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4.2相似三角形的判定和性质(2013年)


1. (2013 浙 江 省 台 州 市 ) 如 图 , 在 △ ABC 中 , 点 D,E 分 别 在 边 AB,AC 上 , 且 A AE AD 1

AB
A.

?

AC

?

2

,则 S△ADE

: S四边形BC

ED 的值为( ▲ )

D E

1: 3

B. 1 : 2 D. 1 : 4

C. 1 : 3

B

C

(第 8 题) 答案:C

20130924150105327041 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-24 2. (2013 重庆市綦江县) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AD 上, 连接 CE 并延长与 BA
的延长线交于点 F ,若 AE ? 2 ED , CD ? 3cm ,则 AF 的长为 (A)5cm (B)6cm (C)7cm (D)8cm

答案:B

20130922111122125151

4.2 相似三角形的判定和性质

选择题 基本技能 2013-09-22

3. (2013 湖北省宜昌市) 如图 1,在 △ ABC 中, ?BAC ? 90° , AB ? AC,AO ? BC 于点

,AE ? AF , 连 结 O , F 是 线 段 AO 上 的 点 ( 与 A,O 不 重 合 ) , ?EAF ? 90° FE , F, C B , E B F . (1)求证: BE ? BF ; (2)如图 2,若将 △ AEF 绕点 A 旋转,使边 AF 在 ?BAC 的内部,延长 CF 交 AB 于点 G , 交 BE 于点 K . ①求证: △ AGC ∽△KGB ; ②当 △BEF 为等腰直角三角形时,请你直接写出 ....AB∶BF 的值.

答案:解: (1)证明(如图 1) :

AO ? BC 且 AB ? AC, ??OAC ? ?OAB ? 45° . ??EAB ? ?EAF ? ?BAF ? 45°,??EAB ? ?BAF . AE ? AF ,且 AB ? AB ,?△EAB ≌△FAB . ? BE ? BF .

(2)①证明: (如图 2)

?BAC ? 90° ,?EAF ? 90°,??EAB ? ?BAF ? ?BAF ? ?FAC ? 90°. ??EAB ? ?FAC . AE ? AF ,且 AB ? AC , ?△ AEB ≌△ AFC , ??EBA ? ?FCA .又 ?KGB ? ?AGC , ?△GKB ∽△GAC . ② △GKB ∽△GAC ,??GKB ? ?GAC ? 90° . ??EBF ? 90° .
Ⅰ)当 ?EFB ? 90° 时, AB ∶ BF Ⅱ)当 ?FEB ? 90° 时, AB ∶ BF

= 5∶ 2 . = 5∶ 2.

20130922103714671251 4.2 相似三角形的判定和性质 复合题 解决问题 2013-09-22 4. (2013 湖北省宜昌市) 如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是 ?1 , 7 ? , ?11 , 1? , ? 6, 1? , ? , ? 4,
以 C,D,E 为顶点的三角形与 △ ABC 相似,则点 E 的坐标不可能 是( ... (A) ) .

0? ? 6,

(B)

3? ? 6,

(C)

5? ? 6,

(D )

2? ? 4,

答案:B

20130922103714453002 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省孝感市) 如图,在△ ABC 中, AB ? AC ? a , BC ? b(a ? b) .在△ ABC
内依次作 ?CBD ? ?A , ?DCE ? ?CBD , ?EDF ? ?DCE .则 EF 等于

A、

b3 a2

B、

a3 b2

C、

b4 a3

D、

a4 b3

答案:C

20130922102755562463 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-22 6. (2013 浙江省绍兴市) 在△ABC 中,∠CAB=90°,AD⊥BC 于点 D,点 E 为 AB 的中点,EC 与 AD
交于点 G,点 F 在 BC 上. (1)如图 1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD; (2)如图 2,AC:AB=1:

3 ,EF⊥CE,求:EF:EG 的值.

答案:
(1)证明:

AC : AB ? 1: 2, 点 E 为 AB 的中点,

? AC ? BE .
AD ? BC , ?CAB ? 90° ,

? ?B ? ?DAC .
AD ? BC , EF ? CB,

? △EFB ≌△CDA, ? EF ? CD .
(2)解:过点 E 作 EM ? BD, EN ? AD,

AD ? BC , ? ?NEM ? 90°, CE ? EF ,

? ?NEG ? ?MEF .
?ENG ? ?EMF ? 90°,

? △EMF ∽△ENG,?

