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第27讲 排列组合


高中数学奥林匹克与数学自主招生讲义(暑假)

《第九讲

排列组合 (1) 》

第九讲 排列组合 1、无重复的排列组合 1.排列:从 n 个不同的元素取出 m ? m ? n ? 个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(因为这些元素互不相同,所以也称为无重 复排列)

2.排列数:从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列个数称为排列数,记为 Anm
m An ? n(n ? 1)(n ? 2) ?

(n ? m ? 1) ?

n! ,约定 0! ? 1 . (n ? m)!

特别的,当 m ? n 时,从 n 个不同元素中取 n 个不同元素的排列,叫做 n 个不同元素的
n 全排列;全排列的个数为 An ? n !.

3.组合: 从 n 个不同的元素取出 m ? m ? n ? 个不同的元素并成一组,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合(因为这些元素互不相同,所以也称为无重复的组 合) . 4. 组合数: 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素的组合的个数 称为组合数. , 记为 Cnm
Cnm ? n! . m !( n ? m )!

例 1. 由 1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字,并且大于 21300 的正整数. 思考: 如果把这些数从小到大排列,则排在第 73 位的数是哪一个?

例 2.从 7 名乒乓球队队员和 5 名乒乓球员中选出 4 名进行男女混合双打,不同的分组方法 有多少种?

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《第九讲

排列组合 (1) 》

例 3.8 名男生和 5 名女生排成一排,要求女生必须相邻,有多少种排法?

例 4. 8 名男生和 5 名女生排成一排,要求女生不相邻,有多少种排法?.

2、可重复的排列组合 1.可重复的排列:从 n 个不同的元素取出 m 个元素(同一个元素允许重复取出) ,按照一 定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的可重复排列,此时这种排列的 m 个数为 n . 2.可重复的组合:从 n 个不同的元素取出 m 个元素(同一个元素允许重复取出)并成一 组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的可重复组合,此时这种组合的个数为 Cn ? m ?1 3 . 不 全 相 异 元 素 的 全 排 列 : 如 果 n 个 元 素 中 , 分 别 有 n1 , n2 , nk 个 元 素 相 同 , 且 n1 ? n2 ? ? nk ? n ,则这 n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列,其不同的排列个数 记为
n! . n1 ! n2 ! nk ! n! . n1 ! n2 ! nk !
m

4. 多组组合: 如果把 n 个相异元素分为 k(k≤n)个按照一定顺序排类的组, 其中第 i 组有 ni 个元素(i=1,2,3,……k), n1 ? n2 ?
? nk ? n ) ,则不同的分组方法的种数为

例 5.从银行中取出 5 角,1 元,2 元,5 元,10 元,50 元,100 元的纸币共 10 张,共有多 少种不同的取法?

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《第九讲

排列组合 (1) 》

例 6.将 3 面红旗,4 面蓝旗,2 面黄旗依次悬挂在旗杆上,问可以组成多少种不同的标志.

例 7.用字母 A,B,C 组成 5 个字母的符号,要求在每一个符号里,A 至多出现 2 次,B 至多出现 1 次,C 至多出现 3 次,求此类符号的个数.

例 8.将 6 个蓝球,5 个红球,4 个白球,3 个黄球排成一行,要求黄球不挨着,问有多少种排列方 式?

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《第九讲

排列组合 (1) 》

3、圆周排列 圆排列:从 n 个不同的元素(无重复地)取出 k ?1 ? k ? n ? 排在一个圆周上,称为 n 个不同 元素的一个 k-圆周排列,如果一个 k-圆周排列旋转可以得到另一个圆周排列,则认为这两 个排列相同,n 个不同元素的 k-圆周排列数为
k An n! . . ? k k (n ? k )!

例 9.10 个男孩和5个女孩站成一个圆圈,如果没有两个女孩相邻,问有多少种排法?

4、 一类不定方程的非负整数解的个数 (1) 不定方程 x1 ? x2 ? (2) 不定方程 x1 ? x2 ?
? xm ? n ? n, m ? N? ? 有序非负整数解 ? x1 , x2 ,
? xm ? n ? n, m ? N? ? 有序正整数解 ? x1 , x2 ,

, xm ? 的个数 Cn ? m ?1 ;
m ?1

, xm ? 的个数 Cn ?1 .
m ?1

例 10.将 24 个苹果分给 3 个小朋友,则每一个小朋友至少有一个苹果且互不苹果数互不相 同的分配方法共有多少种?


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