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2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷带解析

时间:2013-07-21


? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ?

? ? ? ○ ? ? ? ?

2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷带解析
1.若 1? 2 i 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则 ( (A) b ? 2, c ? 3 . )

9.在 ( x ?

2 6 ) 的二项展开式中,常数项等于 x
1 2

. 为公比的等比数列,体积分别记为 .

10.有一列正方体,棱长组成以 1 为首项,

(B) b ? ?2, c ? 3 . (C) b ? ?2, c ? ?1 .(D) b ? 2, c ? ?1 . ) (D)不能确定.

V1,V2,?,Vn,?,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ?
n ??

2.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是( (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形.

11.已知函数 f ( x) ? e| x?a| ( a 为常数).若 f (x) 在区间[1,+?)上是增函数,则 a 的取值范围 是 . 12.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2?的半圆面,则该圆锥的体积为 13.已知 y ? f ( x) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ? 14.如图,在极坐标系中,过点 M (2, 0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ?
?
6

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

3. 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 104 ,x5 ? 105 . 随机变量 ? 1 取值 x1 、x2 、x3 、x4 、x5 的概率均为 0.2, 设 随机变量 ?2 取值
x1 ? x2 2

. .



x 2 ? x3 2



x3 ? x 4 2



x 4 ? x5 2



x5 ? x1 2

的概率也为 0.2. .若将 l 的极坐标方程写成

若记 D?1 、 D?2 分别为 ? 1 、 ?2 的方差,则( (A) D?1 > D?2 . (B) D?1 = D?2 . (C) D?1 < D?2 .



? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ?
l O

.

?
M x

(D) D?1 与 D?2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关. 4.设 an ? 1 sin n? , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 在 S1, S2 ,?, S100 中,正数的个数是( n 25 A、25. B、50. C、75. D、100. )

15.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示). 16.在平行四边形 ABCD 中,∠A= 3 , 边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点, 且满足
?

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是 ? | BC | | CD |

.

第 II 卷(非选择题)

17.已知函数 y ? f (x) 的图像是折线段 ABC,若中 A(0,0),B( 1 ,5),C(1,0). 2 函数 y ? xf ( x) (0 ? x ? 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为 .

5.计算:

3?i = 1? i

(i 为虚数单位). .

18.如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2. 若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 . D

6.若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x | x ? 1 ? 2} ,则 A ? B = 7.函数 f ( x) ?

2 cos x 的值域是 sin x ? 1

. C (结果用反三角函数值表 A B l

8.若 n ? (?2, 1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 示).

?
评卷人
第1页 共4页 ◎

得分

三、解答题(题型注释)

O

M

x

第2页 共4页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,求证: 19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2, AD=2 2 ,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; 分) (6 (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分) P

OP⊥OQ; 分) (6
(3)设椭圆 C2 : 4 x 2 ? y 2 ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.(6 分) 23 . 对 于 数 集 X ? {?1, x1, x2 , ?, xn } , 其 中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 , 定 义 向 量 集

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ?Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质
E A B C D P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; 分) (4 (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; 分) (6 (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 x1, x2 , ?, xn 的通 项公式.(8 分)

20.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; 分) (6 (2) g (x) 是以 2 为周期的偶函数, 若 且当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? f ( x) , 有 求函数 y ? g (x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.(8 分) 21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立 平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?
12 49

x2 ;②定位后救援船即刻沿直线匀

速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为. (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大 小和方向; 分) (6 (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8 分) y P

O A

x

22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; 分) (4
第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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参考答案 1. B ) ( 【解析】 实系数方程虚根成对,所以 1? 2 i 也是一根,所以-b=2,c=1+2=3,选 B. 2. C ) ( 【解析】 由条件结合正弦定理,得 a 2 ? b2 ? c 2 ,再由余弦定理,得 cosC ? 所以 C 是钝角,选 C. 3. A ) ( 【 解
x1 ? x2 2 a 2 ?b 2 ?c 2 2 ab

