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高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)


基本不等式 知识点: 1. (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

例:求下列函数的值域 (2)若 a, b ? R ,则 ab ?

(当且仅当 a ? b 时取“=”) a?b * 2. (1)若 a, b ? R * ,则 ? ab (2)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab 2

仅当 a ? b 时取“=” )
* (3)若 a, b ? R ,则 ab ? ? a ? b ? ? ? ? 2 ?
2

a2 ? b2 2
(当且

1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解:(1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x

1 (2)y=x+

x

1 3x 2· 2 = 2x 1 x· x =2;

6 ∴值域为[

6 ,+∞)

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

1 (2)当 x>0 时,y=x+ ≥2 x

3.若 x ? 0 ,则 x ?

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ) x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x
若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x (当且仅当 a ? b 时取“=” )

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知 x ?

1 x· x

=-2

a b 4. 若 ab ? 0 , 则 ? ? 2 b a

( 当 且 仅 当 a ? b 时 取 “ = ” 若 ab ? 0 , 则 )

a b a b a b ) ? ? 2即 ? ?2 或 ? ? 2 (当且仅当 a ? b 时取“=” b a b a b a
a ? b 2 a2 ? b2 5.若 a, b ? R ,则 ( (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定 积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问 题方面有广泛的应用

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

1 解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)? 丌是常数,所以 4x ? 5
对 4 x ? 2 要迚行拆、凑项,

5 ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 4 1 1 ? ? ? y ? 4x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?



应用一:求最值
技巧二:凑系数

1 , x ? 1 时, 即 上式等号成立, 故当 x ? 1 时,ymax ? 1 。 5 ? 4x

例: 当 解析:由

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 知, ,利用均值丌等式求最值,必须和为定值戒积

解析二:本题看似无法运用均值丌等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离 求最值。

为定值,此题为两个式子积的形式,但其和丌是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为 定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。



,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 +10 t 2 ? 5t ? 4 ) 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9(当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
技巧五: 在应用最值定理求最值时, 若遇等号取不到的情况, 结合函数 f ( x) ? x ? 的单调性。

变式:设 0 ? x ? 解

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2 3 0? x? : ∵ ∴ 2
2

a x

3 ? 2x ? 0



例:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

9 ? 2x ? 3 ? 2x ? y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? 2 2 ? ?
当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x2 ? 4

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 丌在区间 ? 2, ??? ,故等号丌成立,考虑单调 性。

1 t

1 t

技巧三: 分离 技巧四:换元 例:求 y ?

因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ??? 为单调递增函数, 故y?

1 t

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

5 。 2

解析一:本题看似无法运用均值丌等式,丌妨将分子配方凑出含有(x+1)的项, 再将其分离。

所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。

?5 ?2

? ?

当 号)。

,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=” x ?1

技巧六:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

错解 :? x ? 0, y ? 0 ,且 ..

1 9 ?1 9? 9 ? ? 1 ,? x ? y ? ? ? ? ? x ? y ? ? 2 2 xy ? 12 x y xy ? x y?



2 x·

1 2

+ 1 2

y2
2



? x ? y ?min ? 12



下面将 x,



y2
2

分别看成两个因式: 1 2 2 y2 2 y2 1 x 2+ + 2 2 2

错因:解法中两次连用均值丌等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在
1 9 9 等号成立条件是 1 ? ?2 x x y xy

?

9 即 y ? 9 x ,取等号的条件的丌一致,产生错误。 y



1 2 2 ·x



y2
2 1 2

x 2+( ≤



)2 =



3 4

即 x

1+y

2



因此,在利用均值丌等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且 是检验转换是否有误的一种方法。



y2
2



3 4

2

技巧八: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1

? 1 9 ? y 9x 1 9 正解:? x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一 元函数问题,再用单调性戒基本丌等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二 是直接用基本丌等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,

1 9 y 9x 当且仅当 ? 时 , 上 式 等 号 成 立 , 又 ? ? 1 , 可 得 x ? 4, y ? 12时 , x y x y

? x ? y ?mi n ? 16
技巧七



例:已知 x,y 为正实数,且 x +

2

y2
2

丌能一步到位求出最值,考虑用基本丌等式放缩后,再通过解丌等式的途径迚行。 =1,求 x 1+y
2

的最大值.

