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2.1.2椭圆的简单几何性质


2.1.2椭圆的简 单几何性质(3)
直线与椭圆的位置关系
第二章 圆锥曲线与方程

前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质,可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用,其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的

能力. 本节课,我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.

回忆:直线与圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0?直线与圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与圆相离?无公共点.

通法

直线与椭圆的位置关系

种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 由方程组 ? x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? mx 2 ? nx ? p ? 0(m ? 0)

△=n2 ? 4mp

△? 0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△=0 △? 0

知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点.

通法

题型一:直线与椭圆的位置关系
x 2 y2 例1:直线y=kx+1与椭圆 ? ? 1 5 m

恒有公共点,

求m的取值范围。
? y ? kx ? 1 ? 解 : ? x2 y 2 ?1 ? ? ?5 m
? (m ? 5k 2 ) x 2 ? 10kx ? 5 ? 5m ? 0 ? m2 ? (5k 2 ? 1)m ? 0

2 △ ? 10k) ? 4(m ? 5k 2(5 ? 5m) 0 ( ) ?

x2 y 2 1.直线 ax ? by ? b ? a ? 0 与椭圆 2 ? 2 ? 1总有交点,则 a b ) a, b 满足(

A. a2 ? b2 ? 1 C. a 2 ? b2 ? a 2b2

B. a2 ? b2 ? 1 D. a 2 ? b2 ? a 2b2

直线 ax ? by ? b ? a ? 0 的几何特征:恒过点(1,-1)

由已知点(1,-1)在椭圆内或椭圆上,即

1 1 ? 2 ? 1 ? a 2 ? b 2 ? a 2b 2 a2 b

题型一:直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 当k = ? 时有一个交点 3 当k> 6 6 或k<时有两个交点 3 3

x2 y2 ? ?1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )

6 6 当? k< 时没有交点 3 3

A.没有公共点
C.两个公共点

B.一个公共点
D.有公共点

题型一:直线与椭圆的位置关系
2 2

x y ? ? 1 ,直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆 例 3:已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.
42 ? 52 尝试遇到困难怎么办? d? 4 x0 ? 5 y0 ? 40 ? 4 x0 ? 5 y0 ? 40 41
l
m m



x0 2 25

?

y0 2 9

?1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

题型一:直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 例3:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少?
解:设直线m平行于l,
则l可写成:x ? 5 y ? k ? 0 4

x
o

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 消去y,得25 x 2 ? 8kx ? k 2 - 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 k 2 - 225) 0 ( ?
解得k1 =25,k 2 =-25

由图可知k ? 25.

题型一:直线与椭圆的位置关系
2 2

x y 例3:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少?
?直线m为:x ? 5 y ? 25 ? 0 4

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 且d ? 40 ? 25 15 ? 41 42 ? 52 41

x

o

d max

思考:最大的距离是多少?

65 ? ? 41 42 ? 52 41

40 ? 25

练习:已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。
2

解:联立方程组
1 y? x? 2

消去y

x2+4y2=2
因为

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

4 ? x ? x2 ? 由韦达定理 ? 1 5 ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 5 ?

?>0

所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解….

那么,相交所得的弦的弦长是多少?
6 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 2 5
2 2 2 2

知识点2:弦长公式

可推广到任意二次曲线

设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,直线P1P2的斜率为k.

弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x ? x |? 1 ? 1 | y ? y | A B A B 2

k

当直线斜率不存在时,则 AB ? y1 ? y2 .

题型二:弦长公式
例1:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a 2 ? 4, b2 ? 1, c 2 ? 3.
右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为 : y ? x ? 3.

的右焦点,

?y ? x ? 3 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?4

消y得:x 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 5

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

8 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 5

题型二:弦长公式

x2 y2 ? 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

x2 y2 ? 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 x2
解:∵椭圆

∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

2

? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 ( ?1, 0), F2 (1, 0)

3x ? 4x ? 0

4 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? = ? ? 3 2

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ SF1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

题型三:中点弦问题
例3 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

题型三:中点弦问题
例 3 已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

知识点3:中点弦问题
点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ), 则有:x0 ? x1 ? x2 , 2 y0 ? y1 ? y2 2 y1 ? y2 又k AB ? x1 ? x2 ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上, 2 2 x2 2 y2 2 x1 y1 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 a b a2 b

两式相减得:

b2 ( x12 ? x2 2 ) ? a 2 ( y12 ? y12 ) ? 0

由b 2 ( x12 ? x2 2 ) ? a 2 ( y12 ? y12 ) ? 0

y ?y b 即 ?? 2 x ?x a
2 1 2 1 2 1 2 2 2

? k AB

y1 ? y1 b 2 x1 ? x2 b 2 x0 ? ?? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1 ? ? a 2 y 0

直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.