? 0,

析 +
x 2 ? x3 2

】 +
x3 ? x 4 2

E?1 ? 0.2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )
x 4 ? x5 2

=t



E?2 ? 0.2(

+

+

x5 ? x1 2

)=t,

D?1 ? 0.2[(x1 ? t )2 + ( x2 ? t )2 + ( x3 ? t )2 + ( x4 ? t )2 + ( x5 ? t )2 ]
2 2 2 2 ? 0.2[(x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] ;



x1 ? x 2 2

? ? x1 ,

x2 ? x3 2

? ? x2 ,?,

x5 ? x1 2

? ? x5 ,同理得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D?2 ? 0.2[(x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] ,
2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 只要比较 x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 与 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 有大小,

? ? ? ? ? x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 ? 1 [(x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ] 4
2 2 2 2 ? 1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? (2x1x2 ? 2x2 x3 ? 2x3 x4 ? 2x4 x5 ? 2x5 x1)] 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? ( x12 ? x2 ) ? ( x2 ? x3 ) ? ( x3 ? x4 ) ? ( x4 ? x5 ) ? ( x5 ? x12 )] 4 2 2 2 2 ? x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ,所以 D? 2 ? D?1 ,选 A.

[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项 D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴 招!稍加计算,考生会发现 E?1 和 E?2 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数 据的两两平均值,故比第一组更“集中” 、更“稳定” ,根据方差的涵义,立得 D?1 > D?2 而 迅即攻下此题。 4. D 【解析】 对于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都为正数.
? 当 26≤k≤49 时,令 25 ? ? ,则 k? ? k? ,画出 k?终边 25

答案第 1 页,总 9 页

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y
13? 23? 24? ? 12? ? 2?

?

26? 27? ?

?

49? 48?

x

37? 38?

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) , 所 以 Sk ? 1 s i n + ? 1 + 1 sin k? k
1 1 1 1 = 1 sin ? + 1 sin 2? +?+ ( 24 ? 26 ) sin 24? + ( 23 ? 27 ) sin 23 +?+ ( 501 k ? 1 ) sin(50 ? k )? ,其 ? 1 2 ? k 1 2

sin 2? + ? +

1 23

sin 23? +

1 24

sin 24? +0+

1 26

sin 26? +

1 27

sin 27? ?

中 k=26,27,?,49,此时 0 ? 50 ? k ? k , 所以 501 k ? 1 ? 0 ,又 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,所以 sin(50 ? k )? ? 0 , ? k 从而当 k=26,27,?,49 时,Sk 都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数. 综上,可选 D. [评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析 Sk 的符号,为此,需借 助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重,是看清楚角序列的终边的 对称性,此为攻题之关键。 5. 1-2i 3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 3 ? 1 ? 4i 【解析】 ? ? ? 1 ? 2i . 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 6. (? ? , ?) ? 【解析】 A ? (? 1 , ? ?) , B ? (?1, 3) ,A∩B= (? 1 , 3) . 2 2
? 7. [? ? , ? ? ] ?

【解析】 f ( x) ? ?2 ? sin x cos x ? ?2 ? 1 sin 2 x ? [? 5 , ? 3 ] . 2 2 2 8.arctan2 【解析】方向向量 d ? (1, 2) ,所以 kl ? 2 ,倾斜角?=arctan2. 9. -160
r r 【解析】 展开式通项 Tr ?1 ? (?1)r C6 x6?r 2r x?r ? (?1)r C6 2r x6?2r ,令 6-2r=0,得 r=3, 3 故常数项为 ? C6 ? 23 ? ?160.

10.

? ?
答案第 2 页,总 9 页

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【解析】 易知 V1,V2,?,Vn,?是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,所以
V lim(V? ? V? ? L ? Vn ) ? ???? ? n ??
?

? ?

711. (-?, 1] 【解析】令 g ( x) ?| x ? a | ,则 f ( x) ? e g ( x ) ,由于底数 e ? 1 ,故 f (x) ↑? g (x) ↑, 由 g (x) 的图像知 f (x) 在区间[1,+?)上是增函数时,a≤1. 12.
3 3

?
1 2

【解析】 如图,

?l 2 ? 2? ?l=2 , 又 2?r2=?l=2??r=1 , 所 以 h= 3 , 故 体 积

V ? 1 ?r 2h ? 3

3 3

?.