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 2

a 2+b 2
2 =x

。 1+y 2· 2
2

30-2b 法一:a= , b+1 由 a>0 得,0<b<15

ab=

30-2b

b+1

·b=

-2 b 2+30b

b+1

同时还应化简

1+y

2

中 y2 前面的系数为

, x

1+y

2

令 t=b+1,1<t<16,ab=

-2t 2+34t-31

t

=-2(t+

16

t

)+34∵t+

16

t



2



16

t

=8 ∴ y≥ 1 18 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 2 ab 2 ∴ 30 - ab ≥

例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

∴ ab≤18

分析: 丌等式右边数字 8, 使我们联想到左边因式分别使用均值丌等式可得三个 “2” 连乘,又 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2 bc ,可由此变形入手。 a a a a
? 解:? a、b、c ? R , a ? b ? c ?1 。?

法 二 : 由 已 知得 : 30 - ab = a +2b ∵ a + 2b ≥2 2 2 ab 令 u= ∴

ab

则 u2+2

2 u-30≤0, -5 1 18

2 ≤u≤3

1 1 ? a b ? c 2 bc 。同理 ?1 ? ? ? a a a a

ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥

点评:①本题考查丌等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、丌等式的解法及运算 2

1 2 ac 1 2 ab , ?1 ? 。上述三个丌等式两边均为正,分别相乘,得 ?1 ? b b c c

能力;②如何由已知丌等式 ab ? a ? 2b ? 30 a, b ? R ?) 出发求得 ab 的范围,关 ( 键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到丌等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) , 2

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
号。

这样将已知条件转换为含 ab 的丌等式,迚而解得 ab 的范围. 技巧九、取平方 例: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 2 2 解析:注意到 2 x ? 1 不 5 ? 2x 的和为定值。

应用三:均值不等式与恒成立问题
例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使丌等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值 x y

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2x ,即 x ?

范围。 解 : 令

x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

1 9 ? ?1 x y



3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

?

应用二:利用均值不等式证明不等式

x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1. ? ? ? ?1 kx ky k kx ky
?1 ? 10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m? ? ??,16? k k

利用重要不等式放缩
2 例 设 S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ? S n ? (n ? 1) . 2 2

练习题
一、选择题 1、函数 y ? log 1 x ?1 的定义域是(
2

解析

此数列的通项为 ak ?

k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.
n n

?

?

). B、 ? 2,1 ? 1, 2 D、 ? ?2,1? ? ?1, 2? ). D、 (-

? k ? k (k ? 1) ?

1 k ? k ?1 1 ? k ? ,? ? k ? S n ? ? (k ? ) , 2 2 2 k ?1 k ?1
2

A、 ? ? 2, ?1 ? 1, 2 ?

即 n(n ? 1) ? S n ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) . 2 2 2 2 注:①应注意把握放缩的“度” :上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 n a?b, 若放成 k (k ? 1) ? k ? 1则得 S n ? ? (k ? 1) ? (n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1) , 就 ab ? 2 2 2 k ?1 放过“度”了! ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n 1 1 ??? a1 an ? n a1 ? a n ? a1 ? ? ? a n ? n
2 a12 ? ? ? a n n

? C、 ? ?2,1? ? ?1,2?

? ?

2

?

?

? ?

?

2、若关于 x 的不等式|x + 2| + |x-1| < a 的解集为 ? , 则 a 的取值范围是( A、 (3,+∞) B、 [3,+∞] C、 (-∞,3) ∞,3) 3、不等式

1 1 ? 2 的解集为( x ?1 x ?1

). B、[1,+∞) D、(—1,0)∪ (1,+∞)

A、(1,+∞) C、[0,1]∪ (1,+∞)
2

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

4、若关于 x 的不等式 2 x ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范 围是( ). a ? ?4 A、 B、 a ? ?4 C、 a ? ?12 D、 a ? ?12

应用四:均值定理在比较大小中的应用
例:若

x 5、已知函数 f ? x ? ? lg 2 ? b (b 为常数) ,若 x ??1, ?? ? 时, f ? x ? ? 0 恒成立,

?

