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【全国百强校】浙江省温州中学人教新课标A版 必修二 第一章 立体几何折叠问题复习教案

时间:2016-04-01


教案 立体几何折叠问题复习

教学目的:理解空间几何体的结构,掌握翻折前后平面与立体图形的区别,通过复习空
间图形的折叠变化培养学生的空间想象能力

教学重点难点:折叠问题的破解方法 教学过程:
一.引入问题
折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形,考察由此产生的位置关系和数 量关系,这类问题由于涉及到

平面到空间的动态变化,对空间想象能力,识图能力及分析 能力要求均较高,是近年来高考的热门题型,要解决好此类问题应从哪些方面入手?

二.提出解决方案
解决翻折问题可以从以下三个步骤考虑: 第一步:看两图 两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形,有时候题目中可能只给出平面图形,这 就需要我们自己去画立体图形,我们应该对比两个图形,思考下面的问题; (1)

折痕是哪些直线?折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素,是引发后面问题

的“罪魁祸首”,呵呵,这么说只是强调一下折痕的重要地位,盐打哪儿咸, 醋打哪儿酸,解决折叠问题的思维起点,位置与数量关系的变化皆与折痕有 关,要明确一点:位于折痕同一侧的点,线的关系是不变的; (2) 折叠前后哪些点重合了?重合的点往往意味着重合的线段,即立体图形中明明 是一条线段,但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。 (3) 折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间? 第二步:挖掘折叠特征 折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的,它是解题的一个重要已知条件,我们应该 充分理解、挖掘这个特征,常见的折叠特征有以下三种: (1) 将平面图形折叠成某个度数的二面角,比如直二面角,这种情况我们就应该找到这 个二面角的平面角,在立体图中标出; (2) 使几个点重合,这种情况我们就应该标出哪些点重合的;比如若 A,B 两点重合记为 点 P 的话,我们可以在图上标记为 P(A,B),这样便于翻折前后的对比; (3)使指定的两个点的距离是某值,那么我们应该连接相关的点; 第三步:结合问题,寻找不变量 通过前两步,我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解,对翻折得到的立体图形的空间 形态也有了全方位的认识,那么最后一步,就是结合问题,充分利用翻折前后图形的性质 来寻找解题的途径,而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键,常见的不变量有 “不变的垂直关系,不变的长度关系,不变的平行关系“这三类,当解题受阻时就应该思

考“哪些量是不变的?”,可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙! 上述三步曲是解决折叠问题的总的规律,在实际解题中应灵活运用,下面举例说明在解 题中,我们如何走好这“三步”,重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的。

三.例题选讲
(一)不变的垂直关系 例 1:如图,ABCD 是正方形,E 是 AB 的中点,将 ?ADE 和 ?BEC 沿 DE 和 CE 折起,使 AE 与 BE 重合,记 A 与 B 重合后的点为 P,求 (1) 求证: PE ? 平面PDC ;(2)二面角 P-CD-E 的度数;

分析:从翻折的过程可以看出, AD ? AE, EB ? BC 这两个垂直关系是不变量,而翻折后 A,B 重合为 P,故在立体图中有 PE ? PD, PE ? PC ,问题得解; 解:(1)由翻折过程可知, PE ? PD, PE ? PC ,故 PE ? 平面PDC ;(2)取 CD 中点 F, 连 接 PF,FE, 在 原 平 面 图 形 中 , AD=BC,ED=EC, 翻 折 后 A,B 重 合 为 P, 故 PD=PC, 可 知

PF ? CD , EF ?

C D , 则 ?PFE 是二面角 P-CD-E 的平面角,设正方形边长为 a ,得

a a 1 PE ? , EF ? a , sin ?PFE ? 2 ? ,则二面角 P-CD-E 的度数为 30° 2 a 2
(二)不变的长度关系 例 2(2007 安徽文)把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,折成 直二面角后,在 A,B,C,D 四点所在的球面上, B 与 D 两点之间的球面距离为( A. 2π C. π B. )

π 2

D.

π 3

分析:原题是没有图的,需要我们自己画出前后两个图形,折叠特征是直二面角,哪个角 是它的平面角? 不难看到DO ? AC, OB ? AC 这两组垂直关系是不变的,故 ?DOB 就 是二面角的平面角,则 ?DOB ?