考点:本题主要是考查旋转体的条件的求法,侧面展开图的应用,考查空间想象能力,计算 能力. 点评:解决该试题的关键是通过侧面展开图的面积.求出圆锥的母线,底面的半径,求出圆 锥的体积即可. 13. -1 【解析】

y ? f ( x) ? x 2 是 奇 函 数 , 则 f (?1) ? (?1)2 ? ?[ f (1) ? 12 ] ? ?4 , 所 以

f (?1) ? ?3 .
1014.
1 sin( ? ?? ) 6

【 解 析 】 M (2, 0) 的 直 角 坐 标 也 是 (2,0) , 斜 率 k ?

1 3

,所以其直角坐标方程为

x ? 3y ? 2 ,
化为极坐标方程为: ? cos? ? ? 3 sin ? ? 2 , ? ( 1 cos? ? 2
3 2

sin? ) ? 1,
1 cos(? ? ? ) 3

? sin(? ? ? ) ? 1 , ? ? 6
15.

1 sin( ? ?? ) 6

,即 f (? ) ?

1 sin( ? ?? ) 6

.(或 f (? ) ?



? ?

2 2 2 【解析】 设概率 p= k ,则 n ? C3 ? C3 ? C3 ? 27 ,求 k,分三步:①选二人,让他们选择 n


2 1 项目相同,有 C3 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有 C3 种;③确定另一人所选的

答案第 3 页,总 9 页

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1 2 1 1 项目,有 C2 种. 所以 k ? C3 ? C3 ? C2 ? 18,故 p=

?? ? ? . ?? ?
3 2

16.[2, 5] 【解析】 如图建系,则 A(0,0),B(2,0),D( 1 , 2 设 ),C( 5 , 2
3 2

).

| BM | | CN | ? ? t ?[0,1],则 | BM |? t , | CN |? 2t , | BC | | CD |
3t 2

t 所以 M(2+ 2 ,

),N( 5 -2t, 2

3 2

), ?
3 2

t 故 AM ? AN =(2+ 2 )( 5 -2t)+ 2

3t 2

= ? t 2 ? 2t ? 5 ? ?(t ? 1)2 ? 6 ? f (t ) ,

因为 t?[0,1],所以 f (t)递减,( AM ? AN )max= f (0)=5,( AM ? AN )min= f (1)=2. [评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在 B(N 在 C)和 M 在 C(N 在 D) ,而 本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 17.

? ?

【解析】如图 1, f ( x) ? ?

0? x? 1 ?10x, 2 , 1 10 ? 10x, 2 ? x ? 1 ?
1 2

所以 y ? xf ( x) ? ?

? 10x 2 , 0 ? x ?

2 1 ?? 10x ? 10x, 2 ? x ? 1



易知, =xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同, y 只是开口方向及顶点位置不 同,如图 2,封闭图形 MNO 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积 S= 1 ? 5 ? 2 2
5 4

.

[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少 的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路。 18.
2 3

c a2 ? c2 ? 1
D

D E B A

E
C

C B

A

【解析】 作 BE⊥AD 于 E,连接 CE,则 AD⊥平面 BEC,所以 CE⊥AD,由题设,B 与 C 都是在 以 AD 为焦距的椭球上,且 BE、CE 都垂直于焦距 AD,所以 BE=CE. 取 BC 中点 F, 连 接 EF , 则 EF ⊥ BC , EF=2 , S ?BEC ? 1 BC ? EF ? BE 2 ? 1 , 四 面 体 ABCD 的 体 积 2

V ? 1 AD ? S ?BEC ? 3

2c 3

BE 2 ? 1 ,显然,当 E 在 AD 中点,即 B 是短轴端点时,BE 有最大值
答案第 4 页,总 9 页

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2 2 为 b= a ? c ,所以 Vmax ?

2c 3

a2 ? c2 ? 1 .

[评注] 本题把椭圆拓展到空间,对缺少联想思维的考生打击甚大!当然,作为填空押轴题, 区分度还是要的,不过,就抢分而言,胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD(同时 AC=CD),从而致命一击,逃出生天! 19. (1) 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 ; (2) ? . 4 2 【解析】解: (1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD. ??3 分 z P E A B x
2

D C
2

y

因为 PD= 2 ? (2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,所以三角形 PCD 的面积为 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 . 2 ??6 分 (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系,则 B(2, 0, 0),C(2, 2 2 ,0),E(1, 1),
2,

AE ? (1, 2, 1) , BC ? (0, 2 2, 0) .
设 AE 与 BC 的夹角为?,则 cos? ? P F A B C E D
AE ? BC | AE|| BC |

??8 分

?

