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2012年亚太数学奥林匹克初选赛(含答案)


2012 年亞太數學奧林匹亞競賽, 初選考試試題 2012 年 2 月 11 日

說明: 將答案標示在答案卡之 「解答欄」 所標示的列號處。 答錯不倒扣, 未完全答對者, 不給分。 一、 (7 分) 已知 △ABC 為直角三角形, 其中 ∠C = 90? , BC = 5, 另兩邊 AB , AC 的 長度均為正整數。 延長 AC 到 D, 使得

∠ABD = 90? . 則 △ABD 的外接圓半徑 1? 2? 3 /? 4? 5 (化成最簡分數)。 Ans. 169/24. R=? 二、 (7 分) 將 2n 個正整數 1, 2 · · · , 2n 任意放置在一個圓周上。 已知, 在所有相鄰的三個 數中, 三個數全為奇數的有 a 組, 三個數恰有兩個為奇數的有 b 組, 三個數中只有一 b?c 6? 7 。 Ans. ?3 個為奇數的有 c 組, 三個數都是偶數的有 d 組。 若 a ?= d, 則 a =? ?d 三、 (7 分) 已知半徑分別為 10 與 5 的兩個圓外切於點 P 。 試問: 點 P 到這兩個圓的一 8? 9 /? 10 (化成最簡分數)。 Ans. 20/3 條外公切線的距離 d = ? 四、 對所有兩兩相異的 n 個正整數 a1 , a2 , · · · , an , 則在形如 t1 a1 + t2 a2 + · · · + tn an (其中 ti 為 1 或 ?1, i = 1, 2, · · · , n) 的整數中, 必存在 Sn 個不同的整數。 試問
(1) (2 分) S10 = 11 ?12 ? Ans. 56 (2) (5 分) S100 = 13 ?14 ?15 ?16 ? Ans. 5051

五、 已知二元多項式 f (x, y ), 滿足下列條件
(i) 對任意實數 x, f (x, 0) = 1, (ii) 對任意實數 x, y, z, f (f (x, y ), z ) = f (z, xy ) + z.

試問
(1) (2 分) f (2012, 1) = 17 ?18 ?19 ?20 ? Ans. 2013 (2) (5 分) f (2012, 2) = 21 ?22 ?23 ?24 ? Ans. 4025


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