题型三:中点弦问题
例3已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思:中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件,灵活运用中点坐标公式及韦达定理,

例4、如图,已知椭圆

ax ? by ? 1 与直线x+y-1=0交
2 2

AB ? 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点, 斜率是 2 ,试求a、b的值。 2 y ? ax 2 ? by 2 ? 1 2 消y得:(a ? b) x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 解:? A ?x ? y ?1 ? 0
??=4b -4(a ? b)(b ? 1) ? 0 ? ab ? a ? b
2

M

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

o
B

x

2b b ?1 b a ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ? AB中点M ( , ) a?b a?b a?b a?b a 2 又 AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? kMO ? ? ?b ? 2a b 2 1 2 2b 2 b ?1 ?a ? ,b ? ?2 2 ? 2 ( ) ?4 a?b a?b 3 3

练习:

x2 y2 ? ?1 1、如果椭圆被 36 9 的弦被(4,2)平分,那

么这弦所在直线方程为(
A、x-2y=0

D


D、x+2y-8=0

B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0
x2 y2 ? ?1 25 m

2、y=kx+1与椭圆 (C ) A、(0,1)

恰有公共点,则m的范围

B、(0,25 ) D、(1,+ ∞ )

C、[ 1,25)∪(25,+ ∞ )

3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线,

16 则弦长 |AB|= _______ , 5

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程. 2 2 x y 直线l:y ? x ? 2 解 : (1)椭圆 ? ? 1 F (2,0) 9 5 2 得: x ? 36 x ? 9 ? 0 14 ?y ? x ? 2 由? 2 18 9 2 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ?5 x ? 9 y ? 45

? 弦长 ? 1 ? k

2

14 6 11 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 7

7

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
? A(1,1)在椭圆内。 设以A为中点的弦为MN且M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 5 x12 ? 9 y12 ? 45 两式相减得: x12 ? x2 2) (y12 ? y2 2) 0 ( 5 ?9 ? 2 2 5 x2 ? 9 y2 ? 45
y1 ? y2 5 x1 ? x2 5 ? kMN ? ?? ? ?? x1 ? x2 9 y1 ? y2 9 5 ?以A为中点的弦为MN 方程为:y ? 1 ? ? ( x ? 1) 9

椭圆的弦所在的直线方程.

解 : (2)5 ?12 ? 9 ?12 ? 45

?5x ? 9 y ? 14 ? 0

x y 2.若 过点P( ?2 ,1 )的 直线l交 椭圆 ? ?1 16 4 于A、B两 点, (1)若 直线 的 斜率 为, 求S ?AOB ; 1 1 法一:S ?AOB ? ? | AB | ?hAB y 2 A 法二:求出 、B两点的坐标 A
C B

2

2

P.

O

x

法三:1

S?AOB ? S?AOC ? S?COB

1 ? | OC | ? | y A | ? | OC | ? | y B | 2 2

x y 2.若 过点P( ?2 ,1 )的 直线l交 椭圆 ? ?1 16 4 于A、B两 点, (2)若 点P为 弦AB的 中点 , 求 弦 所 在 AB 直 线的 方 程 .
AA B

2

2

y

P. O x

B

y

回顾解题过程 :
P.
B

A

O

x

点P为弦AB的中点

联立方程组
中点坐标


直线l过椭圆的 两个顶点


直线l的方程





x2 3.设经过点 F (1,0) 的直线 l 与椭圆 ? y 2 ? 1 交于 2 ② ①

A,B 两点,求直线 l, 使以 AB 为直径的圆通过原点。

① 若斜率存在,设l ②?

: y ? k ( x ? 1),若斜率不存在,l : x ? 1

? y ? k ( x ? 1) ? (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0(1) x2 ? 2 y2 ? 2 ?

