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【2014泉州市5月质检】福建省泉州市2014届高三5月质量检测 数学理 高清扫描版含答案

时间:2014-05-24


泉州市 2014 届高中毕业班 5 月质量检测理科数学

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泉州市 2014 届普通中学高中毕业班质量检测 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考 生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9. B 10.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11、 ?i ; 12、 16 ; 13、 65 ; 14、 200 ; 15、 4 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以 及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)依题意,得 a ? b ? c ? 0.6 ,即 a ? a ? 0.1 ? a ? 0.2 ? 0.6 ,解得 a ? 0.1 ,?2 分 所以 b ? 0.2, c ? 0.3 .??????3 分 故该队员射击一次,击中目标靶的环数 ? 的分布列为:

?
P

6 0.1

7 0.2

8 0. 3 ????5 分

9 0.36

10 0.04

E? ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.2 ? 8 ? 0.3 ? 9 ? 0.36 ? 10 ? 0.04 ? 8.04 . ??????6 分
(Ⅱ)记事件 A : “该队员进行一次射击,击中 9 环” ,事件 B : “该队员进行一次射击,击中 10 环” ,则事件“该队员进行一次射击,击中 9 环以上(包括 9 环) ”为 A ? B .???7 分 因为 A 与 B 互斥,且 P( A) ? 0.36, P( B) ? 0.04 ,

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所以 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 . ????8 分 所以,该射击队员在 10 次的射击中,击中 9 环以上(含 9 环)的次数为 k 的概率
k P( X ? k ) ? C10 ? 0.4k ? 0.610?k (k ? 0,1, 2,

,10) . ??????10 分

* 当 k ? 1 , k ? N 时,

k C10 ? 0.4k ? 0.610?k P( X ? k ) 2(11 ? k ) . ? k ?1 ? k ?1 10? k ?1 P( X ? k ? 1) C10 ? 0.4 ? 0.6 3k



22 P( X ? k ) . ??????12 分 ? 1 ,解得 k ? 5 P( X ? k ? 1)

所以当 1 ? k ? 4 时, P( X ? k ? 1) ? P( X ? k ) ; 当 5 ? k ? 10 时, P( X ? k ? 1) ? P( X ? k ) . 综上,可知当 k ? 4 时, P( X ? k ) 取得最大值.??????13 分

17.本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识,考查运 算求解能力与推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? 由?

?
3

) , ??????2 分 5? ? k? ,k ? Z .??3 分 12

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
12

? k? ? x ?

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? (Ⅱ)由 f ( ) ? 0 ,得 2sin( A ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

5? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z .??????4 分 12 ? 12 ?

A 2

?
3

) ? 0,
.????5 分

?

3 (ⅰ)由正弦定理,知 a cos B ? b cos A ? c sin C
2

可化为 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C ,??6 分 故 sin( A ? B) ? sin 2 C ,??????7 分
2 又因为 A ? B ? ? ? C ,所以 sin(? ? C) ? sin 2 C 即 sin C ? sin C ,

因为 sin C ? 0 ,所以 sin C ? 1 ,

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又由于 0 ? C ? ? ,所以 C ? 所以 B ? ? ? ( A ? C ) ? (ⅱ) AB ? ? AC ?

?
2

,??????8 分

?
6

.??????9 分
2

? AB ? ? AC ?
?
3

?

AB ? 2? AB ? AC cos A ? ? 2 AC ,?10 分

2

2

又 AB ? AC ? 3 , A ? 所以 AB ? ? AC ?


2

?1 ? ? ? ? ? AB
2

1? 3 ? ? (1 ? ? ? ? 2 )32 ? 3 ? ? ? ? ? ,12 分 2? 4 ?

2

故当 ? ? ?

1 3 3 时, g (? ) ? AB ? ? AC 的值取得最小值 .??????13 分 2 2

另 解 : 记 AB ? ? AC ? AP , 则 P 是 过 B 且 与 AC 平 行 的 直 线 l 上 的 动 点 ,

g (? ) ?| AP | ,????12 分
所以 g (? ) 的最小值即点 A 到直线 l 的距离

3 3 .????13 分 2

18.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、 运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)因为 A(4, 0) 为椭圆 G 的一个长轴端点, 所以可设椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,??????1 分 16 b2 因为当直线 l 垂直 x 轴时, BC ? 6 ,所以椭圆 G 过点 (2,3) ,??2 分
所以

