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2014高考数学模拟试卷(一)


2014 高考数学模拟试卷(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第⒂题为选考题,其他题为必考题. 考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1 .答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号 , 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2 .选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使 用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3 .请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4 .保持卷面清洁,不折叠,不破损. 5 .做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 参考公式: 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.
3 1

球的表面积、体积公式: S ? 4? R2 、 V ? ? R3 ,其中 R 为球的半径.
3

4

样本数据 x1 , x 2 ,? x n 的标准差

s?

1 [( x ? x ) 2 ? ( x ? x ) 2 ? ? ? ( x ? x ) 2 ] 2 n n 1

,其中 x 为样本平均数.

?? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b

i ?1

? xi yi ? nx ? y
i ?1

n

? xi ? nx

n

2

2

? ? y ? bx . ,a

第I卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 2 1. 复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 2 ? z 等于 ( ) z y A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i
x y

C. ?1

D. ?1 ? 2i
1
O

2.定义 A ? B ? {z | z ? xy ? , x ? A, y ? B} .设集合 A ? {0, 2} , B ? {1, 2} ,C ? {1} . 则集合 ( A ? B) ? C 的所有元素之和为 A.3 B.9 ( )

B A

x

D.27 ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 3.函数 y ? tan( x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB =( ) 4 2 A.6 B.4 C. ?4
2

C.18

第 3 题图

D. ?6
2

4.如果实数 x, y 满足等式( x -2) +y =3,那么 A.

y 的最大值是( x



3 2 5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 s 值为 (

1 2

B.

3 3

C.

D. 3 )

A.102
4

B.410
2

C.614
3

D. 1638
4

6.若 (2 x ? 3 ) ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? a3 x ? a 4 x ,则
1

(a0 ? a2 ? a4 ) 2 ?(a1 ? a3 ) 2 的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2 7.在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派 3 名 代表,校际间轮流发言,对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉, 对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂,那么不同的发言顺序 共有( ) A.72 种 B.36 种 C.144 种 D.108 种 8.若函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有两个不同的零点 x1 , x 2 ,且
2

开始

i=1,s=0

s=2i -s

1 ? x1 ? x 2 ? 3 ,那么在 f (1), f (3) 两个函数值中
A.只有一个小于 1 C.都小于 1 B.至少有一个小于 1 D.可能都大于 1

(

)

i=i+2

i ? 10



是 输出 s

结束
(第 5 题)

9.设 ?an ? 是等差数列,从 ?a1 , a2 ,?, a20 ? 中任取 3 个不同的数,使这 3 个数仍成等差数列,则这样不同的等 差数列的个数最多有( ) A.90 B.120 C.180 D.200

5 5 10.已知两点 M(1, ) ,N(-4,- ) ,给出下列曲线方程: 4 4

①4x+2y-1=0

②x +y =3

2

2



x2 ? y 2 =1 2



x2 ? y 2 =1 2

在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是………………………………( A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④



第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已 知 数 列 {a n }中, a1 ? 2, a n ? a n ?1 ? 0(n ? N ), 则a10 的 值 等
*



.

12.已知 f ( x) ? ?

?log 2 (1 ? x), ( x ? 0) 则f (3) 的值等于 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2)( x ? 0)

.

13.如图是一建筑物的三视图(单位:米) ,现需将其外壁用油漆刷一遍, 若每平方米用漆 ? 千克,则共需油漆的总量为 千克 14.给出下列四个结论: ①“若 am2 ? bm2 则 a ? b ”的逆命题为真; ②若 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极值,则 f ?( x0 ) ? 0 ; ③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点;
2

④对于任意实数 x,有 f (?x) ? ? f ( x), g (?x) ? g ( x) 且 x>0 时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 ,则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x) 其中正确结论的序号是 .(填上所有正确结论的序号)

15. (在给出的二个题中,任选一题作答. 若多选做,则按所做的第一题给分) (1)(坐标系与参数方程选做题) 设过原点 O 的直线与圆 C: ( x ? 1) ? y ? 1 的一个交点为 P ,点 M 为线
2 2

段 OP 的中点。则点 M 轨迹的极坐标方程是

. .

