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湖北省黄冈市2013届高三年级3月份质量检测数学试题(理科)


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黄冈市 2013 年高三年级 3 月份质量检测
数学试题(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个 选项中,只有

一个是符合题目要求的. 2?i 1.复平面内,复数 z ? 2013 ,则复数 z 的共轭复数 z 对应的点的象限 i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 A.—3 B.—2 C.—1 D.0 D.第四象限

3.如图 2 所示的韦恩图中,A、B 是两非零集合,定义集合 A ? B 为阴影部分表示的集合, 若 x, y ? R, A ? {x | y ? ln(2 x ? x )}, B ? { y | y ? e , x ? 0} ,则 A ? B 为
2 x

A. {x | 0 ? x ? 2}

B. {x | x ? 1或x ? 2}

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C. {x | 0 ? x ? 1或x ? 2}

D. {x | 0 ? x ? 1或x ? 2}

4.若设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列四个命题中假命题的是 A.若 m ? ? , n // ? , 则 m ? n C.若 l // ? , ? ? ? , 则 l ? ? B.若 m // n, m ? ? , 则 n ? ? D.若 ? // ? , ? // ? , m ? ? , 则 m ? ?

5.高三毕业时,甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲,乙相邻,则甲丙相邻的 概率为 A.

1 10

B.

1 4

C.

3 10

D.

2 5

6.有以下命题:①命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定是: ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ” “ ; ②已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ) , P(? ? 4) ? 0.79, 则 P(? ? ?2) ? 0.21 ;
x ③函数 f ( x) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;其中正确的命题的个数为 1

1 2

1 1 3 2

A.3 个

B.2 个

C.1 个

D.0 个

7.已知 A,B,C,D 是函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 点,如图所示, A( ?

?
2

) 一个周期内的图象上的四个

?
6

, 0), B 为 y 轴上的点,C 为图像上的最低点,E 为该函数图像的一个对称中

心,B 与 D 关于点 E 对称, CD 在 x 轴上的投影为 A. ? ? 2, ? ?

??? ?

?
3

B. ? ? 2, ? ?

?
6

? ,则 ? , ? 的值为 12 1 ? 1 ? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 2 3 2 6

x2 y 2 8.已知 O 为坐标原点,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双 a b
曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双曲线的离心率 e 为 A.2 B.3 C. 2 D. 3

??? ??? ??? ? ? ?

9.等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,已知 (a1006 ?1)3 ? 2013(a1006 ?1) ? 1,

(a1008 ?1)3 ? 2013(a1008 ?1) ? ?1, 则
A. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 C. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006 B. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 D. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006

10.已知 O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ? ? , 若
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? ???? cos B ??? cos C ???? AB ? AC ? 2m AO, 则 m ? sin C sin B A. sin ? B. cos ? C. tan ?

D.不能确定

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、 填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题。每小题 5 分,共 25 分。 请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得 分.
(一) 必考题(11-14 题) 11.某校共有学生 1000 名,其中高一年级有 380 人,高二年级男生有 180 人,已知在全校学 生中制抽取 1 名,抽到高二年级的女生的概率为 0.19,现采取分层抽样(按年级分层)在全校抽 取 100 人,则应在高三年级抽取的人数是 . 12.已知 a ?

? 1? ? 2 ??1 (1 ? 1 ? x )dx, 则 ?(a ? 2 ) x ? x ? 展开式中的常数项为 ? ?
1
6

.

? x, y ? 0 ?? ? ? 13. P 是不等式组 ? x ? y ? ?1 表示的平面区域内的任意一点, 设 向量 m ? (1,1) ,n ? (2,1) , ? x? y ?3 ?
若 OP ? ? m ? ? n ( ? , ? 为实数) ,则 2? ? ? 的最大值为

??? ?

??

?



14.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), P( x, y ), Q( x?, y?) 是椭圆上两点,有下列三个不等式① a 2 b2
xx? yy ? 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) 2 ; ③ 2 ? 2 ? 1 .其中不等式恒成立的序号 2 a b x y a b

a2 ? b2 ? ( x ? y)2 ; ②


.(填所有正确命题的序号) (二) 选考题(请考生在第 15、16 题两题中任选一题作答,如 果全选,则按第 15 题结果计分) 15. (几何证明选讲)已知 C 点在⊙O 直径 BE 的延长线上,CA 切⊙O 于 A 点,若 AB=AC,则

AC ? BC

.

16. (坐标系与参数方程)曲线 C1 的极坐标方程为

? cos2 ? ? sin ? , 曲线 C2 的参数方程为 ?

?x ? 3 ? t ,以极点为原点, ? y ? 1? t
.

极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系, 则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点最近的距离为

三、 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1), n ? (cos , cos 2 ). 记 f ( x) ? m ? n . 4 4 4

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(Ⅰ)若 f (? ) ?