?

则( ). A、 b ? 1 B、 b<1 6、a、b、c∈R,下列命题: ①若 a>b,则 ac >bc ;②若 ab≠0,则
2 2

C、 b ? 1

D、b=1

a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , Q ?
系是 .

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) , P, Q, R 的大小关 则 2 2

a>b>0,则
个数为( A、2 D、1

a?c a < ;⑤若 logab<0,则 a、 中至少有一个大于 1.其中正确命题的 b b?c b
). B、3
x ?x x ?x

a b * + ≥2;③若 a>|b|,n∈N ,则 an>bn;④若 b a

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0

C、4 ). D.0

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

7、函数 y ? 2(9 ? 9 ) ?12(3 ? 3 ) ? 4 的最小值为( A.—18 B.-16 C.-12 ∴R>Q>P。

8、定义在 R 上的函数满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? [3,5] 时, f ( x) ? 2 ? x ? 4 ,

则(

). A. f (sin

) 6 6 2? 2? ) ? f (sin ) C. f (cos 3 3 sin x 2 ? 9、函数 y ? 的值域是( 2 sin x
A. (??,?2] ? [2,??) D. R

?

) ? f (cos

?

B. f (sin1) ? f (cos1) D. f (cos2) ? f (sin 2) ). C. ( ?? ,? ] ? [ ,?? )

长 400 km,为了安全,两列货车的间距不得小于 ( 计) ,那么这批货物全部运到 B 市最快需要 三、解答题 17、解关于 x 的不等式 ax ? 3x ? 1 ? 0
2

v 2 ) km (货车长度忽略不 20
小时?

B. (??,?1] ? [1,??)

5 2

5 2

10、已知 f ( x) ? log3 x ? 2( x ? [1,9]), ,则函数 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的最大值是 ( ). A. 13 B. 20 C. 18 D. 16 11 、 已 知 f ( x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x)? l gx 设 .

(C)c ? b ? a (D)c ? a ? b 12、若关于的方程 x ―(a +b ―6b)x+ a +b +2a―4b+1=0 的两个实数根 x1,x2 满足 x1≤0≤x2≤1,则 a2+b2+4a 的最大值和最小值分别为( ). 1 7 7 A. 和 5+4 5 B. ― 和 5+4 5 C. ― 和 12 D. ― 2 2 2 1 和 15―4 5 2 二、填空题
2 2 2 2 2

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则( 5 2 2 (A)a ? b ? c (B)b ? a ? c

).

18、某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定 成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年 比上一年多投入 100 万元(科技成本) ,预计产量年递增 10 万只,第 n 次投入

k (k>0, 为常数,n ? Z 且 n≥0) k , n ?1 若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f (n) 万元. (1)求 k 的值,并求出 f (n) 的表达式;
后, 每只产品的固定成本为 g ( n) ? (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

? x ? ay ? 1 ? 0 ? 13、 已知实数 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 0 ? a ? R ? , 目标函数 z ? x ? 2 y 只有 ?x ? 1 ?
当?

?x ? 1 时取得最大值,则 a 的取值范围是 ?y ? 0
2 2

. .
y }也在 x ? y2
2

14、若 x ? 2 y ? 3 ≥0,则 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? 的最小值是 15、记 min{a,b}为 a、b 两数的最小值,当正数 x、y 变化时,t=min{x,

19、已知不等式 x ? 3x ? t ? 0的解集为 x |1 ? x ? m, x ? R} { (I)求 t,m 的值;
2

(2) 若函数 f(x)=-x2+ax+4 在区间 ? ??,1? 上递增, 求关于 x 的不等式 loga(- mx2+3x+2—t)<0 的解集。

变化,则 t 的最大值为___________. 16、一批货物随 17 列货车从 A 市以 v km/h 的速度匀速直达 B 市。已知两地铁路线

21、已知数列 ?an ? 满足 S n ?