(2)(不等式选讲选做题) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? x ? a(?1 ? x ? 1), 且 | a |? 1, 则 | f ( x) | 的最大值为

三.解答题:本大题共 75 分。其中(16)~(19)每小题 12 分,(20)题 13 分,(21)题 14 分.解答应写出文字说 明,正明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 若向量 a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (sin ? x, 0), 其中 ω ? 0 ,记函数 f ( x) ? (a ? b) ? b ? (1)求 f ( x) 的表达式及 m 的值; (2)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

?

?

若函数 f ( x) 的图像与直线 y ? m ( m 为常数)相切,并且切点的横坐标依次成公差为 ? 的等差数列。

? ? ? 1 , 2

交点横坐标成等比数列,求钝角 ? 的值。 17. (本小题满分 12 分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用 不同版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

? ? 7? ,得到 y ? g ( x) 的图像,当 x ? ( , ) 时, g ( x) ? cos? 的 12 2 4

(Ⅰ)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (Ⅱ)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ? ,求随机变量 ? 的分 布列和数学期望. 18. (本小题满分 12 分)在边长为 3 的正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足
AE CF CP 1 将 ?A 使二面角 A1 ? EF ? B 成直二面角, 连结 A1 B ,A1 P ? ? ? , E F 沿 EF 折起到 ?A1EF 的位置, EB FA PB 2

(如图) (I)求证: A1E ? 平面 BEP (Ⅱ)求点 B 到面 A1 PF 的距离 (Ⅲ)求异面直线 BP 与 A1 F 所成角的余弦

图1 19. (本小题满分 12 分)已知数列{ an }、{ bn }满足: a1 ? (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 , b4 ; (Ⅱ)设 cn ?

图2

bn 1 , an ? bn ? 1, bn ?1 ? . 4 (1 ? an )(1 ? an )

1 ,求数列 ?cn ? 的通项公式; bn ? 1
3

(Ⅲ)设 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? ... ? an an ?1 ,不等式 4aSn ? bn 恒成立时,求实数 a 的取值范围. 20.( 本小题满分 13 分)已知圆 C: x2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 y 轴的直线 m, 设 m 与 x 轴的交点为 N, 若向量 OQ ? OM ? ON , 求动点 Q 的 轨迹方程. (3) 若点 R(1,0),在(2)的条件下,求 RQ 的最小值. 21. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数: f ( x) ? 2n ?1 ( xn ? a) ? ( x ? a)n ,( x ?[0, ??) , n ? N ? ) 求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)证明:
??? ?

????

???? ? ????

a n ? bn a?b n ?( ) ( a ? 0,b ? 0,n ? N ? ) ; 2 2
n n n a1n ? a 2 ? a3 ? ??? ? ak

( Ⅲ ) 定 理 : 若 a1 ,a2 ,a3 ,???ak 均 为 正 数 , 则 有

k

?(

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak n ) 成立(其中 k

k ? 2, k ? N? , k 为常数 ) . 请 你 构 造 一 个 函 数 g ( x ) , 证 明 : 当 a1 ,a 2,a ,3???ak ,ak ? 均 为正数时, 1
n n a1n ? a 2 ? a n3 ? ??? ? ak ? 1

k ?1

?(

a1 ? a 2 ? a 3 ? ??? ? ak ? 1n ) . k ?1

4

2014 高考数学模拟试卷(一)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 B 6 A 7 A 8 B 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在题中横线上) 11. - 2 12.0 13. 24 π + 39 14. ④ 15. (1) ? ? cos ? (2)

5 4

1.D 提示: z 2 ? (1 ? i)2 ? ?2i ,

2.C 提示: A ? B ? {0, 4,5} 所以 ( A ? B) ? C ? ?0,8,10? 3.A 提示:由 y ? tan( x ? ) ? 1 ,得 B(3,1) ,由 y ? tan( x ? ) ? 0 ,得 A(2,0) ,由向量数量积便可得. 4 2 4 2
y 2 2 视为圆( x -2) +y =3 上点到原点连线的斜率. x 5.B 提示:(1) i ? 1, s ? 2 ? 0 ? 2 i ? 3 ;(2) i ? 3, s ? 23 ? 2 ? 6 i ? 5 ;(3) i ? 5, s ? 25 ? 6 ? 26 i ? 7 ;依次进行便可.

2 1 ? z ? ? (1 ? i) ? 2i ? 1 2 ?i z

?

?

?

?