3 2? ? ? ) 的值; ,求 cos( 2 3

(Ⅱ) 在△ABC 中, A、 C 的对边分别是 a 、b 、c , 角 B、 且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 若 f ( A) ?

1? 3 ,试判断△ABC 的形状. 2

18. (本小题满分 12 分)已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足

a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? 等式 Tn ?

4 a
2 n ?1

?1

(n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,对于任意的 n ? N * ,不

m 恒成立,求实数 m 的最小值. 100

19. (本小题满分 12 分) “蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立开 展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为 乙组能使生物成活的概率为

1 , 3

1 ,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称 2

该次试验是失败的. (Ⅰ)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率. (Ⅱ)如果乙小组成功了 4 次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有 两次连续失败的概率. (Ⅲ)若甲乙两小组各进行 2 次试验,设试验成功的总次数为 ? ,求 ? 的期望.

20. (本小题满分 12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧

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视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(Ⅰ)求证:BN⊥平面 C1B1N; (Ⅱ)设 ? 为直线 C1N 与平面 CNB1 所成的角,求 sin ? 的值; (Ⅲ)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P,使 MP∥平面 CNB1,并求

BP 的值. PC

21. (本小题满分 13 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? 的方程为

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 它的离心率为 ,一个焦点是(-1,0),过直线 x ? 4 上一点引椭圆 ? 的 2 2 a b
两条切线,切点分别是 A、B. (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)若在椭圆 ?

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 .求 2 a b a b

证:直线 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标; (Ⅲ)是否存在实数 ? 使得 | AC | ? | BC |? ? | AC | ? | BC | 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的定 点)若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 14 分)设 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

(Ⅰ)若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值.

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(Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ?

a ,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点, ex

若对任意的 a ? ?1 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ?
n n n

e (2n)n (n ? N * ) . e ?1

黄冈市 2013 年高三质量检测数学试题答案(理科)
一、选择题 ABDCB AACBA 二、11. 25 12. -160 13. 5 14. ①②③ 15.

3 3

16.

7 2 8

17.





?x ?? 1 x x x 3 x 1 x 1 f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? ??2分 ?2 6? 2 4 4 4 2 2 2 2 2
(I) 由已知 f ( ? ) ?

2? 3 ?? ? ? 1 3 ,k ?? , 得 sin ? ? ? ? ? ,于是 ? ? 4k? ? 3 2 ?2 6? 2 2
??6 分

∴ cos(

2? 2? ? ? 2? ? ? ) ? cos ? ? 4k? ? ? ?1 3 3 ? ? 3

(Ⅱ) 根据正弦定理知:

? 2a ? c? cos B ? b cos C ? (2sin A ? sin C)cos B ? sin B cos C
? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ? cos B ?
∵ f ( A) ?

......8 分

1 ? ?B? 2 3
??10 分

1? 3 2

∴ sin ?

2? ? 2? A ? ? ? A ? ? 1 1? 3 ? A ? 或? 而 0 ? A ? ? ?? ? ? ? ? 或 3 3 3 2 2 6 3 ?2 6? 2



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所以 A ? 18

?
3

,因此 ? ABC 为等边三角形.?????12 分

(I)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d >0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 .即 256 ? 9d 2 ? 220
? d 2 ?4 ,又 d ? 0 ,?d ? 代入①得 1a 2, ? an ?1 ?(n ?1 ) ? 2 ?n ? 1 2 ?1
??6 分

(Ⅱ)由(I)得 an ? 2n -1
bn ? 4 a
2 n ?1

4 1 1 1 = ? ? ? 2 ? 1 (2n ? 1 ? 1 n?n ? 1? n n ? 1 )

1 1 1 1 1 1 ) ( ? ?)??? ? ? ? ( ) =1<1 2 2 3 n n ? 1 n ?1 m m Tn ? ? 1 ? m ? 100 . 恒成立 ? 100 100 ??12 分 ? m 的最小值为 100 Tn ? ( 1?
19. ( 1 ) 甲 小 组 做 了 三 次 实 验 , 至 少 两 次 试 验 成 功 的 概 率 为

1 1 7 3 1 P ( A) ? C32 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? C3 ( ) 3 ? 3 3 3 27
两次连续失败,其中各种可能的情况种数 A4 ? 12 ,
2

??3 分

(2)乙小组在第 4 次成功前,共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,且恰有

因此所求的概率 P (B ) = ?12? ( ) ? ( ) ? ? ? 2 2 ? 2 32 ?
3

?

