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函数的奇偶性练习题(教师版)

时间:2014-10-28


函数的奇偶性
一、基础过关
1.在平面直角坐标系中,点 (a, b) 关于原点对称的点是 关于 y 轴对称的点是 ;关于 x 轴对称的点是 ) ; .

2.下列函数中,是奇函数的是(

(A) y ? x 2 ? x (B) y ? x 2 ? 1 (C) y ? x 3 ? x (D) y ? x 2 ? x 3 3.下列函数中,是偶函数的是( )

(A) y ? ( x ? 1) 2 (B) y ? x 2 ? 2 x (C) y ? x 2 ? 2 (D) y ? 4.已知函数 y ? x ,下列说法正确的是( (A)函数图象关于 x 轴对称 (C)函数图象关于原点对称 )

1 ? x x

(B)函数图象关于 y=x 轴对称 (D)函数图象关于 y 轴对称 )

2 5.已知函数 y ? ? ,下列说法正确的是( x
(A)函数图象关于 x 轴对称 (C)函数图象关于原点对称

(B)函数图象关于 y=x 轴对称 (D)函数图象关于 y 轴对称

6.判断并证明下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ? x ?

1 x
2



(2) f ( x) ? x 2 ? 2x ;

(3) f ( x) ? x ?

1 . x

7.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c . (1)若函数为奇函数,求实数 a,b,c 满足的条件; (2)若函数为偶函数,求实数 a,b,c 满足的条件. 8. 已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 6,6? 上的偶函数,f ( x) 的部分图象如图所示, 求不等式 xf ( x) ? 0 的解集. 0 3 6

二、能力拓展
一、选择题 1、若函数 f ( x ) 在区间 [a2 ? 3, 2a] 上是奇函数,则 a =( A. -3 或 1 B.3 或-1 C. 1
2

) D.-3
2

分析:奇函数的定义域必须关于原点对称,所以 a ? 3 ? ?2a ,且 a ? 3 ? 2a ,解得 a =1. 2、函数 f ( x) ? (a ? 1) x2 ? bx ? a ? b 是奇函数,则下列各项满足条件的 a、 b 是( ) A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? R C. a ? 1, b ? ?1 D. a ? 1, b ? R

分析: f ( x ) 是奇函数,所以 ?

?a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1, b ? ?1 . ?a ? b ? 0
) C. f ( x) ? f (? x) ? 0 D.f ( x) ? f (? x) ? 0

3、函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,则有( A.f ( x) ? f (? x) ? 0 B.f ( x) ? f (? x) ? 0

分 析 : 若 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 则 f ( ? x) ? ? f ( x) , 所 以

f ( x) ?

f? ( x) ? ? [ f2 ( x ) ? ]

0

4 、若 f ( x ) 和 g ( x) 都是 R 上的奇函数, F ( x) ? mf ( x) ? ng ( x) ? 2 ,且 F (2) ? 5,则

F (? 2) ? (
A. -1 分析:

) B.1 C. -5 D.5

f ( x) 和 g ( x) 都 是 R 上 的 奇 函 数 , 则 G( x) ? mf ( x) ? ng ( x) 是 奇 函 数 ,

G(2) ? F (2) ? 2 ? 3 , G(?2) ? F (?2) ? 2 ? ?3 ,所以 F (?2) ? ?3 ? 2 ? ?1 .
5、已知 f ( x ) 是偶函数,并且其图像与 x 有 (n ? N ) 个交点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实数 根之和为( ) A. 0 B.1 C. 2 D.4 分析: 由偶函数对称性可知 x 和 ?x 成对出现, 函数值为 0 的所有点的横坐标也以 x 和 ?x 成 对出现,所以方程 f ( x) ? 0 所有实数根之和为 0 6、已知函数 f ( x) ? A.奇函数

3? | x ? 3 | 4 ? x2

,则它是( ) D.既不是奇函数又不是偶函数 ,为奇函数。

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

分析: f ( x ) 的定义域为 (?2, 2) ,所以 f ( x) ?