4 9 ? ? 1 ,解得 b 2 ? 12 . ??????3 分 16 b 2 x2 y 2 ? ? 1 .??????4 分 故所求椭圆的方程为 16 12 (Ⅱ)方法 1:设直线 l 的方程为 x ? my ? 2 , ? x ? my ? 2 2 2 联立方程组 ? 2 ,消去 x ,得 (3m ? 4) y ? 12my ? 36 ? 0 ,??5 分 2 ?3x ? 4 y ? 48 12m , 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? 3m2 ? 4 ??① 36 y1 ? y2 ? ? 2 3m ? 4 .??② ????6 分 又 AC ? ( x2 ? 4, y2 ), FB ? ( x1 ? 2, y1 ) ,且 AC BF ,??????7 分
故 ( x2 ? 4) y1 ? ( x1 ? 2) y2 ? 0 ,即 (my2 ? 2) y1 ? (my1 ? 4) y2 ? 0 ,

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即 y1 ? ?2 y2 .???③ ????9 分

4 18 ? 12m ? 2 由①②③得 ? ,所以 m ? .????11 分 ? ? 2 2 5 ? 3m ? 4 ? 3m ? 4 4 2 5 2 当 m ? 时, ? ? 0 ,所以 m ? ? ,????12 分 5 5 2 5 所以直线 l 的方程为 x ? ? y ? 2, 5 即 5x ? 2 5 y ?10 ? 0 或 5x ? 2 5 y ?10 ? 0 .????13 分 方法 2:①当直线 l 的斜率不存在时, AC 与 BF 不平行;??????5 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , ? y ? k ( x ? 2), 联立方程组 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 48.
消去 y ,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ,????6 分

2

16k 2 ,????① 3 ? 4k 2 16k 2 ? 48 x1 ? x2 ? ????② ????7 分 3 ? 4k 2 又 AC ? ( x2 ? 4, y2 ), FB ? ( x1 ? 2, y1 ) ,且 AC BF , ??????8 分 故 ( x2 ? 4) y1 ? ( x1 ? 2) y2 ? 0 ,
设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 即 k ( x2 ? 4)( x1 ? 2) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 , 即 x1 ? 2 x2 ? 6 ????③ ????9 分

? 8k 2 ? 18 x ? ? ? 1 3 ? 4k 2 由①③得 ? , 2 ? x ? 8k ? 18 ? 2 3 ? 4k 2 ? 8k 2 ? 18 8k 2 ? 18 16k 2 ? 48 ? 代入②得 ??????11 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 5 2 化简,得 k ? , 4 5 5 2 当 k ? 时, ? ? 0 ,故 k ? ? ,????12 分 4 2 所以直线 l 的方程为 5x ? 2 5 y ?10 ? 0 或 5x ? 2 5 y ?10 ? 0 .??13 分
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)在正方形 ABCD 中, AB ? AD , 又 PA ? AB , PA AD ? A ,

? AB ? 平面 PAD ,????2 分
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PD ? 平面 PAD , ? AB ? PD ??????3 分
又 (Ⅱ) 点 E 、 F 分别是棱 AD 、 BC 的中点,连结 PE , EF ,则 PE ? AD, EF

AB ,

又由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PAD , ∴ EF ? 平面 PAD , 又 AD, PE ? 平面 PAD , ∴ EF ? AD, EF ? PE ,??????4 分 如图,以点 E 为坐标原点,分别以 AD, EF , EP 所 在直线为为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系
E(O) B P z

D F

C

y

O ? xyz .

A x

由题设可知: PA ? PD ? AB ? AD ,故不妨设 AB ? 2 , 则 A(1,0,0), D(?1,0,0), B(1, 2,0), C(?1, 2,0), F (0, 2,0), P(0,0, 3)

PB ? (1, 2, ? 3) , PC ? (?1, 2, ? 3) ,??????5 分
AB ? 平面 PAD , ? 平面 PAD 的一个法向量为 AB ? (0, 2,0) ,????6 分
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

PB ? n, PC ? n ,
? ? ? ?x ? 0 ? PB ? n ? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 0 ,即 ? ,解得 ? , ?? 2 y ? 3 z ? 0 ? PC ? n ? 0 ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? ? ? ? ?
令 z ? 2 ,得 y ? 3 ,

? 平面 PBC 的一个法向量为 n ? (0, 3, 2) .??????7 分
设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? AB, n ? ?

AB ? n AB n

?

0?2 3 ?0 3 21 ? ? . 7 2? 7 7

? 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为

21 . ?????8 分 7

(Ⅲ)由(Ⅱ)已证得 PE ? EF ,则截面 ?PEF 为直角三角形.