1

1 3? 1

3

?7 分

(3)由题意 ? 的取值为 0,1,2,3,4

2 1 0 1 0 1 P(? ? 0) ? C2 ( ) 0 ( ) 2 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 9
2 1 1 0 1 P(? ? 1) ? C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( ) 2 ? C 0 ( 1 ) 0 ( 2 ) 2 ?C 1 ( 1 ) 2 ? 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3

2 2 2 13 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 2 1 P(? ? 2) ? C2 ( ) 2 ( ) 0 ? C2 ( ) 2 + C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( ) 2 ? C2 ( ) 0 ( ) 2 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 36 1 2 2 0 1 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 P(? ? 3) ? C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ? 3 3 2 3 3 2 6 2 1 2 1 2 1 P(? ? 4) ? C2 ( ) 2 ( ) 0 ? C2 ( ) 2 ? ?10 分 3 3 2 36

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故 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 9

1 3

13 36

1 6

1 36

1 1 13 1 1 5 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 9 3 36 6 36 3

?12 分

20. 解: (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直。 ?????2 分

以 BA,BC,BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 N(4,4,0) 1(0, 8,0) 1(0,8,4) ,B ,C , C(0,0,4)∵ BN1 ? NB1 =(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0 BN ? B1C1 =(4,4,0)·(0,0,4) =0 ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1,∴BN⊥平面 C1B1N; ???? 4 分

(II)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, 则

?? ???? ? ? ???? ? ?n2 ? CN ? 0 ?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ?? ? ?? ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? ???? ? ? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0 ?? x ? y ? 0 ?

则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

??????8 分

(III)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 MP ? (?2,0, a) , ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 ??6 分, ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

∵MP//平面 CNB1,

?

BP 1 ? ??12 分(用几何法参照酙情给分。 ) PC 3

2 2 21.解: (I)设椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0? 的焦点是 ? ?1, 0 ? ,故 c ? 1 ,又 c ? 1 ,所以 a 2 a b

a ? 2, b ? a2 ? c2 ? 3 ,所以所求的椭圆 ? 方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ?????????4 分 4 3

(II)设切点坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ? 4,t ? ,则切线方程分别为
x1 x y1 y xx y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ?1 ,即点 A,B 的 4 3 4 3 3 3

t 坐标都适合方程 x ? t y ? 1 ,故直线 AB 的方程是 x ? t y ? 1 ,显然直线 x ? y ? 1 恒过点 3 3 3
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(1,0) ,故直线 AB 恒过定点 C ?1,0? .?????????????9 分 (III)将直线 AB 的方程 x ? ? t y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3
? t2 ? ? t ? 3 ? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 , 3 ? ? ?3 ?
2

所以 y1 ? y2 ?
AC ?

6t ?27 ,不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

2 ? t2 ? t 2 ? 9 ,同理 BC ? ? t ? 9 y ,????12 分 2 x1 ? 1? ? y12 ? ? ? 1? y12 ? y1 2 ? 3 3 ?9 ?

所以 1 ? 1 ? 3 ? ? 1 ? 1 ? ? 3 ? y2 ? y1 ? ? 3 ? ? ? AC BC t 2 ? 9 ? y1 y2 ? t 2 ? 9 y1 y2 t2 ? 9
108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 , ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ?27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12
2

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

即 AC ? BC ? 4 AC ? BC , 3 故存在实数 ? ? 4 ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC .
3
22.解:(Ⅰ)∵f(x)=ex-a(x+1), ∴f′(x)=ex-a, ∵a>0,f′(x)=e -a=0 的解为 x=lna. ∴f(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna, ∵f(x)≥0 对一切 x∈R 恒成立, ∴-alna≥0,∴alna≤0,∴amax=1.
x

???????????13 分

??1 分 ??3 分 ??4 分

(II)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1 ? x2

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ,故 g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 x 2 ? x1

??6 分

上单调递增, ? ? 不妨令函数 F ( x) ? g ( x) ? m x,则 F (x)在(- ?, ?)

? F ?( x) ? g?( x) ? m ? 0恒成立
? 对任意的a ? -1,x ? R , m ? g ?(x) 恒成立

??7 分

g ?( x) ? e x ? a ?
故m ? 3

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a = ? a ? 2 ? a ? ( ? a ? 1)2 ?1 ? 3 x e e
??9 分

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i ? ? i i 2n ? i n 2r 2 ?e ) ? e ?? (III)由(1) 知 e ≥x+1,取 x= ? , i ? 1,3,? 2n ? 1, 得 1即( 2n 2n 2r

i

x

12 分
? 1 n 3 2n ? 1 n ) ? ( )n ? ? ? ( ) ?e 累加得( ( 2n 2n 2n 2 n ?1 2

?e

?

2 n ?3 2

??? e

?

1 2

e 2 (1 ? e ?n ) e ? ? ?1 1? e 1? e

?

1

?1n ? 3n ? ? ? (2n ? 1) n ?

e (2n) n 1? e e (a n ) n 1? e
??14 分

故存在正整数 a=2.使得?1

n

? 3n ? ? ? (2n ? 1) n ?

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