?
2

,那么如何确定 A,B,C,D 四点所在的球心呢?找不变

量!通过比较两图可以发现,折叠前 A、B、C、D 四点是共面的,翻折后不再共面,这是变 化的量,而正方体中心 O 到四个顶点的距离是不变的,即在折叠前后中始终有 OA ? OB ? OC ? OD ,所以 O 就是翻折后 A,B,C,D 四点所在球的球心,易得该球半

径 R ? 1 ,而 D,B 两点在球中所对球心角为

π ? ,球面距离 L ? ? ?R ? ,故选 B. 2 2

(三)不变的平行关系 例 3: (2006 高考辽宁卷)已知正方形 ABCD , E,F 分别是边 AB,CD 的中点,将

△ ADE 沿 DE 折起,如图所示,求证: BF // 平面ADE

分析:要证明 BF // 平面ADE ,只需证明 BF 与 平面ADE 内的一条直线平行即可,而比较 翻折前后的图形可以发现, BF // ED 这个平行关系是不变量,命题得证; 解: E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 、 CD 的中点,则 EB // FD且EB=FD,

? 四边形 EBFD 是平行四边形 ? BF // ED ? ED ? 平面 AED, 而 BF ? 平面 AED ? BF // 平面 AED
练习: (1)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积是 ( )

(2) 如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H,I,J 分别为 AF,AD, BE,DE 的中点.将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度为 ( ) A.90°B.60° C. 45 ? (D) 0?

(3)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P-DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A)

4 3? 27

(B)

6? 2

(C)

6? 8

(D)

6? 24

(4) 正方形 ABCD 的边长是 2,E、F 分别是 AB 和 CD 的中点,将正方形沿 EF 折成直二面角 (如图所示) .M 为矩形 AEFD 内的一点,如果? MBE=?MBC,MB 和平面 BCF 所成角 的正切值为 1/2,那么点 M 到直线 EF 的距离为_________。 答案:

(1)选 D

提 示 : 画 出 翻 折 前 后 的 图 形 , 可 知 不 变 量 有 DO ? OB ?

2 a和 2

DO ? OC , DO ? OA, 而 BD ? a ,可得 ?DOB ? 90? , 则 DO ? 平面ABC, 三棱锥体积

1 1 1 2 2 2 V ? sh ? ? a 2 ? a ? a 3 3 2 2 12
(2)选 B 分析:画出折叠后的立体图形,因为 A,B,C 三点重合为 S,翻折过程中不变量是

GH // DF , JI // DB即JI // SD ,故 GH 与 IJ 所成角就是 ?SDF ,大小为 60°。

(3)

选 C

提示:由已知易得 ?ADE, ?DEC , ?CEB 均为

正三角形,而翻折后 A,B 重合为 P,故三棱锥 P-CDE 实际为正四面体,计算可得外接球半径

R=

6 4 3 6 ,V ? ? R ? ? 4 3 8

(4)填

2 提示:由? MBE=?MBC,可知 M 在平面 EFCB 内的射影在 ?EBC 的平分线 2

上,而 ?EBC ? 90? ,故 M 的射影应该在原正方形的对角线 BD 上,因为翻折特征是直二 面角, 设 M 在平面 EFCB 内的射影是 N,即 MN ? EF ,由面面垂直的性质定理可知,N 必 在 EF 上,且 BN=

2 , MB 和平面 BCF 所成角即 ?MBN , tan ?MBN ?

MN 1 ? ,得 BN 2

MN ?

2 2 ,故 M 到直线 EF 的距离为 。.k.s.5.u.c.o.m 2 2

四.拓展与思考
(2013 年温州市二模) 20. (本题满分 14 分)已知矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 5 , E , F 分别在 AD , BC 上,且 AE ? 1 , BF ? 3 ,沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形 A ' EFB ' ,使点 B ' 在平 面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上. (I)求证: A ' D ∥平面 B ' FC ; (II)求二面角 A '? DE ? F 的大小.

(第 20 题图)

五.作业布置
完成相应内容的专题训练