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(五年高考真题)2016届高考数学复习 第八章 第六节 空间向量的应用 理(全国通用)

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, , , , , , , , , , , , , , ,第六节 空间向量的应用 考点 空间向量及其应用 1.(2015·陕西,18)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC, π ∠BAD= ,AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的 2 交点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图 2. (1)证明:CD⊥平面 A1

OC; (2)若平面 A1BE⊥平面 BCDE, 求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余 弦值. (1)证明 在图 1 中,因为 AB=BC=1,AD=2,E π 是 AD 的中点,∠BAD= ,所以 BE⊥AC, 2 即在图 2 中,BE⊥OA1,BE⊥OC,且 A1O∩OC=O,图 1 从而 BE⊥平面 A1OC, 1 又在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC= AD,E 为 AD 中点,所以 2 BC 綉 ED, 所以四边形 BCDE 为平行四边形,故有 CD∥BE, 所以 CD⊥平面 A1OC. (2)解 由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC, 所以∠A1OC 为二面角 A1-BE-C 的平面 角, π 所以∠A1OC= ,图 2 2 如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系, 因为 A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED, ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? 所以 B? , E , 0 , 0 - , 0 , 0 ? 2 ? ? ?, 2 ? ? ? ? ? ? 2? 2 ? ? ? ? A1? , C ?0,0, 2 ? ?0, 2 ,0?, ? ? ? ? 2 2 ? , ,0? ?, 2 2 ? ? ? ? 2 2 ? → A , ,- ? 1C=?0, 2 2? ? ? → →=(- 2,0,0), CD=BE 得→ BC=? ?- 设平面 A1BC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 A1CD 的法向量 n2 =(x2,y2,z2),平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角为 θ, ??? ? ? n ? BC ? 0, ?? x ? y ? 0, 1 则? 得? 1 1 取 n1=(1,1,1); ? ???? y ? z ? 0, n ? A C ? 0, ? 1 1 ? ? 1 1 ??? ? ? CD ? 0, ? x ? 0, ?n2 ? 得? 2 取 n2=(0,1,1), ? ???? ? y2 ? z2 ? 0, ? ?n2 ?A1C ? 0, ? 2 6 = , 3× 2 3 6 即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为 . 3 2.(2015·天津,17)如图,在四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB⊥AC,AB=1, AC=AA1=2,AD=CD= 5,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点. (1)求证:MN∥平面 ABCD; (2)求二面角 D1-AC-B1 的正弦值; (3)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正 1 弦值为 ,求线段 A1E 的长. 3 解 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依 题意可得 A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1, -2,0), A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1, -2,2),又因为 M,N 分别为 B1C 和 D1D 的中点, ? 1 ? 得 M?1, ,1?,

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