(1)求数列 ?an ? 的前 n 项的和;

n an (n∈N*), Sn 是 ?an ? 的前 n 项的和,并且 a2 ? 1 . 2
an?1

1 ? 3 ? (2)证明: ≤ ? 1 ? ? 2 ? 2an ?1 ?
20、已知函数 y = x + 是减函数,在 [

?2

a 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 ( 0, a ] 上 x a ,+∞ ) 上是增函数.

2b ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值; x c 2 (2)研究函数 y = x + 2 (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; x a a 2 (3)对函数 y = x + 和 y = x + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都是 x x
(1)如果函数 y = x + 你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不 必证明) ,并求函数 F (x) = ( x ?
2

1 n 1 ) + ( 2 ? x) n ( n 是正整数)在区间 x x
22、 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ? 1 (a ? 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x1 、

[

1 ,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) . 2

x2 .
(1)证明: (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1 ; (2)证明: x1 ? ?1, x2 ? ?1 ; (3)若 x1 、 x2 满足不等式 lg

x1 ? 1 ,试求 a 的取值范围。 x2

不等式测试题(三)答案与解析:
1、 答案: A。 选 要使函数有意义, log 1 x2 ? 1 ? 0 , 0<x 2 ? 1 ? 1,?1<x 2 ? 2 , 则 即
2

即 f ? x ? 在 ?3, 4 ? 上为增, ? 4,5? 上为减。所以在 ? ?1, 0? 上为增, ?0,1? 上为减,

?

?

? cos 2 ? sin 2 所以 f (cos2) ? f (sin 2) 。 sin x 2 ? 时, x ? ?2 不成立,故不能用均值不等 sin 9、答案:选 C。提示:? 2 sin x
式。故利用其单调性求解。
2 2 2 10、答案:选 A。 y ? [ f ( x)] ? f ( x ) ? log 3 x ? 6 log 3 x ? 6 ? ? log 3 x ? 3 ? ? 3 , 2

解得

x ? ? ? 2, ?1 ? 1, 2 ? 。 ? ? 2、答案:选 C。提示:令 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 ,则 f ? x ? 可看作是数轴上的点到
集为 ? ,则有 a?? ??,3? 。

? ?

注意到为符合函数,定义域为 x ??1,3? ,?log3 x ??0,1? ,故最大值为 13。

x ? ?1, x ? 2 的距离和,所以 f ? x ? ??3, ??? ,要使不等式|x + 2| + |x-1| < a 的解

11、答案:选 D 解:已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设

3、 答案: D。 选 提示: 不等式同解为

? x ? 1?? x ? 1?

x

故解集为(—1, (1, 0]∪ +∞)。 ? 0,
2

6 4 4 a ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) , 5 5 5 5 1 c ? f ( ) ? f ( ) <0,∴ c ? a ? b ,选 D. 2 2
2 2 2

3 1 1 b ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) 2 2 2



4 、 答 案 : 选 A 。 提 示 : 分 离 参 数 得 a ? 2 x ? 8x ? 4 , 则 转 化 为 a 小 于
2 T ? x? ? 2 x ? 8 x? 4在1 ? x ? 4 的最小值,配方求得最小值为 ?4 。

5 、 答 案 : 选

x x x A 。 f ? x ? ? lg 2 ? b ? 0 ? 2 ? b ? 1 ? b ? 2 ? 1 ,

?

?