4.D 提示:数形结合法,

6.A 提示:将 x ? ?1, x ? 1 代入 (2 x ? 3) 4 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? a3x 3 ? a 4 x 4 ,所得两式相乘. 7.A 2 A33

? ? ? a 2 ? 4b ? 0 ? f (1) ? 0 ? a ? 8 . B 解 析 : 由 题 知 ? f (3) ? 0 , 若 对 称 轴 在 区 间 (1,3) 时 , x ? ? ? 2 , 则 a?4 , 2 ? ?1 ? ? a ? 3 ? 2 ? 2 a f (3) ? f (1) ? 1 ? a ? b ? b ? 3 ? ? 3 ? 1 ,当对称轴靠近 1 或 3 的某一侧时, f (1) 或 f (3) 将更小.故选 B. 4 9. 解析:所取三个数公差为 1 时,有 1、2、3,2、3、4,---,共 18 种;公差为 2 时,共 16 种;----依次 当公差为 9,共 2 种.所有相加共 180 种. 10.解析:P 满足|MP|=|NP|即 P 是 MN 的中垂线上的点,P 点存在即中垂线与曲线有交点。MN 的中垂线方 程为 2x+y+3=0,与中垂线有交点的曲线才存在点 P 满足|MP|=|NP|,直线 4x+2y-1=0 与 2x+y+3=0 平行,故 排除(A) 、 (C) ,
又由 ? x 2
?2 x ? y ? 3 ? 0 ? ? △=0,有唯一交点 P 满足|MP|=|NP|,故选 D. ? y2 ? 1 ? ? 2

14.解析: m2 ? 0 ,可知①错; f ( x) ? x , x0 ? 0 ,则 f ?( x0 ) 不存在,可知②错;由单位圆知 sin x ? x 故 只有一个交点,故③错。由奇函数的增减性一致,偶函数的增减性相反,知 x<0 时 f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 ,故 ④正确。 15.(1)解析:圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ?
2 2

设点 P 的极坐标为 ( ?1 ,?1 ) ,点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) , ∵点 M 为线段 OP 的中点, ∴ ?1 ? 2 ? ,?1 ? ? , 将 ?1 ? 2 ? ,?1 ? ? 代入圆的极坐标方程,得 ? ? cos ? .
5

∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ? ? cos ? (2)(证法一:∵ ?1 ? x ? 1 ,∴ | x |? 1 ,又∵ | a |? 1 ,∴ | f ( x) |?| a( x ? 1) ? x |?| a( x ? 1) | ? | x |
2 2

1 5 5 ?| x 2 ? 1 | ? | x ? | 1 ? x|2 | ? x | ?| ? x ( | ?2 | ) ? 。 ? 2 4 4
证法二:设 g (a) ? f ( x) ? ax ? x ? a = ( x ? 1)a ? x ,∵ ?1 ? x ? 1 ,
2

2

5 2 2 ;当 x ? ?1 , x ? 1 <0, g (a)=ax ? x ? a 是单调递减函数, 4 1 2 5 ∵ | a |? 1 ,∴ ?1 ? a ? 1 ,∴ g ( a ) max = g (?1) = ? x 2 ? x ? 1 ? ? (x ? ) ? ; 2 4 1 5 1 5 5 2 g (a ) min = g (1) = x 2 ? x ? 1 ? (x ? ) ? 。∴ | f ( x) |?| g (a) |? ( | x ? )2 | ? ? 。 2 4 2 4 4
当 x ? ?1 时, | f ( x) |?| g (a) |? 1 ? 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) (1)解:? a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (sin ? x, 0),

?

?

? ? ? 1 1 ? ? f ( x) ? (a ? b) ? b ? ? 3 sin ? x cos ? x ? sin 2 ? x ? ? sin(2? x ? ) ----------4 分 2 2 6
由题意可知其周期为 ? ,故 ? ? 1 ,则 f ( x) ? sin(2 x ? (2)解:将 f ( x) ? sin(2 x ?

?