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1 1 EF ? EP ? AD ? EP ? S ?PAD ? 1, 2 2 ? EF ? EP ? 2. ??????9 分 1 设 ?PEF 的内切圆半径为 r , 则 S ?PEF ? ( PE ? EF ? FP ) ? r ? 1 2 S?PEF ?

?r ?

2 2 ? PE ? EF ? PF PE ? EF ? PE 2 ? EF 2
2 2 1 ? ? ? 2 ? 1, ??????10 分 2 PE ? EF ? 2 PE ? EF 2 2 ? 2 2 ?1

?

∴当且仅当 EF ? EP 时, ?PEF 有最大内切圆,其半径 r ? 此时 EF ? EP ? 2 , PF ? 2. ??????11 分

2 ? 1.

S?PAB ? S?PCD ?

1 1 1 1 5 5 S?PBC ? BC ? PF ? ? 2 ? 2 ? 2 , , PA ? AB ? ? 2? 2 2 2 2 2 2

S?PAD ? 1, SABCD ? AD ? EF ? ( 2)2 ? 2.
设 ?PEF 的内切圆圆心 O 到侧面 PAB 、侧面 PCD 的距离为 d , 则 VP ? ABCD ?

1 1 1 1 r ? ( S?PAD ? S?PBC ? S ABCD ) ? d ? S ?PAB ? d ? S ?PCD ? EP ? S ?ABCD , 3 3 3 3

即 r ? (S?PAD ? S?PBC ? S ABCD ) ? 2d ? S?PAB ? EP ? S?ABCD , 所以 ( 2 ? 1) 1 ? 2 ? 2 ? 5d ? 2 2 , 解得 d ?

?

?

1 ? 2 ? 1 ? r. ??????12 分 5

∴在四棱锥 P ? ABCD 的内部放入球心 O 在截面 PEF 中的球,其最大半径 R 是

2 ? 1, 该最大半径的球只能与四棱锥 P ? ABCD 的三个面相切. ???13 分
20.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转 化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)当 a ?

2 2 2 且 x ? ?1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , 3 3

f '( x) ?

1 4 ?4 x 2 ? 4 x ? 3 (2 x ? 3)(2 x ? 1) ? x? ?? ,????2 分 x ?1 3 3( x ? 1) 3( x ? 1)

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令 f '( x) ? 0 , 因为 x ? ?1 ,所以 (2 x ? 3)(2 x ? 1) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 所以函数 f ( x ) 的递增区间为 ( ?1, ) .????4 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ?1 , 不等式 f ( x) ? x ? 1 ?1即 ln x ?1 ? x ?1 ?1 ? 0 , ????5 分 令 t ? x ? 1 ,则 t ? 0 , 此时不等式 ln x ?1 ? x ?1 ?1 ? 0 等价于不等式 ln t ? t ? 1 ? 0(t ? 0) . 令 ? (t ) ? ln t ? t ? 1 ,则 ? '(t ) ? ? 1 ? 令 ? '(t ) ? 0 ,得 t ? 1 .

1 , 2

1 2

1 t

1? t . ????7 分 t

? (t ), ? '(t ) 随 t 的变化情况如下表
t
(0,1)
1
0 极大值 0

(1, ??)

? '(t )

?
递增

?
递减

? (t )

由表可知,当 t ? 0 时, ? (t ) ? ? (1) ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 . 所以 f ( x) ? x ? 1 ?1成立. ????9 分
2 (Ⅲ)当 x ? ?1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax , f '( x) ?

1 ? 2ax , x ?1

所以直线 l 的斜率 k ? f '(0) ? 1 , 又 f (0) ? 0 ,所以直线 l 的方程为 y ? x . 令 g ( x) ? ln x ?1 ? ax ? x ,则命题“函数 y ? f ( x) 的图象上存在点在直线 l 的上
2

方”可等价转化为命题“存在 x ? (??, ?1)

(?1, ??) ,使得 g ( x) ? 0 .”??10 分

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1 ? 2ax ? 1 , x ?1 1 ? 2ax ? 1 , 当 x ? ?1 时, g ( x) ? ln(? x ?1) ? ax2 ? x , g '( x) ? x ?1
当 x ? ?1 时, g ( x) ? ln( x ? 1) ? ax2 ? x , g '( x) ? 所以,对 x ? (??, ?1)
2

(?1, ??) ,都有

x
g '( x )

?2ax ? (2a ? 1) x ? x ?1 x ?1 2a ? 1 令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? ? . 2a 2a ? 1 ? ?1 , g ( x), g '( x) 随 x 的变化情况如下表: ①当 a ? 0 时, ? 2a 1 1 1 (?1, 0) (??, ?1 ? ) ?1 ? (?1 ? , ?1) 0 2a 2a 2a g '( x) ?
+ 递增 又因为 g (?1 ? 0 极大值 - 递减 + 递增 0 极大值

?2ax( x ? 1 ?

