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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):8.4直线与圆、圆与圆的位置关系


[知识能否忆起]

1、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆

的半径为r)

相离 图形 方程 量 观点 化 几何 观点

相切

相交

Δ< 0
D> r

Δ= 0
D= r

Δ>0


D< r

2、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d

=|O1O2|)
[动漫演示更形象,见配套课件]

相离

外切

相交

内切

内含

图 形
量 d>r +r d=r +r 1 2 1 2 ________ ________ 化 |r1-r2|<d _________ d=|r -r | d<|r1-r2| 1 2 <r1+r2 ________ ________ _________

[小题能否全取]

1.(教材习题改编) 圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5
=0的位置关系是 A.相切 C.相交过圆心 ( B.相交但直线不过圆心 D.相离 )

解析:由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离 d= 5,0<d< 6,故该直线与圆相交但不过圆心.

答案:B

2.圆 x2+y2-2x=0 与 x2+y2+4y=0 的位置关系是 (
A.相离
C.相交

)

B.外切
D.内切

解析:圆的方程分别化为 (x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4, ∵|O1O2|= 1+4= 5,而 r1+r2=3, ∴r2-r1<|O1O2|<r1+r2, ∴两圆相交.

答案:C

3.直线x-y+1=0与圆x2+y2=r2相交于A,B两点,且 AB的长为2,则圆的半径为
3 2 A. 2 C.1 B. 6 2

(

)

D.2

1 解析:圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d= .则r2 2 ?1 ? 3 6 2 2 =?2|AB|? +d = ,r= . 2 2 ? ?

答案:B

4.(教材习题改编)若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公

共点,则实数k的取值范围是________. 2 解析:由题意知 2 >1,解得- 3<k< 3. 1+k
答案:(- 3, 3)

5.已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2 +2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是 ____________. 解析:两圆相减即得x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0

1.求圆的弦长问题,注意应用圆的几何性质解题, 即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可用勾股定理

或斜率之积为-1列方程来简化运算.
2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的 情况.

直线与圆的位置关系的判断

[例1]

(2012· 陕西高考)

已知圆C:x2+y2-4x= ( )

0,l是过点P(3,0)的直线,则

A.l与C相交
C.l与C相离

B.l与C相切
D.以上三个选项均有可能

[自主解答]

将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得

32+02-4×3=9-12=-3<0, 所以点P(3,0)在圆内.

故过点P的直线l定与圆C相交.
[答案] A

本例中若直线l为“x-y+4=0”问题不变.
解:∵圆的方程为(x-2)2+y2=4, ∴圆心(2,0),r=2. 6 又圆心到直线的距离为d= =3 2>2. 2 ∴l与C相离.

判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小
关系. (2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆 内可判断直线与圆相交.

1.(2012· 哈师大附中月考)已知直线l过点(-2,0),当直线l
与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是 ( ) A.(-2 2,2 2) B.(- 2, 2)
? C.?- ? ?

2 2? ? , ? 4 4?

? 1 1? D.?-8,8? ? ?

(2)(2013· 烟台模拟)圆 x2 +y2-2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为 A.相离 B.相切 ( )

C.相交

D.以上都有可能

解析:(1)易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是 1,直线 l 的方 程是 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0,根据点到直线的距离 |k+2k| 1 2 2 2 公式得 2 <1,即 k < ,解得- <k< . 8 4 4 k +1 (2)∵圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9,∴圆心为(1,- 2),半径 r=3.又圆心在直线 2tx-y-2-2t=0 上,∴圆与 直线相交.

[答案] (1)C

(2)C

直线与圆的位置关系的综合

[例2]

(1)(2012· 广东高考)在平面直角坐标系xOy中,

直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦 AB的长等于
A.3 3 C. 3 B.2 3 D.1

(

)

(2)(2012· 天津高考)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n

+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值
范围是
A.[1- 3,1+ 3 ] B.(-∞,1- 3 ]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2 ] D.(-∞,2-2 2 ]∪[2+2 2,+∞)

(

)

[自主解答]

(1)圆 x2+y2=4 的圆心(0,0),半径为 2,

5 则圆心到直线 3x+4y-5=0 的距离 d= 2 2=1. 3 +4 故|AB|=2 r2-d2 =2 4-1=2 3.

(2)圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离 1 为 2 2 =1,所以 m+n+1=mn≤ 4 (m+ ?m+1? +?n+1? n)2, 整理得[(m+n)-2]2-8≥0, 解得 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2. |m+n|

[答案] (1)B

(2)D

1.圆的弦长的常用求法:
(1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,
? l ?2 则? ? =r2-d2. ?2 ?

(2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式:
|AB|= 1+k2|x1-x2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2].

[注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题. 2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与

圆的位置关系,若点在圆内,无解;若点在圆上,有一解;
若点在圆外,有两解.

2.(2013· 杭州模拟)直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4

相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是(
? 3 ? A.?- ,0? ? 4 ? ? B.?- ? ?

)

3 3? ? , ? 3 3 ?

C.[- 3,

3]

? 2 ? D.?- ,0? ? 3 ?