?
6

) 的图像向左平移

由其对称性,可设交点横坐标分别为 x1 ,

3? 9 ? x1 )2 ? x1 (? ? x1 ), 则x1 ? ? 2 16 9? ? 5? 5? 则? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos 8 8 8 8 (

3? ? x1 , ? ? x1 , 有 2

? ,得到 g ( x) ? sin 2 x ,-------------------8 分 12

6

) , m ? ?1 。--------------6 分

------------------------10 分 ------------------------------12 分

2 ? 1225 . 17. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C 50

2 2 2 ? C15 ? C52 ? C10 ? 350 . 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C 20

故 2 人使用版本相同的概率为: P ? (Ⅱ)∵ P (? ? 0) ?
2 C15 3 ? , 2 C 35 17 2

350 2 ? . ------------------6 分 1225 7

C 38 C1 C1 ? P(? ? 1) ? 20 2 50 , P(? ? 2) ? 20 . 2 C35 C 35 119
∴ ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3 17

60 119

38 119

18. (本小题满分 12 分)证明: (I)在图 1 中,取 BE 的中点 D,连 DF
6



AE CF CP 1 ? ? ? ,∵ AF ? AD ? 2, 又 ?A ? 60? ∴ ?ADF 为正三角形 EB FA PB 2
∴ EF ? AD ∴在图 2 中有 A1E ? EF , BE ? EF ∴ A1 E ? BE

又∵AE=ED=1

∴ ?A1 EB 为二面角 A1 ? EF ? B 的平面角∵二面角 A1 ? EF ? B 为直二面角 又∵ BE ? EF ? E ∴ A1 E ? 面BEF 即 A1 E ? 面BEP

-----------4 分

(Ⅱ)∵BE//PF ∴BE//面 A1 PF ∵B 到面 A1PF 的距离即为 E 到面 A1PF 的距离, ∵ BE ? 面A1 EF ,又 BE//PF, ∴ PF ? 面A1 EF ∴ 面A1 EF ? 面A1 PF
3 2

∵E 到面 A1 PF 的距离即为 ?A1EF 中 E 到 A1 F 的距离 ∴点 B 到面 A1 PF 的距离为

d=A1E× sin 60? ?

3 -------------8 分 2

(Ⅲ)∵DF//BP ∴ ?DFA1 即为所求角

?A1 DF 中 A1 D ? 2, DF ? 2, A 1 F ? 2 , cos ?DFA1 ?
∴异面直线 BP 与 A1 F 所成角的余弦值为 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) bn ?1 ?

DF 2 ? A1 F 2 ? A1 D 2 3 ? 2 DF ? A1 F 4
-----------12 分

3 4

bn bn 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∴ b2 ?

∵ a1 ?

1 3 , b1 ? 4 4

4 5 6 , b3 ? , b4 ? ……3 分 5 6 7

(Ⅱ)∵ bn ?1 ? 1 ?

2 ? bn 1 1 1 ?1 ∴ ? ? ?1 ? 2 ? bn bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1

∴数列{ cn }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列.∴ cn ? ?4 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 3 . --------6 分 (Ⅲ)由于 cn ?

1 n?2 1 ? ?n ? 3 ,所以 bn ? 从而 an ? 1 ? bn ? --------7 分 bn ? 1 n?3 , n?3

1 1 1 n ∴ Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? 1 ? 1 ? ??? ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)

∴ 4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? --------8 分 n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)
2 2

由条件可知 (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件,设 f (n) ? (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8
7

当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立 当 a ? 1 时,由二次函数的性质知不可能成立

3 a?2 3 1 ? ? ? (1 ? ) ? 0 , f (n) 在 (1, ??) 为单调递减函数. 2 a ?1 2 a ?1 15 f (1) ? (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ? 1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ? 15 ? 0 ,∴ a ? ∴ a ? 1时 4aSn ? bn 恒 4
当 a ? 1时,对称轴 n ? ? 成立。综上知: a ? 1时, 4aSn ? bn 恒成立--------12 分 20. (本小题满分 13 分)解: (1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点 坐标为
(1, 3) 和 (1, ? 3) ,其距离为 2 3 ,满足题意

-----------1 分

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 ----------2 分 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1,?1 ?

?k ? 2 k ?1
2

,k ?

3 , 4

故所求直线方程为 3x-4y+5=0 综上所述,所求直线为 3x-4y+5=0 或 x=1 ----------------4 分 (2)设点 M 的坐标为(x0,y0),Q 点坐标为(x,y)则 N 点坐标是(x0, 0)
???? ???? ? ???? ? OQ ? OM ? ON ,∴ ( x, y) ? (2 x0 , y0 )
2 2 又? x0 ? y0 ? 4,?

x 即 x0 ? , y0 ? y 2

x2 ? y2 ? 4 4

-------------8 分

由已知,直线 m //y 轴,所以, x ? 0 ,
x2 ----------9 分 ? y 2 ? 4 ( x ? 0) 4 ???? 2 ??? ? (3)设 Q 坐标为(x,y), RQ ? ( x ? 1, y) , RQ ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ,-------------10 分

∴ Q 点的轨迹方程是?



x2 ? y2 ? 4 4

( x ? 0) 可得:

4 44 3( x ? ) 2 ? ??? ?2 y2 2 3 3 ? 11 -------------12 分 RQ ? ( x ? 1) ? 4 ? = 4 3 4

? x ? [?4,0) ? (0, 4] , ? x ?

