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2014亚太数学奥林匹克初选赛(含答案)


2014 年亞太數學奧林匹亞競賽, 初選考試試題 2013 年 12 月 8 日

說明: 本試題共一頁七題, 每題七分。 將答案標示在答案卡之 「解答欄」 所標示的列號處。 答錯不倒扣, 未完全答對者, 不給分。 答案卡填答注意事項: 答案的數字位數少於填答空格數時, 請適度地在前面填入0. 一、 (7 分) 類似於平面座標系將西洋棋盤 8 ×

8 的方格標記, 從左下方格 (1, 1) 直到右上 為 (8, 8). 將 21 支 1 × 3 的長方型放置在棋盤上。 (長方型的方格與棋盤的方格大小 一致, 放置時可以水平或垂直, 不重疊也不超出, 而且彼此方格要對齊。) 如果西洋棋 盤方格 (a, b) 是成功放置之後所留下的唯一空格, 稱之為虧格。 試問下列數字之和
1? 2? 3, a1 + b1 + a2 + b2 + · · · = ?

其中 (ai , bi ) 是所有可能的虧格; 如果沒有任何虧格存在, 請填答 “000”. Ans. 036. ( ) 二、 (7 分) 已知二項式係數 111 是一個 18 位數: 210227xyz 943268675, 其中的三個數 14 4? 5 . Ans. 10 字 xyz 因油漬汙染而看不清楚。 試問 x + z = ? 三、 (7 分) 給定一直角三角形 ABC, 其中 ∠B = 90? . 在邊 BC 上取一點 M 使得 AB = BM = 12, DM ∥ AB . 又點 N 為 BM 的中點且 ∠ADN = ∠BAD. 6? 7 . Ans. 24 試問: 三角形 DN M 的面積=? 四、 (7 分) 設 x0 為方程式 x3 +3x2 +6x+20 = 0 的實根, y0 為方程式 y 3 +6y 2 +15y ?2 = 8? 9 . Ans. ?3 0 的實根。 試問 x0 + y0 = ? 五、 (7 分) 考慮滿足以下條件的正整數數列 a1 , a2 , · · · , a10 :
(i) a10 ≤ 50; (ii) 對所有的 k = 1, 2, · · · , 9, 不等式 ak+1 ? ak ≥ k 均成立。
10 ? 11 ? 12 ? 13 . Ans. 1001 請問共有幾組數列 {a1 , a2 , · · · , a10 } 滿足上述條件? 答 ?

六、 (7 分) 某班有 15 位男同學、17 位女同學舉行冬季旅遊活動, 要在營火晚會時大家手 牽手圍成一圈唱歌。 令隨機變數 X 的取值為男女同學牽到手的對數。 例如: 如果男 生、 女生都連續排在一起, 則 X = 2. 在每一種環狀排列出現的機率均等的情況下, 14 ? 15 ? 16 510 試問 X 的期望值等於多少?(化為最簡分數) 答 ? 17 ? 18 . Ans. 31 ? 七、 (7 分) 已知存在兩組以上的整數數對 (a, b, c) 滿足 a ≤ b ≤ c 且
a + b + c = ?3, a3 + b3 + c3 ? 20(a + 3)(b + 3)(c + 3) = 2013.
19 ? 20 ? 21 . Ans. ?14 試問 3a + b + 2c = ?

(a, b, c) = (?9, ?1, 7), (?8, 0, 5)


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