EF EM ? . EG EN

AD ? BC , AC∶AB ? 1 ∶ 3,

? ?NAE ? 60°, ?B ? 30°, ? EN ?
1 3 AE , 同理可得 EM = BE . 2 2

点 E 为 AB 的中点,? AE ? BE ,

1 BE EF EM 3 ? ? 2 ? . ? EG EN 3 3 AE 2

20130922090204094236 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-22 7. (2013 黑龙江省绥化市) 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O ,点

E、F 分别是边 AD、AB 的中点, EF 交 AC 于点 H ,则
(A)1 (B)

1 2

(C )

1 3

AH 的值为( HC 1 (D) 4



答案:C

20130922084405562233 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-22 8. (2013 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图,要使△ABC 与△DBA 相似,则只需添加一个适当的条件
是 . (填一个即可)

答案: ?C ? ?BAD或?BAC ? ?ADB或

AB BD ? 或AB 2 ? BC · BD BC AB

20130922083136015663 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-22 9. (2013 黑龙江省龙东地区) 梯形 ABCD 中, AB ∥ CD,AB ? 3,CD ? 8, 点 E 是对角线

AC 上一点,连结 DE 并延长交直线 AB 于点 F ,若

AE AF ? ? 2 ,则 EC BF



答案: 或

1 4

3 4

20130922081115875767 4.2 相似三角形的判定和性质

填空题 基础知识 2013-09-22

10. (2013 黑龙江省哈尔滨市) 如图,在 △ ABC 中, M 、 N 分别是边 AB 、 AC 的中点,则

△ AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比为( ) . 1 1 1 2 (A) (B ) ( C) (D ) 3 2 4 3

答案:B

20130922075309921102 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-22

11. (2013 四川省眉山市) 在矩形 ABCD 中,DC= 2 3 ,CF⊥BD 分别交 BD、AD 于点 E、F,连接
BF。 ⑴求证:△DEC∽△FDC; ⑵当 F 为 AD 的中点时,求 sin∠FBD 的值及 BC 的长度。
A F D E

B

C

答案:
解: (1)证明:∵ CF ? BD , ∴ ?DEC ? 90° . 在矩形 ABCD 中, ?ADC ? 90° ,∵ ?ECD ? ?DCF , ∴ △DEC ∽△FDC .(3 分) (其它方法酌情给分) (2)当 F 为 AD 中点时,

DF DF 1 ? ? . BC AD 2 ∵ △DEF ∽△BCE , EF DF 1 ? ? , ∴ EC BC 2 EF EF 1 ? ? .(4 分) ∴ FC EF ? CE 3 ∵AB=CD, ?A ? ?CDF ,AF=DF, ∵ △ ABF ≌△CDF ,∴BF=CF. EF EF 1 ? ? (5 分) ∴ sin ?FBD ? BF FC 3 FE 1 ? , 由(1)可知 EC 2
∴ 设 EF=x,则 FC=CE+EF=3x, (6 分)

∵ △DEC ∽△FDC , ∴

EC CD 2 ? · CF , 即 CD ? EC (7 分) CD CF

2 x ? 3x ? 2 3 ,
6 x 2 ? 12 , x2 ? 2 ,

?

?

2

x ? 2 , x ? ? 2 (舍).(8 分)
∵ △FCD 为直角三角形、由勾股定理得 FD ∴ FD ?
2

? FC 2 ? CD2 ? 3 2

?

? ? ?2 3?
2

2

?6,

6,

∴BC=AD=2DF= 2

6 .(9 分)

20130918135125015840 4.2 相似三角形的判定和性质 计算题 基础知识 2013-09-18

12. (2013 四川省眉山市) 如图,△ABC 中,E、F 分别是 AB、AC 上的两点,且
若△AEF 的面积为 2,则四边形 EBCF 的面积为_________

AE AF 1 ? ? , EB FC 2

答案:16

20130918135123843822 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-18

13. (2013 四川省巴中市) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b(k≠0)的
图象与反比例函数 y= 的图象交于一、三象限内的 A、B 两点,直线 AB 与 x 轴交于点 C,点 B 的 坐标为(﹣6,n) ,线段 OA=5,E 为 x 轴正半轴上一点,且 tan∠AOE= (1)求反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.