4 2? 2 2

?

2 2

,?= ? . 4

由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4

??12 分

[解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 ??8 分 在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2,知 ?AEF 是等腰直角三角形,所以∠AEF= ? . 4 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 20. (1) ?
2 3

??12 分

? x? 1; 3
x

(2) y ? 3 ? 10 , x ? [0, lg 2] .
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【解析】解: (1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0
2?2 x x ?1

?2 由 0 ? lg(2 ? 2x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x ?1x ? 1 得 1 ?

? 10 .
2 3

??3 分

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? 由?

? x? 1. 3
??6 分

? ?1 ? x ? 1 得? 2 ? x ? 1. 3 3 2 1 ?? 3 ? x ? 3

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) .
由单调性可得 y ? [0, lg 2] .

??10 分

因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10x , x ? [0, lg 2] . ??14 分
y

【考点定位】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识,考查数形结合思想, 要求熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质,属于中档题。
7 21. (1)arctan 30 弧度; (2)救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.

【解析】[解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 中,得 P 的纵坐标 yP=3. 由|AP|=
949 2

7 2

,代入抛物线方程 y ?

12 49

x2

??2 分 ??4 分

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.
7

由 tan∠OAP= 3 ?212 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度.

??6 分
2

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 .??10 分 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,

2 2 所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 .

因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 22. (1) S ? 1 | OA || y |? 2
2 8

??14 分

; (2)见解析; (3)定值为
x2
1 2

3 3

.

【解析】[解](1)双曲线 C1 :

? y 2 ? 1,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .

过点 A 与渐近线 y ? 2 x 平行的直线方程为 y ?
答案第 6 页,总 9 页

2 (x ?

2 2

即 ) , y ? 2 x ? 1.

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解方程组 ?

? ?y ? ? 2 x ?x ? ? ,得 ? ?y ? 1 ?y ? 2 x ?1 2 ?

2 4

.

??2 分

所以所求三角形的面积 1 为 S ? 1 | OA || y |? 2

2 8

.

??4 分

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切, 故
|b| 2

? 1 ,即 b2 ? 2 .

??6 分

由?

? y ? x?b ,得 x 2 ? 2bx ? b2 ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1
? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

又 y1 y2 ? ( x1 ? b)(x2 ? b) ,所以

OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2

? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,故 OP⊥OQ.
(3)当直线 ON 垂直于 x 轴时,|ON|=1,|OM|=
2 2

??10 分 ,则 O 到直线 MN 的距离为
2 2
3 3

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时,设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |? 的方程为 y ? ? 1 x . k 由?
2 同理 | OM | ?

) ,则直线 OM

? x2 ? ? y ? kx ? ,得 ? 2 2 2 ?y ? ?4 x ? y ? 1 ?
1? k 2 2 k 2 ?1

1 4? k 2 k2 4? k 2

2 ,所以 | ON | ?

1? k 2 4? k 2

.

.
2 2 2

??13 分
2 2

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM | ? | ON | )d ?| OM | | ON | , 所以 d12 ?
1 |OM | 2 1 ? |ON | 2 ? 3k 2 ? 3 k 2 ?1

? 3 ,即 d=

3 3

. ??16 分

综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 23. (1)4; (2)见解析; (3) xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n.

【解析】[解](1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) . 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . ??4 分

??2 分

答案第 7 页,总 9 页

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由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. ??7 分 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1. (3)[解法一]猜测 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. 记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, ?, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与 ??10 分 ??12 分

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明: xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. 当 n=2 时,结论显然成立;

??15 分

假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有且 只有一个为-1. 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ?
q s

? q ,这不可能;
答案第 8 页,总 9 页

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所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k . 综上所述, xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. 解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1

??18 分
t ? ? s22

.

记 B ? { s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称. ??14 分

注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn x n ?1
x n ?1 x n?2
xn xn?1

?

xn xn?2

???
xn x2

xn x2

?
xn x1

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

?

x n ?1 x1

??
x2 x1

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为 ??18 分

2 xk ? x1 ( x1 ) k ?1 ? q k ?1 ,k=1, 2, ?, n. x

答案第 9 页,总 9 页


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