解析:如图,设圆心 C(2,3)到直线 y= kx+3 的距离为 d,若|MN|≥2 3,则 d2
?1 ? |2k|2 =r2-?2|MN|?2≤4-3=1,即 ≤1, 1+k2 ? ?

3 3 解得- ≤k≤ . 3 3

答案:

B

圆与圆的位置关系

[例3] (1)(2012· 山东高考)圆(x+2)2+y2=4与圆(x- 2)2+(y-1)2=9的位置关系为 ( )

A.内切
C.外切

B.相交
D.相离

(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1), 则两圆心的距离|C1C2|=________.

[自主解答]

(1)两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分

别为 2 和 3,圆心距 d= 42+1= 17.∵3-2<d<3+2, ∴两圆相交. (2)由题意可设两圆的方程为(x-r)2+(y-r)2=r2,r

>0.由两圆都过点(4,1)得(4-r)2+(1-r)2=r2,整理得 r2 -10r+17=0,此方程的两根即为两圆的半径 r1,r2,所 以 r1r2=17, 1+r2=10, r 则|C1C2|= ?r1-r2?2+?r1-r2?2= 2× ?r1+r2?2-4r1r2= 2× 100-68=8.

[答案] (1)B

(2)8

两圆位置关系的判断常用几何法,即利用两圆圆心 之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数 法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两 圆的方程作差得到.

3.(2012· 青岛二中月考)若⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x- m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处

的切线互相垂直,则线段AB的长是________.
解析:依题意得|OO1|= 5+20=5,且△OO1A 是直 1 |AB| 1 角三角形,S△O O1A= · · 1|= · |OO |OA|· 1 |, |AO 2 2 2 2· |OA|· 1 | 2× 5×2 5 |AO 因此|AB|= = =4. |OO1 | 5

答案:4

[典例] (2013· 东城模拟)直线l过点(-4,0)且与圆(x +1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,那么 直线l的方程为 A.5x+12y+20=0 B.5x-12y+20=0或x+4=0 ( )

C.5x-12y+20=0
D.5x+12y+20=0或x+4=0

[尝试解题] 过点(-4,0)的直线若垂直于 x 轴, 经验证 符合条件,即方程为 x+4=0 满足题意;若存在斜率,设 其直线方程为 y=k(x+4), 由被圆截得的弦长为 8, 可得圆 |3k-2| 心(-1,2)到直线 y=k(x+4)的距离为 3,即 2=3, 1+k 5 解得 k=- ,此时直线方程为 5x+12y+20=0,综上直 12 线方程为 5x+12y+20=0 或 x+4=0.

[答案] D

1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.
2.对于过定点的动直线设方程时,可结合题意或作 出符合题意的图形分析斜率k是否存在,以避免漏解.

?针对训练

过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引切线的方程为_________

_________.
解析:显然 x=2 为所求切线之一.当切线斜率存在时, 设切线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0,那 |4-2k| 3 么 2 =2,k= ,即 3x-4y+10=0. 4 k +1

答案:x=2或3x-4y+10=0

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2013· 江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x-3)2

+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线
方程为 ( )
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(五十二)”

A.2x+y-3=0 C.x+2y-3=0

B.x-2y+1=0 D.2x-y-1=0

1 解析:圆心 C(3,0),kCP=- ,由 kCP·MN=-1,得 kMN k 2 =2,所以弦 MN 所在直线方程是 y-1=2(x-1),即 2x -y-1=0.

答案:D

2.两个圆:C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2: x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有

(
A.1条 C.3条 B.2条 D.4条

)

解析:由题知 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,则圆心 C1(-1, -1),C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心 C2(2,1),两圆半径 均为 2,又|C1C2|= ?2+1?2+?1+1?2= 13<4,则两圆相 交?只有两条外公切线.

答案:B

3.(2012· 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方 程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存

在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有
公共点,则k的最大值是________.
解析:设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d, |4k-2| 则 d= 2 ,由题意知,问题转化为 d≤2,即 d k +1 |4k-2| 4 4 = 2 ≤2,得 0≤k≤ ,所以 kmax= . 3 3 k +1 4 答案: 3

4.过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得 的弦长为 2,则直线 l 的斜率为________.

解析:将圆的方程化成标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1, 2 其圆心为(1,1),半径 r=1.由弦长为 2得弦心距为 .设 2 直线方程为 y+2=k(x+1),即 kx-y+k-2=0,则 |2k-3| = 2 k +1 1
2

? -? ? ?

2 2 ?2 ? = ,化简得 7k2-24k+17=0, 2 2? ?

17 得 k=1 或 k= . 7 17 答案:1 或 7

5.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1). (1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程;
(2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程.
解:(1)设圆 O2 的半径为 r2, ∵两圆外切, ∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( 2-1), 故圆 O2 的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2.

2 (2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,

又圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4, 此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程: 4x+4y+r2-8=0. 2 因为圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离为 |r2-12| 2 = 4 2
?2 2? ?2 4-? ? 2 ? = ? ?

2,

解得 r2=4 或 r2=20. 2 2 故圆 O2 的方程为 (x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20.


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