答案:解: (1)过点 A 作 AD⊥x 轴,
在 Rt△AOD 中,∵tan∠AOE= 设 AD=4x,OD=3x, ∵OA=5, 在 Rt△AOD 中,根据勾股定理解得 AD=4,OD=3, ∴A(3,4) , 把 A(3,4)代入反比例函数 y= 中, 解得:m=12, 则反比例函数的解析式为 y= ; = ,

(2)把点 B 的坐标为(﹣6,n)代入 y= 解得 n=﹣2, 则 B 的坐标为(﹣6,﹣2) ,

中,

把 A(3,4)和 B(﹣6,﹣2)分别代入一次函数 y=kx+b(k≠0)得



解得



则一次函数的解析式为 y= x+2, ∵点 C 在 x 轴上,令 y=0,得 x=﹣3 即 OC=3, ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×3×4+ ×3×2=9.

20130917141130250750 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-17 14. (2013 四川省巴中市) 如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,连
接 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFE=∠B (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若 AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求 AE 的长.

答案: (1)证明:∵?ABCD,∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC. ∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B, ∴∠AFD=∠C. 在△ADF 与△DEC 中,

∴△ADF∽△DEC. (2)解:∵?ABCD,∴CD=AB=8. 由(1)知△ADF∽△DEC,



,∴DE=

=

=12. = =6.

在 Rt△ADE 中,由勾股定理得:AE=

20130917141130187924 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-17 15. (2013 四川省成都市)
o 如图, 点 B 在线段 AC 上, 点 D ,E 在 AC 同侧,?A ? ?C ? 90 ,BD ? BE , AD ? BC . (1)求证: AC ? AD ? CE ;

(2)若 AD ? 3 ,CE ? 5 ,点 P 为线段 AB 上的动点,连接 DP ,作 PQ ? DP ,交直线 BE 于点 Q ;

i)当点 P 与 A , B 两点不重合时,求

DP 的值; PQ

ii)当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时,求线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)长.(直接 写出结果,不必写出解答过程)

答案:解:(1)证明:∵BD⊥BE,A,B,C 三点共线, ∴∠ABD+∠CBE=90°. (1 分) ∵∠C=90°, ∴∠CBE+∠E=90°. ∴∠ABD=∠E. 又∵∠A=∠C,AD=BC, ∴△DAB≌△BCE(AAS). (2 分)
∴AB=CE. ∴AC=AB+BC=AD+CE. (3 分) (2)ⅰ)连接 DQ,设 BD 与 PQ 交于点 F. ∵∠DPF=∠QBF=90°,∠DFP=∠QFB, ∴△DFP∽△QFB. (4 分) ∴

DF PF . ? QF BF

又∵∠DFQ=∠PFB, ∴△DFQ∽△PFB. (5 分) ∴∠DQP=∠DBA. ∴ tan ?DQP ? tan ?DBA . 即在 Rt△DPQ 和 Rt△DAB 中, ∵AD=3,AB=CE=5, ∴

DP DA . ? PQ AB

DP 3 (7 分) ? . PQ 5
2 34. (10 分) 3

ⅱ)线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)长为

20130916162045347400 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-16 16. (2013 贵州省六盘水市)
如图,添加一个条件: ,使△ADE∽△ACB,(写出一个即可)

答案:
∠ADE=∠ACB(答案不唯一)

20130916142704616316 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-16 17. (2013 山东省枣庄市) 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,在 BC 上取一点 E,沿 AE 将△ABE 向 上折叠,使 B 点落在 AD 上的 F 点,若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似,则 AD= .

A

F

D

B

E 第 18 题图

C

答案:

5 ?1 2

20130916125731248089 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-16 18. (2013 广西省桂林市) 如图, 已知边长为 4 的正方形 ABCD, P 是 BC 边上一动点(与 B、 C 不重合),连结 AP,作 PE⊥AP 交∠BCD 的外角平分线于 E,设 BP= x ,△PCE 面积为 y ,则 y
与 x 的函数关系式是 A. y ? 2 x ? 1 C. y ? 2 x ? B.

y?