? x ??1, ??? ,?b ? 1。
6、答案: A。解析: ①错.当 c=0 时,有 ac2=bc2.

a b + ≤-2. b a n n ③对.当 b>0 时,a>b>0,a >b 成立; n n 当 b=0 时,a>0,a >b 成立; n n n n 当 b<0 时,若 n 为奇数,a >0,b <0,a >b 成立; n n n n n * 若 n 为偶数,a>|b|>0,a >|b| =b ,a >b 仍成立.故 n ∈N ,a>|b|时总有
②错.当 ab<0 时,

12、 答案: 提示: f(x)= x ―(a +b ―6b)x+ a +b +2a―4b+1, B。 令 则由题意有 f(0)= 2 2 2 2 a +b +2a―6b+1≤0 且 f(1)=2a+2b+2≥0,即(a+1) +(b―2) ≤4 且 a+b+1≥0,在直 2 2 2 2 角坐标平面 aOb 上作出其可行域如图所示, a +b +4a=(a+2) +b ―4 的几何意义为 而 2 |PA| ―4(其中 P(a,b)为可行域内任意的一点,A(―2,0)). 由图可知,当 P 点 2 2 在直线 l: a+b+1=0 上且 AP⊥l 时取得最小值; P 点为 AC(C 为圆(a+1) +(b―2) ≤4 当 1 的圆心)的延长线与圆 C 的交点时达到最大值. 又 A 点的直线 l 的距离为 , 2 7 2 2 2 |AC|= 5, 所以 a +b +4a 的最大值和最小值分别为― 和( 5+2) ―4=5+4 5.故选 B. 2 y 13、答案: a >0 。直线 x ? ay ? 1 ? 0 过定点 ?1,0 ? , 画出区域 ?

2

2

an>bn.

a?c a ④错.如 a=3,b=2,c=-1 时, > . b?c b ⑤对.当 0<a<1 时,必有 b>1.
正确命题有 2 个. 7、答案:选 B。提示:令 3 ? 3
x
2

绕 ?1,0 ? 旋转得到不等式表示的平面区域,

?2 x ? y ? 0 后,让直线 x ? ay ? 1 ? 0 ?x ? 1

O

x

x ? 3y ?

?x

? T , 则9x ? 9? x ? T 2 ? 2 ,所以

y ? 2T 2 ? 12T ? 2 ?T ? 3? ? 18 ,又 T ? 2 得 y ? 16 。
8、 答案: D。 选 提示: 由题知 f ? x ? 周期为 2, 又当 x ? [3,5] 时, f ( x) ? 2 ? x ? 4 ,

1 平移直线 x ? 3 y ? 0 观察图象可知,必须满足直线 x ? ay ? 1 ? 0 的斜率 >0 才符 a 2x ? y ? 0 合题意,故实数 a 的范围是 a >0 。 4 2 2 14、答案: 联想线性规划问题的求解方法,先考虑 d ? ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? 的 5 最小值, 画出可行域 (图略)可知 d 的最小值对应点 , (-1, 到直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 -2)

?2 5? 4 2 5 的距离,易求得这个值为 ,所以,正确答案为 ? ? 5 ? ?5 ? 5 ? ?
15、答案:

2

(2)由 f (n) ? (100 ? 10n)(10 ?

2 2 xy 1 2 y y ,则 t=x,t2=x2≤x· 2 ≤ = .故 t≤ , 2 2 2 xy 2 2 x ?y x ?y
2

解析: 若 x≤

) ? 100n ? 1 000 ? 80 n ?1 n ? 10 9 ( ) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ? ) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520. n ?1 n ?1 9 当且仅当 n ? 1 ? ,即 n=8 时取等号, n ?1
所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元. 19、解:⑴? 不等式 x ? 3x ? t <0 的解集为 {x|1 ? x ? m, x ? R} ∴ ?
2

8

2 当且仅当 x=y= 时取“=” ; 2 y y y xy 1 若 2 ≤x,则 t= 2 ,t2=( 2 )2≤ 2 ≤ . 2 2 2 2 x ?y x ?y x ?y x ?y 2
故 t≤ 为

?1 ? m ? 3 得 ? m?t

2 2 2 ,当且仅当 x=y= 时取“=”.综上可知,当 x=y= 时,t 取最大值 2 2 2

?m ? 2 ? ?t ? 2
( ⑵? f(x)= ? x ? ) ? 4 ?
2

2 . 2 16、答案:8h。解:这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为

a 2

a a2 在 (??,1] 上递增,∴ ? 1, a ? 2 2 4
2

t?