??? ? 33 4 时, RQ 取到最小值 -------------13 分 3 3

21. (本小题满分 14 分)解: (Ⅰ)令 f ?( x ) ? 2n ?1 nxn ?1 ? n( a ? x )n ?1 ? 0 得 ( 2 x )n ?1 ? ( a ? x )n ?1 ,?2x ? a ? x,? x ? a ---------------2 分 当 0 ? x ? a 时,? 2 x ? a ? x,

? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [0, a] 上递减.

当 x ? a, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (a , ??) 上递增. 所以,当 x ? a 时, f ( x) 的最小值为 f (a) ? 0 ---------------4 分
8

(Ⅱ)由 b ? 0 ,有 f ( x) ? f (a) ? 0 , 故

即 f (b) ? 2n ?1 (a n ? bn ) ? (a ? b)n ? 0

a n ? bn a?b n ?( ) ( a ? 0,b ? 0,n ? N ? ) . --------5 分 2 2
n n n a1n ? a 2 ? a3 ? ??? ? ak ?1

(Ⅲ)证明:要证:

k ?1

?(

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ?1 n ) k ?1

n n n n ? a3 ? ??? ? ak 只要证: (k ? 1)n ?1 (a1n ? a 2 ?1 ) ? ( a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ?1 ) n n ? a3 ? ??? ? x n ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? x)n -------------7 分 设 g ( x) ? (k ? 1)n ?1 (a1n ? a 2

则 g ?( x) ? (k ? 1)n ?1 ? nx n ?1 ? n(a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? x)n ?1

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ---------------8 分 k a ? a2 ? a3 ? ??? ? ak 当0? x? 1 时, g ?( x) ? (k ? 1)n ?1 ? nx n ?1 ? n(a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? x)n ?1 k
令 g ?( x) ? 0 得 x ?

? n(a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? x)n?1 - n(a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? x)n?1 =0
a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak a ? a ? a3 ? ??? ? ak ] 上递减,类似地可证 g ( x) 在 [ 1 2 , ??) 递增 k k a ? a2 ? a3 ? ??? ? ak a ? a2 ? a3 ? ??? ? ak 所以当 x ? 1 时, g ( x) 的最小值为 g ( 1 ) ------------10 分 k k a ? a ? a ? ??? ? ak 而 g( 1 2 3 ) k a ? a ? a ? ??? ? ak n a ? a ? a ? ??? ? ak n n = (k ? 1)n?1 (a1n ? a2 ? ??? ? akn ? ( 1 2 3 ) ) ? (a1 ? a2 ? ??? ? ak ? 1 2 3 ) k k (k ? 1)n?1 n n n = [k (a1 ? a2 ? ??? ? akn ? (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak )n ) ? (k ? 1)(a1 ? a2 ? ??? ? ak )n ] kn (k ? 1)n?1 n n n = [k (a1 ? a 2 ? ??? ? akn ) ? k (a1 ? a2 ? ??? ? ak )n ] n k (k ? 1)n?1 n?1 n n = [k (a1 ? a2 ? ??? ? akn ) ? (a1 ? a2 ? ??? ? ak )n ] n ?1 k a ? a ? a ? ??? ? ak n n ? ??? ? ak ) ? (a1 ? a2 ? ??? ? ak )n ? 0 , 故 g ( 1 2 3 由定理知: k n ?1 (a1n ? a 2 )?0 k a ? a ? a ? ??? ? ak )?0 ? ak ?1 ?[0, ??) ,? g (ak ?1 ) ? g ( 1 2 3 k
故 g ( x) 在 [0,
n n n n ? a3 ? ??? ? ak 故 (k ? 1)n ?1 (a1n ? a 2 ?1 ) ? ( a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ?1 )

即:

n n n a1n ? a 2 ? a3 ? ??? ? ak ?1

k ?1

?(

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ?1 n ) ---------------14 分 k ?1

9


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