1 x ? 2 x2 2

A

D E

1 2 x 2

D. y ? 2 x

B

P
第 12 题图

C

答案:C

20130916104925953093 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-16 19. (2013 海南省万宁市) 直线 l1∥l2∥l3,且 l1 与 l2 的距离为 1,l2 与 l3 的距离为 3.把一块 含有 45°角的直角三角板如图 5 放置,顶点 A、B、C 恰好分别落在三条直线上, AC 与直线 l2 交于点 D,则线段 BD 的长度为
A.

25 4

B.

25 3

C.

20 3

D.

15 4

B

D

A l1 l2 l3

图5

C

答案:A

20130916103150671891 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-16 20. (2013 广西钦州市) 如图所示,DE 是△ABC 的中位线,则△ADE 与△ABC 的面积比为____▲
____.

A D B E C

答案:1:4

20130916102720029812 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-16 21. (2013 山东省潍坊市) 如图,直角三角形 ABC 中,

?ACB ? 90? , AB ? 10 ,

BC ? 6 ,在线段 AB 上取一点 D ,作 DF ? AB 交 AC 于点 F .现
将 △ ADF 沿 DF 折叠,使点 A 落在线段 DB 上,对应点记为 A1 ;

AD 的中点 E 的对应点记为 E1 .若 △E1FA1 ∽ △E1BF ,则 AD =________.

答案:

16 5

20130916092126061569 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-16 22. (2013 山东省威海市) 如图,AC⊥CD,垂足为点 D,AB 与 CD 交于点 O,若 AC=1,BD=2,CD=4,
则 AB= .

答案:5

20130914174633390028 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-14 23. (2013 山 东 省 泰 安 市 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 中 , AC 平 分 ? D A B,

?ADC ? ?ACB ? 90° , E 为 AB 的中点.
(1)求证: AC ? AB ? AD ;
2

(2)求证: CE ∥ AD ; (3)若 AD ? 4 , AB ? 6 ,求

AC 的值. AF

答案:解: (1)∵ AC 平分 ? DAB ,
∴ ?DAC ? ?CAB . 又∵ ?ADC ? ?ACB ? 90° , (1 分) ∴ △ ADC ∽△ ACB .

AD AC 2 ? ,所以 AC ? AB ? AD .(3 分) AC AB (2)∵ E 为 AB 的中点, 1 ∴ CE ? AB ? AE , ?EAC ? ?ECA . (5 分) 2 AC ∵ 平分 ? DAB ,∴ ?CAD ? ?CAB . ∴ ?DAC ? ?ECA ,∴ CE ∥ AD . (7 分) (3)∵ CE ∥ AD , ∴ ?DAF ? ?ECF . ∴ ?ADF ? ?CEF , △ AFD ∽△CFE . AD AF ? ∴ . (9 分) CE CF 1 1 ∵ CE ? AB , ∴ CE ? ? 6 ? 3 . 2 2 AD AF 4 AF ? 又∵ AD ? 4 ,由 ,得 ? , CE CF 3 CF AF 4 AC 7 ? , ? . (11 分) ∴ AC 7 AF 4


20130914160253265420 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-14

24. (2013 山东省聊城市) 如图,点 D 是 ? ABC 的边 BC 上任一点,已知 AB=4,AD=2,
∠DAC=∠B.若 ? ABD 的面积为 a ,则 ? ACD 的面积为( A. a B. ) .

1 a 2

C.

1 a 3

D.

2 a 5

A

B
答案:C

D

C

20130913202335562337 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-13 25. (2013 山东省菏泽市) 如图所示,在△ABC 中,BC=6,E、F 分别是 AB、AC 的中点,动点 P
在射线 EF 上, BP 交 CE 于 D, ∠CBP 的平分线交 CE 于 Q, 当 CQ=

1 CE 时, EP +BP= 3

.

答案:12

20130913150839281112 4.2 相似三角形的判定和性质

填空题 基础知识 2013-09-13

26. (2013 山东省东营市) 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相
似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x,那么 x 的值( A. 只有 1 个 B. 可以有 2 个 C. ) 可以有 3 个 D. 有无数个

答案:B

20130913134811453624 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-13 27. (2013 宁夏回族自治区) △ABC 中,D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点,BC = 4,下面四个结论:
①DE=2;②△ADE∽△ABC;③△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4;④△ADE 的周长与△ ABC 的周长之比为 1 : 4;其中正确的有 . (只填序号)

答案:①②③

20130913113826937696 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-13 28. (2013 贵州省贵阳市) 如图,AD 、AC 分别是 ⊙O 的直径和弦,?CAD ? 30° ,B 是 AC
上一点, BO ? AD ,垂足为 O , BO ? 5cm ,则 CD 等于________ cm .