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 , x2是方程(1)的解


O在以AB为直径的圆上 O到AB中点的距离等于AB的一半

OA ? OB

x2 4.设曲线 C: ? y 2 ? 1 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的 3

两点 M、N,又点 A(0,-1) ,当 | AM |?| AN | 时,求 实数 m 的取值范围.
该条件的代数化: 方法1:两点距离公式直译

几何特征: | AM |?| AN |
代数形式:
2 x12 ? ( y1 ? 1) 2 ? x2 ? ( y2 ? 1) 2

y

M
N
O

2 x12 ? ( y1 ? 1)2 ? x2 ? ( y2 ? 1)2 ? 0

x

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ? 2)( y1 ? y2 ) ? 0

A

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? [(kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? 2][(kx1 ? m) ? (kx2 ? m)] ? 0 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2]k ( x1 ? x2 ) ? 0 ( x1 ? x2 ) ? k[k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2] ? 0

方法2:如图,先转化为

AQ ? MN
y

再代数化为斜率积等于-1
N
Q
O

M

x

A

几何特征: | AM |?| AN |

y

N
几何特征: AQ ? MN

Q
O

M

x

代数形式: k AQ ? kMN ? ?1

y1 ? y2 ?1 2 ? k ? ?1 x1 ? x2 2

A

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ? 2)k ? 0

?1 ? m ? 2

练习巩固:
x2 y2 1.过椭圆 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. x ? 2 y ? 4 ? 0 x2 y2 2.椭圆 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 最大距离 16 4 是________. 3.已知椭圆的焦点 F1 ( ?3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x ? y ? 9 ? 0 有 2 2 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.

10

x y ? ?1 45 36

x y ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,在 思考 3:已知椭圆 9 5 直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为

2

2

焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.

分析:∵椭圆的焦点为 (?2, 0),(2, 0)

关键是怎样求出椭圆的长轴大小.

x y ? ?1 20 16

2

2

x y ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,在 思考 3:已知椭圆 9 5 直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为

2

2

焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.
解 : 椭圆的焦点为F1 (?2, 0), F2 (2, 0) 设F2 (2, 0)关于直线x ? y ? 6 ? 0的对称点F ( x0 , y0 ) ? y0 ? x ? 2 ? (?1) ? ?1 ? x0 ? 6 ? F (6, 4) ? 解得: ? 由? 0 ? y0 ? 4 x0 ? 2 y0 ? ? ?6 ? 0 ? 2 ? 2 x2 y2 ? F1 F ? 2a ? 4 5 ? 所求椭圆方程为: ? ?1 20 16 ? a ? 2 5 c ? 2 ?b ? 4

思维挑战题:
x2 y2 试确定实数 m 的取值范围,使得椭圆 ? ?1 4 3 上存在关于直线 y ? 2 x ? m 对称的点.
1 分析:存在直线y ? ? x ? b与椭圆交与两点, 2 且两交点的中点在直线y ? 2 x ? m上。

解 : 假设椭圆上存在关于直线y ? 2 x ? m对称的两点A, B

1 则AB两点的直线可设为:y ? ? x ? b 2

1 ? ?y ? ? 2 x ?b ? 由? 2 x y2 ? ? ?1 ?4 3 ?

消y得 : x 2 ? bx ? b 2 ? 3 ? 0

? ? b2 ? 4(b2 ? 3) ? ?3b2 ? 12 ? 0 设两对称点A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

??2 ? b ? 2
? x1 ? x2 ? b

1 3 y1 ? y2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2b ? b 2 2 b 3b ? AB中点( , )在直线y ? 2 x ? m上 2 4 3b b ?b ? ?4m ? ? 2? ? m 4 2 1 1 ?? ? m ? ??2 ? ?4m ? 2 2 2

已知椭圆 , (1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (2)过 引椭圆的割线,求截得弦的中点 的轨迹方程; (3)椭圆上有两点 P、Q ,O 为原点, 1 且有直线 OP、OQ 斜率满足kOP ? kOQ ? ? , 2 求线段 中点 的轨迹方程.

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 (

相交

=

1 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 ( ? k

(适用于任何曲线)

3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。


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