400 ? 16 (

v 2 ) 20 ? 400 ? 16 v ? 2 400 ? 16v ? 8(h) 。 v v 400 v 400

17、解:当 a ? 0 时,解为 为x?

3 ? 3 ? 4a 3 ? 3 ? 4a ?x? ;当 a ? 0 时,解 2a 2a

3 ; 3
3 时,解为 x ? 4

当0 ? a ? 当a ?

3 ? 3 ? 4a 3 ? 3 ? 4a 或x ? ; 2a 2a

3 时,解为 R. 4

k ,当 n=0 时,由题意,可得 k=8, n ?1 8 ) ? 100n . 所以 f (n) ? (100 ? 10n) (10 ? n ?1
18、解: (1)由 g ( n) ?

? log(a?2 x ?3 x ) <0 , 2 由 a ? 2 ,可知 0< ? 2 x ? 3x <1 3 2 由 2 x ? 3x ? 0 , 得 0<x< 2 1 2 由 2 x ? 3x ? 1 ? 0 得 x< 或 x>1 2 1 3 故原不等式的解集为 ? x|0<x< 或 1<x< ? 2 2 2b 20、解(1) 函数 y=x+ (x>0)的最小值是 2 2 b ,则 2 2 b =6, ∴ b=log29. x c c c 2 2 2 2 (2)设 0<x1<x2,y2-y1= x2 ? 2 ? x1 ? 2 ? ( x2 ? x1 )(1 ? 2 2 ) . x2 x1 x1 ? x2 c 2 当 4 c <x1<x2 时, y2>y1, 函数 y= x ? 2 在[ 4 c ,+∞)上是增函数; x c 2 当 0<x1<x2< 4 c 时 y2<y1, 函数 y= x ? 2 在(0, 4 c ]上是减函数. x c 2 又 y= x ? 2 是偶函数,于是,该函数在(-∞,- 4 c ]上是减函数, 在[- 4 c ,0)上 x
2

又 log( ? mx a

? 3 x ? 2 ?t )

是增函数.

(3)可以把函数推广为 y= x ?
n

a (常数 a>0),其中 n 是正整数. xn

a 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, xn 在(-∞,- 2 n a ]上是增函数, 在[- 2 n a ,0)上是减函数. a n 当 n 是偶数时,函数 y= x ? n 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, x 2n 在(-∞,- a ]上是减函数, 在[- 2 n a ,0)上是增函数. 1 n 1 2 n F(x)= ( x ? ) + ( 2 ? x ) x x
当 n 是奇数时,函数 y= x ?
n

? 1 ? (2) ?1 ? ? ? 2an ?1 ?
0 1 ? Cn ? Cn

an?1

1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2n ?
2

n

1 2? 1 ? r ? 1 ? n? 1 ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? 2n ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ?
r

r

n

1 n ? n ? 1?? ? n ? r ? 1? 1 r ? 1 ? ? Cn ? ? ? r ? ? r ? r ? 1, 2,? n ? r !n r 2 ? 2n ? 2

=

?1? 1? ? ? n 1 ? 1 1 1 2 ? ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? n ? ? ? 1 2 4 2 ? 2n ? 1? 2

n ?1

?1? ? 2?? ? ? 2 ?2?
an?1

n

C (x

0 n

2n

因此 F(x) 在 [ 所以,当 x=

n 1 1 1 1 1 ? 3 ? 1 r n 0 1 ? 2 n ) ? C n ( x 2 n ?3 ? 2 n ?3 ) ? ? ? C n ( x 2 n ?3r 2 n ?3r ) ? ? ? C n ( x n ? n ) 而 ?1 ? 1 ? ? Cn ? Cn ? 1 ? 3 ? ≤ ?1 ? ? ? 2. ? ? x x x x 2 ? 2an ?1 ? 2n 2 ? 2n ? 2 22、解: (1)由题意知, x1 、 x2 是关于 x 的一元二次方程 ax ? x ? 1? 0 的两个 1

2

,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

1 9 9 或 x=2 时, F(x)取得最大值( )n+( )n; 2 2 4

实 数 根 , 故 有 x1 ? x2 = ?