答案: 5 3

20130913083200828184 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基本技能 2013-09-13 29. (2013 贵州省贵阳市) 如图,M 是 Rt△ ABC 的斜边 BC 上异于 B 、C 的一定点, 过M 点
作直线截 △ ABC ,使截得的三角形与 △ ABC 相似,这样的直线共有( (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 ) .

答案:C

20130913083200625219 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-13 30. (2013 浙江省湖州市) 如图,已知四边形 ABCD 是矩形,把矩形沿直线 AC 折叠,点 B 落在点
E 处,连结 DE,若 DE:AC=3:5,则

AD 的值 AB
B.

A.

1 2 2 3

3 3 2 2

C.

D.

答案:A

20130912151423068346 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-12 31. (2013 贵州省安顺市 ) 如图,在

ABCD 中, E 在 DC 上,若 DE : EC ? 1: 2 ,则

BF : BE ?



答案:3:5

20130912143015484426 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-12 32. (2013 广东省) 如题 22 图,矩形 ABCD 中,以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF,使得另一
边 EF 过原矩形的顶点 C. (1)设 Rt△CBD 的面积为 S1, Rt△BFC 的面积为 S2, Rt△DCE 的面积为 S3 , 则 S1______ S2+ S3(用“>” 、 “=” 、 “<”填空); (2)写出题 22 图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.

答案: (1) S1= S2+ S3;
(2)△BCF∽△DBC∽△CDE; 选△BCF∽△CDE 证明:在矩形 ABCD 中,∠BCD=90°且点 C 在边 EF 上,∴∠BCF+∠DCE=90° 在矩形 BDEF 中,∠F=∠E=90°,∴在 Rt△BCF 中,∠CBF+∠BCF=90° ∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.

20130912141110256843 4.2 相似三角形的判定和性质

应用题 基础知识 2013-09-12

33. (2013 福建省厦门市) 如图 3,在△ABC 中,DE∥BC,AD=1,AB=3,DE=2,则 BC=

答案:6

20130912134431709708 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-12

△ ABC 中, 34. (2013 辽宁省沈阳市) 如图, AE 交 BC 于点 D, ∠C=∠E, AD=4, BC=8, BD∶DC=5∶ 3,则 DE 的长等于

(A)

20 3

(B)

15 4

(C)

16 3

(D )

17 4

答案:B

20130911172414718349 4.2 相似三角形的判定和性质

选择题 基础知识 2013-09-11

?C ? 90° , 35. (2013 江苏省徐州市) 如图, 在 Rt△ ABC 中, 翻折 ?C , 使点 C 落在斜边 AB
上的某一点 D 处,折痕为 EF (点 E 、 F 分别在边 AC 、 BC 上). (1)若 △CEF 与 △ ABC 相似.

① 当 AC ? BC ? 2 时, AD 的长为__________; ② 当 AC ? 3,BC ? 4 时, AD 的长为__________.
(2)当点 D 是 AB 的中点时, △CEF 与 △ ABC 相似吗?请说明理由.

答案:解: (1)① 2 ; (2 分)

②1.8 或 2.5;(4 分) (2)相似.(5 分) 连接 CD ,与 EF 交于点 O ,

1 AB ,??DCB ? ?B .(6 分) 2 由折叠知, ?COF ? ?DOF ? 90°,??DCB ? ?CFE ? 90° , ?B ? ?A ? 90° ,??CFE ? ?A ,(7 分) △CEF ∽△CBA .(8 分) 又 ?ECF ? ?BCA ,?
CD 是 Rt△ ABC 的中线,? CD ? DB ?

20130910160331453993 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-10 36. (2013 新疆乌鲁木齐) 如图,点 A,B,C,D 在

O 上, AC ? BD 于点 E ,过点 O 作

OF ? BC 于点 F . 求证: (1) △ AEB ∽△OFC ; (2) AD ? 2 FO .

答案:
证明: (1)连接 OB ,则 ∠BAC ? ∴ ∠COF ?

