2,1). 故 A1 到平面 AB1D1 → |AA1· n| 4 的距离为 d= =3. |n| 答案:C 8.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2 =16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 B.2 2 C.4 D.8 解析:抛物线 y2=16x 的准线方程是 x=-4,所以点 A(-4,2 3) 在等轴双曲线 C:x2-y2=a2(a>0)上,将点 A 的坐标代入得 a=2,所 以 C 的实轴长为 4. 答案:C )

9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为 A1B1,CC1 的中点,P 为 AD 上一动点,记 α 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角, 则 α 的集合是(
?π? A.?2? ? ? ? ?π π ? B.?α?6≤α≤2 ? ? ? ? ? ? ? ?π π ? C.?α?4≤α≤2 ? ?

)

? ?π π ? D.?α?3≤α≤2 ? ? ? ?

解析:取 C1D1 的中点 E,PM 必在平面 ADEM 内,易证 D1N⊥平 面 ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解. 答案:A x2 y2 10.已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的一点, → → 1 若PF1· PF2=0,tan∠PF1F2=2,则此椭圆的离心率为( 1 2 1 5 A.2 B.3 C.3 D. 3 → → 解析:由PF1· PF2=0,得△PF1F2 为直角三角形,由 tan∠PF1F2 1 =2,设|PF2|=s,则|PF1|=2s,又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c= a2-b2),即 5 3s c 5 4c2=5s2,c= 2 s,而|PF2|+|PF1|=2a=3s,∴a= 2 ,∴e=a= 3 , 故选 D. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) 11.若命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取 值范围是________. 解析: 原命题的否定形式为?x∈R,2x2-3ax+9≥0, 为真命题. 即 2x2-3ax+9≥0 恒成立, ∴只需 Δ=(-3a)2-4×2×9≤0, 解得-2 2 ≤a≤2 2. 答案:[-2 2,2 2] 12.在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 )

→ → OP· OA=4,则动点 P 的轨迹方程是__________. → → 解析:由OP· OA=4 得 x· 1+y· 2=4,因此所求动点 P 的轨迹方程 为 x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0 13.在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为边 长是 1 的正方形, PA=2, 则 AB 与 PC 的夹角的余弦值为__________. → → → → → →→ → → 解析:因为AB· PC=AB· (PA+AC)=AB· PA+AB· AC=1× 2×cos → → 45° =1,又|AB|=1,|PC|= 6, → → → → AB· PC 1 6 ∴cos 〈AB,PC〉= = =6. → → 1× 6 |AB||PC| 6 答案: 6 x2 y2 14.过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2= a2 的两条切线,切点分别为 A,B.若∠AOB=120° (O 是坐标原点),则 双曲线 C 的离心率为__________. 解析:由题意,如图,在 Rt△AOF 中,∠AFO=30° ,

AO=a,OF=c,

OA a 1 ∴sin 30° =OF=c =2. c ∴e=a=2. 答案:2 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(12 分)已知命题 p:不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,命题 q: f(x)=-(5-2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 实数 m 的取值范围. 解:由于不等式|x-1|>m-1 的解集为 R, 所以 m-1<0,m<1; 因为 f(x)=-(5-2m)x 是减函数, 所以 5-2m>1,m<2. 即命题 p:m<1,命题 q:m<2. 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 和 q 中一真一假.
? ?m<1, 当 p 真 q 假时应有? m 无解. ?m≥2, ? ?m≥1, ? 当 p 假 q 真时应有? 1≤m<2. ? ?m<2,

故实数 m 的取值范围是 1≤m<2. x2 y 2 2 16.(12 分)已知椭圆b2+a2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,且 a2=2b. (1)求椭圆的方程; (2)直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,是否存在实数 m, 使线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上, 若存在, 求出 m 的值; 若不存在, 说明理由.