x 4 ? x2

7、已知 f ( x ) 在 (0, 2) 上是增函数,函数 f ( x ? 2) 是偶函数,则( )
7 A. f (1) ? f ( 5 2) ? f (2) 5 C. f ( 7 2 ) ? f ( 2 ) ? f (1) 5 B. f ( 7 2 ) ? f (1) ? f ( 2 ) 7 D. f ( 5 2 ) ? f (1) ? f ( 2 )

分析:函数 f ( x ) 关于 x ? 2 对称,再利用“点到对称轴距离相等对应的函数值相等”判断。 8、设函数 f ( x ) ( x ? R ) 为奇函数, f (1) ? A. 0 分 析 : 令 B.1

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? ( ) 2 5 C. D.5 2

x ? ?1





f (1) ? f (?1) ? f (2)





f (2) ? 1



f (5) ? f (3) ? f (2) ? f (1) ? 2 f (2) =
二、填空题

5 。 2


) ? _ _ _ 9、 已知 f ( x ) 是偶函数,g ( x) 是奇函数, 并且 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? x ? 2 , 则 f (x g ( x) ? ____ .

10、奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7] 上是增函数,且最小值为 17,则 f ( x ) 在区间 [?7, ?3] 上的最 大值为________ 三、解答题 11、判断下列函数的奇偶性

? x ? 1( x ? 0) ? (1) f ( x) ? x (?1 ? x ? 3) ;(2) f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x ;(3) f ( x ) ? ? 0 ( x ? 0) ? x ? 1( x ? 0) ?
2

2

2

2 12、已知函数 f ( x ) 的图像关于原点对称, 并且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , 试求 f ( x )

在 R 上的表达式,并画出它的图像,根据图像写出它的单调区间。 13.已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 4,4? 上奇函数, 且在 ?? 4,4? 单调增. 若 f (a ? 1) ? f (a ? 3) ? 0 , 求实数 a 的取值范围.

参考答案
基础过关:1.关于原点对称: (? a,?b) ;关于 y 轴对称: (?a, b) ;关于 x 轴对称: (a,?b) ; 2.C;3.C;4.D;5.C;

6. (1)偶函数,提示: f (? x) ? f ( x) ; (2)非奇非偶; (3)奇函数,提示: f (? x) ? ? f ( x) ; 7. (1)若函数为奇函数, a ? c ? 0, b ? R ; (2)若函数为偶函数, b ? 0, a ? R, c ? R ; 8.如图所示, (?6,?3) ? (0,3) ;

0

3 第8题

6

能力拓展:9. f ( x) ? x2 ? 2 , g ( x) ? x 11 略 12 解:

10. ?17

f ( x) 的图像关于原点对称,? f ( x) 是奇函数, f (? x) ? ? f ( x) .

又 f ( x ) 在 R 上? f (0) ? ? f (0) ,解得 f (0) ? 0 . 若 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f (? x) ? (? x)2 ? 2(? x) ? 3 ? x2 ? 2 x ? 3 ? ? f ( x)

? f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 3
? x ? 2 x ? 3 ( x ? 0) ? 0 ( x ? 0) .??8 分 于是有 f ( x) ? ? ??2 x 2 ? 2 x ? 3( x ? 0) ?
2

y

函数 f ( x ) 的图像如图所示:???????12 分 由图像可知 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1] 、 [1, ??) ; 递减区间为 (?1, 0) 、 (0,1) .????????14 分
?? 4 ? a ? 1 ? 4 ?? 4 ? a ? 1 ? 4 ? ? 13. ?? 1,1? (注: ?? 4 ? a ? 3 ? 4 即 ?? 4 ? a ? 3 ? 4 ) ; ? f (a ? 1) ? f (3 ? a ) ?a ? 1 ? 3 ? a ? ?

x


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