1 ∠BOC ,而 OF ? BC , 2

1 ∠BOC. 2 , ∴ ∠BAC ? ∠COF ,又 ∠BEA ? ∠CFO ? 90° ∴ △ AEB ∽△OFC ; (4 分) ∠BEC ? ∠AED ? 90° , (2)∵ ∠CBD ? ∠CAD, ∴ △ AED ∽△BEC ,

AE AD AE OF AD OF ? ? ? . ,由(1)知 ,∴ BE BC BE CF BC CF 又∵ OF ? BC 于 F , ∴ BC ? 2CF ,∴ AD ? 2 FO. (10 分)


20130910160214314831 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-10 37. (2013 新疆乌鲁木齐 ) 如图, AB ∥ GH∥ CD,点 H 在 BC 上, AC 与 BD 交于点

G . AB ? 2,CD ? 3, 则 GH 的长为



答案:

6 5

20130910160213605047 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-10 38. (2013 天津市) 如图,在边长为 9 的正三角形 ABC 中, BD ? 3 , ?ADE ? 60° ,则 AE
的长为________.

答案: 7

20130910151902817761 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-10 39. (2013 江苏省苏州市) 如图,点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,连接 DP 并延长 DP 交边
AB 于点 E,连接 BP 并延长 BP 交边 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G.
(1)求证:△APB≌△APD;

(2)已知 DF:FA=1:2,设线段 DP 的长为 x,线段 PF 的长为 y. ①求 y 与 x 的函数关系式; ②当 x=6 时,求线段 FG 的长.

答案: (1)证明:

四边形 ABCD 是菱形,

? AB ? AD , AC 平分 ? DAB . ??DAP ? ?BAP .

? AB ? AD, ? ?△ APB ≌△ APD . 在 △ APB 和 △ APD 中, ??BAP ? ?DAP, ? AP ? AP. ?
(2) ① 四边形 ABCD 是菱形,

? AD ∥ BC , AD ? BC .

?△ AFP ∽△CBP . AF FP ∶2 , ? ? . DF∶FA ? 1 BC BP FP 2 ? AF∶BC ? 2∶ 3 .? ? . BP 3 由(1)知 PB ? PD ? x . y 2 2 又 PF ? y ,? ? .? y ? x . x 3 3 2 即 y 与 x 的函数关式式为 y ? x . 3 2 ② 当 x ? 6 时, y ? ? 6 ? 4 .? FB ? FP ? PB ? 10 . 3 DG ∥ AB .?△DFG ∽△ AFB . FG FD FG 1 1 ? ? ? .? FG ? ? 10 ? 5 . .? FB FA FB 2 2 ? FG 的长度为 5.

20130909170109303991 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 基础知识 2013-09-09 40. (2013 江苏省苏州市) 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,顶
点 A,C 分别在 x,y 轴的正半轴上.点 Q 在对角线 OB 上,且 OQ=OC,连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P,则点 P 的坐标为( , ).

答案: (2. 4 ? 2 2)

20130909170108210656 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-09 41. (2013 四川省宜宾市) 如图 1,在 Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90° , AD ⊥ BC 于点 D ,点

O 是 AC 边上一点,连接 BO 交 AD 于 F , OE ⊥ OB 交 BC 边于点 E . (1)求证: △ ABF ∽△COE ;

AC OF ? 2 时,如图 2,求 的值; AB OE AC OF ? n 时,请直接写出 (3)当 O 为 AC 边中点, 的值. AB OE
(2)当 O 为 AC 边中点,

B D F A O 图1 E C

B F A

D E O 图2 C

答案:

AD ⊥ BC ,??DAC ? ?C ? 90°. ?BAC ? 90° , ??BAF ? ?C . OE ⊥ OB, ??BOA ? ?COE ? 90° , ?BOA ? ?ABF ? 90° ,??ABF ? ?COE . ?△ ABF ∽△COE ; (2)解法一:作 OG ⊥ AC ,交 AD 的延长线于 G . AC ? 2 AB , O 是 AC 边的中点,? AB ? OC ? OA . 由(1)有 △ ABF ∽△COE ,?△ ABF ≌△COE , ? BF ? OE . ?BAD ? ?DAC ? 90° , ?DAB ? ?ABD ? 90° , ??DAC ? ?ABD , 又 ?BAC ? ?AOG ? 90° , AB ? OA . ?△ ABC ≌△OAG ,? OG ? AC ? 2 AB . OG ⊥ OA ,? AB ∥ OG ,?△ ABF ∽△GOF , OF OG OF OF OG ? ? ? ? ?2. , BF AB OE BF AB ,AC ? 2 AB,AD ⊥ BC 于 D , 解法二: ?BAC ? 90° AD AC ? Rt△BAD ∽ Rt△BCA .? ? ? 2. BD AB
解: (1) 设 AB ? 1 ,则 AC ? 2,BC ?