?c= 2, 解:(1)由题意得?a 2 ?a2=2b,
所以 b2=a2-c2=1, y2 故椭圆的方程为 x + 2 =1.
2

?a= 2, ? 解得? ? ?c=1,

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0).联立直

?x2+y =1, 2 线与椭圆的方程得? ?x-y+m=0,

2

即 3x2+2mx+m2-2=0,Δ= x1+x2 m =- 2 3 ,y0=x0+m=

(2m)2-4×3×(m2-2)>0,m2<3,所以 x0=

? m 2m? ? m?2 ?2m? 2m ?- , ?.又因为 M 点在圆 x2+y2=5 上, ?- ? +? ? , 即 M 所以 3? 3 ? 3 ? 3? ? 3 ?
2

=5,解得 m=± 3 与 m2<3 矛盾.∴实数 m 不存在.
? 9 3 2? ?, 17. (13 分)已知点 P(1,3), 圆 C: (x-m)2+y2=2过点 A?1,- 2 ? ?

点 F 为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,直线 PF 与圆相切. (1)求 m 的值与抛物线的方程; → → (2)设点 B(2,5),点 Q 为抛物线上的一个动点,求BP· BQ的取值范 围. 解:(1)把点 A 代入圆 C 的方程,得
? 3 2?2 9 ? = ,∴m=1. (1-m)2+?- 2 ? 2 ?

9 圆 C:(x-1)2+y2=2. 当直线 PF 的斜率不存在时,不合题意. 当直线 PF 的斜率存在时,设为 k,

则 PF:y=k(x-1)+3,即 kx-y-k+3=0. ∵直线 PF 与圆 C 相切, ∴ |k-0-k+3| 3 2 = 2 . k2+1

解得 k=1 或 k=-1. 当 k=1 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍 去. 当 k=-1 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为 4, p ∴2=4.∴抛物线方程为 y2=16x. → (2)BP=(-1,-2), → 设 Q(x,y),BQ=(x-2,y-5),则 → → BP· BQ=-(x-2)+(-2)(y-5) y2 =-x-2y+12=-16-2y+12 1 =-16(y+16)2+28≤28. → → ∴BP· BQ的取值范围为(-∞,28].

18.(13 分)如图,在四棱锥 A-BCDE 中,底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC⊥底面 BCDE,BC=2,CD= 2,AB=AC. (1)证明:AD⊥CE; (2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45° ,求二面角 C-AD-E 的余 弦值. 解:

① (1)证明:作 AO⊥BC,垂足为 O,则 AO⊥底面 BCDE,且 O 为 BC 的中点.以 O 为坐标原点,射线 OC 为 x 轴正方向,建立如图① 所示的直角坐标系 O-xyz. 设 A(0,0,t). → 由已知条件知 C(1,0,0),D(1, 2,0),E(-1, 2,0),CE=(- → 2, 2,0),AD=(1, 2,-t), → → 所以CE· AD=0,得 AD⊥CE. (2)作 CF⊥AB,垂足为 F,连接 FE,如图②所示.

→ → ②设 F(x,0,z),则CF=(x-1,0,z),BE=(0, 2,0), → → CF· BE=0,故 CF⊥BE. 又 AB∩BE=B, 所以 CF⊥平面 ABE, 故∠CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角,∠CEF=45° . 由 CE= 6,得 CF= 3. 又 CB=2,所以∠FBC=60° , 所以△ABC 为等边三角形,因此 A(0,0, 3). 作 CG⊥AD,垂足为 G,连接 GE. 2 在 Rt△ACD 中,求得|AG|=3|AD|.
?2 2 2 3 ? → ?1 2 2 3? ? ?,GC=? ,- ?, 故G , , ,- 3 3? 3 3? ?3 ?3

→ ? 5 2 3? GE=?- , ,- ?. 3 3? ? 3 → → → → → 又AD=(1, 2,- 3),GC· AD=0,GE· AD=0,

→ → 所以GC与GE的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角. → → → → GC· GE 10 故二面角 C-AD-E 的余弦值 cos 〈GC, GE〉 = =- 10 . → → |GC||GE|


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