1 1 , x1 x2 = , x1 + x2 = - x1 x2 , 即 a a
2

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1 。??3 分
(2)关于 x 的一元二次方程 ax ? x ? 1? 0 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则有

当 x=1 时 F(x)取得最小值 2n+1. 21、解:(1)由题意 S n ?

n n ?1 an 得 S n ?1 ? an ?1 2 2 两式相减得 2an?1 ? ? n ?1? an?1 ? nan即? n ?1? an?1 ? nan
所以 ? n ?1? an?1 ? nan?2 再相加 2nan?1 ? nan ? nan?2即2an?1 ? an ? an?2 所以数列 ?an ? 是等差数列.

1 ? 1 ? x1 ? x2 ? ? a ? ?4 ? ? 1 ? 4a ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 4 。由 ? , ? 1 ? xx ? ?4 1 2 ? a ?


??5

1 a1 ? a1 ? 0 2 又 a2 ? 1 ?an ? n ?1
又? a1 ? 所以数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ?

?( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ?2 ? 0 ? x1 ? 1 ? 0 ,? ,即 x1 ? ?1 , x2 ? ?1 。 ? x2 ? 1 ? 0 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 1 ? 0 ? ?


??7

n ? n ? 1? n an ? . 2 2

x x1 ? 1 ,得, 0 ? 1 ? 10 , x2 x2 1 ? 1 ,即 又由(1)知, x1 ? 1 ? x2
(3)由 lg

??8 分

? x2 x1 ?1 1 1 0 ? ? ?0 ? 1 ? x2 , x 2 1 ? x 2 , 11 x2 , , ??10 分 1 ?1 ? x2 1 1 1 1 1 1 1 当 a? ? ? ?( ) 2 ? =- ( ? )2 ? , ? ? 时,a 取最大 2 4 x1 x2 x2 x2 x2 x2 2 x2 2 1 1 值 ,又 a ? 0 ,所以 a 的取值范围是 (0, ] 4 4 x1 ?
10、已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1( a , b 为为实数) x ? R . , (1)若函数 f (x) 的最小值是 f (?1) ? 0 ,求 f (x) 的解析式; (2)在(1)的条件下, f ( x) ? x ? k 在区间 ? ?3, ?1? 上恒成立,试求 k 的取值 范围; (3)若 a ? 0 , f (x) 为偶函数,实数 m , n 满足 m ? n ? 0 , m ? n ? 0 ,定义 函数 F ( x) ? ? 由. 解:(1)由已知 a ? b ? 1 ? 0 , 且 ? 解 得 a ?1 , b ? 2 ,
2

∴ F (m) ? F (n) 的值为正.

? f ( x) , 当x ? 0 ,试判断 F (m) ? F (n) 值的正负,并说明理 ?? f ( x) , 当x ? 0
b ? ?1 , 2a
∴ 函 数

f (x) 的 解 析 式 是

f ( x) ? x ? 2x ? 1 ?????2 分 2 (2)在(1)的条件下, f ( x) ? x ? k ,即 x ? x ? 1 ? k ? 0 k ? 2 x ?1 x在 区 间 ? 从 而 ??3, ?1?
立, ??????????4 分
2







此时函数 y ? x ? x ? 1 在区间 ? ?3, ?1? 上是减函数,且其最小值为 1, ∴ k 的 取 值 范 围 为 ??????????8 分

? ??,1? .

2 (3)∵ f (x) 是偶函数,∴ b ? 0 ,∴ f ( x) ? ax ? 1,

由 m ? n ? 0 知 m 、 n 异号,不妨设 m ? 0 ,则 n ? 0 , 又由 m ? n ? 0 得 m ? ?n ? 0

F (m) ? F (n) ? f (m) ? f (n) ? am2 ? 1 ? (an2 ? 1) ? a(m2 ? n 2 )
???10 分
2 2 由 m ? ?n ? 0 得 m ? n ,又 a ? 0 ,得 F (m) ? F (n) ? 0 ,

???


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