5,BO ? 2 ,

B F A

D E O C

2 1 1 5,BD ? AD ? 5. 5 2 5 ?BDF ? ?BOE ? 90° ,△ ? BDF ∽△BOE , BD BO ? ? . DF OE 1 5 2 由(1)知 BF ? OE ,设 OE ? BF ? x ,? 5 ,? x ? 10DF . ? DF x ? AD ?
在 △DFB 中 x ?
2

1 1 2 2 ? x ,? x ? . 5 10 3

4 2 2 4 OF 3 ? OF ? OB ? BF ? 2 ? 2? 2 .? ? ? 2. 3 3 OE 2 2 3 OF ?n. (3) OE

20130909160748625163 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-09 42. (2013 吉林省长春市) 如图, ?ABD ? ?BDC ? 90 °, ?A ? ?CBD ,AB=3,BD=2,则 CD
的长为

(A)

3 . 4

(B)

4 . 3

(C)2.

(D)3.

答案:B

20130908142630078647 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-08 43. (2013 湖 南 省 怀 化 市 )
如 图 6 , 已 知 : 在 ?A B C与 ?DEF 中 ,

?C ? 54? , ?A ? 47? , ?F ? 54? , ?E ? 79? .
求证: ?ABC ∽ ?DEF .

答案: 证明:在 ?DEF 中, ?D ? 180 ? ?E ? ?F ? 180 ? 79 ? 54 ? 47 , ????2
? ? ? ? ?

分 ∵ ?C ? F ? 54 , ?A ? ?D ? 47 ,????????????????????.4 分
? ?

∴ ?ABC ∽ ?DEF ???????????????????????????..6 分

20130905170924062871 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 基础知识 2013-09-05 44. (2013 四川省内江市) 如图,在?ABCD 中,E 为 CD 上一点,连接 AE、BD,且 AE、BD
交于点 F,S△DEF:S△ABF=4:25,则 DE:EC=( )

A. 2:5

B. 2:3

C . 3 :5

D.

3 :2

答案:B

20130905155641766331 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-05 45. (2013 四 川 省 南 充 市 )
如 图 , 等 腰 梯 形

ABCD 中 ,

A D ∥

, B C ? 3, A D ?,∠ 7 B C ?, 6 P0 B 边上一点(不与 B,C 重合) 为 BC ,过点 P

作 ∠APE ? ∠B , PE 交 CD 于 E . (1)求证: △ APB ∽△PEC ; (2)若 CE ? 3 ,求 BP 的长.

P

答案:
(1)证明:梯形 ABCD 中,

AD ∥ BC,AB ? DC ,

?∠B ? ∠C ? 60 . (1 分)
∠APC ? ∠B ? ∠BAP , 即 ∠APE ? ∠EPC ? ∠B ? ∠BAP . ∠APE ? ∠B , ?∠BAP ? ∠EPC . (2 分)

?△APB ∽△PEC . (3 分)
(2)过点 A 作 AF ∥ CD 交 BC 于 F . 则四边形 ADCF 为平行四边形, △ ABF 为等边三角形. (4 分)

? CF ? AD ? 3,AB ? BF ? 7 ? 3 ? 4 . △ APB ∽△PEC . BP AB ? ? . (5 分) EC PC 设 BP ? x .则 PC ? 7 ? x ,又 EC ? 3,AB ? 4 , x 4 ? ? . (6 分) 3 7?x
整理,得 x ? 7 x ? 12 ? 0 .
2

解得 x1

(7 分) ? 3,x2 ? 4 .

经检验, x1

? 3,x2 ? 4 是所列方程的根.

? BP 的长为 3 或 4. (8 分)

20130905152807937364 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-05 46. (2013 湖南省长沙市) 如图,在 △ ABC 中,点 D ,点 E 分别是边 AB,AC 的中点,则

△ ADE 与 △ ABC 的周长之比等于



答案: 1 : 2

20130905144940343141 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-05


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