1 ) 2a . ??11 分

(0, ??)
- 递减

g ( x)

1 1 1 ) ? ln ? ? a, g (0) ? 0 , 2a 2a 4a

所以, 为使命题 “存在 x ? (??, ?1) 使 得

(?1, ??) ,

g ( x) ? 0 . ” 成 立 , 只 需

1 1 1 ) ? ln ? ?a ?0. 2a 2a 4a 1 1 1 1 ) ? ln t ? t ? , 令t ? ,则 g (?1 ? 2a 2a 2 2t 1 1 令 h(t ) ? ln t ? ? t (t ? 0) , 2t 2 1 1 1 因为 h '(t ) ? ? 2 ? ? 0 ,所以 h(t ) 在 (0, ??) 上为增函数, t 2t 2 g (?1 ?
又注意到 h(1) ? 0 , 所以当且仅当 t ?

1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, h(t ) ? 0 , 2a 2 1 1 ? 1? ? ? a ? 0 的解集为 ?a 0 ? a ? ? ;????13 分 2a 4a 2? ?

故关于 a 的不等式 ln

②当 a ? 0 时,因为存在 x ? ?e ? 1 使得 g (?e ?1) ? e ? 2 ? a(e ? 1)2 ? 0 恒成立,

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所以,总存在点 (?e ? 1, 1 ? a(e ? 1)2 ) 在直线 l 的上方. 综合①②,可知 a 的取值范围为 ?a a ?

? ?

1? ? . ????14 分 2?

21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 解:(Ⅰ)由题意,可知存在实数 ? (? ? 0) ,使得 ?

? 1 0 ?? k ? ?k ? ?? ? ? ? ? ? ,???1分 ? m 2 ?? 0 ? ?0?

即?

?k ? ?k , ???2分 ?mk ? 0 ? ? ?1 , ???3分 ?m ? 0 ?k ? ?0?

又因为 k ? 0 ,所以 ?

所以 m ? 0 ,特征向量 ? ? 相应的特征值为1. ????4分

(Ⅱ)因为 B ? ?1 ,所以 B ?1 ? ?

? ?1 2 ? ? , ????6分 ? 2 ?3 ?

故 B?1A ? ?

? ?1 2 ?? 1 0 ? ? ?1 4 ? ?? ??? ? . ????7分 ? 2 ?3 ?? 0 2 ? ? 2 ?6 ?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)将 l1 , l2 的方程化为普通方程,得 l1 : y ? x , l2 : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,2分 联立方程组 ?

y?x ?x ? 2 ,解得 ? , ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?y ? 2 ?

所以 A 的坐标为 (2, 2) ,???3分 故点 A 的极坐标 (2 2,

?
4

) . ????4分
2 2

(Ⅱ)将曲线 C 的方程化为普通方程得 x ? y ? 8 ,????5分 所以曲线 C 是圆心为 O (0, 0) ,半径为 2 2 的圆,且 A (2, 2) 在曲线 C 上. 因为 kOA ? 1,所以曲线 C 过点 A 的切线 l 的斜率 kl ? ?1, 所以 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,??6分

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故 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 . ????7分 (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由已知得 t ? 3 ? t ? 2

?

?

max

? 6m ? m 2 ??????1 分

因为 t ? 3 ? t ? 2 ? t ? 3 ? (t ? 2) ? 5 (当且仅当 t ? 2 时取等号)???3 分 所以 6m ? m ? 5 ,解得 1 ? m ? 5 ,
2

所以实数 m 的取值范围是 1 ? m ? 5. ??????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? ? 5 ,所以 3x ? 4 y ? 5 z ? 5 . 由柯西不等式, 可得 x ? y ? z
2 2

?

2

??3

2

? 42 ? 52 ? ? ? 3x ? 4 y ? 5 z ? ? 25 , ?5 分
2

所以 x ? y ? z ?
2 2 2

1 , 2

x y z 3 2 1 ? ? 即 x ? , y ? , z ? 时等号成立. ???6 分 3 4 5 10 5 2 1 2 2 2 故 x ? y ? z 的最小值为 . ??????7 分 2
当且仅当

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