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2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标2

时间:2014-09-06


2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 新课标 2 卷
注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答

案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1)已知集合 A ? {?2,0, 2} , B ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} ,则 A ? B= (A) ? (2) (B) ?2? (C) ?0? (D)

??2?

1 ? 3i ? 1? i
(A) 1 ? 2i (B) ?1 ? 2i (C) 1-2i (D) ? 1-2i

(3)函数 f ? x ? 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f ?( x0 ) ? 0; q : x ? x0 是 f ? x ? 的极值点,则 (A) p 是 q 的充分必要条件 (B) p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 (C) p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 (4)设向量 a , b 满足 |a+b|= 10 , |a-b|= 6 ,则 a·b= (A)1 (B) 2 (C)3 (D) 5

(5)等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项 Sn =

(A) n ? n ? 1?

(B) n ? n ?1?

(C)

n ? n ? 1? 2

(D)

n ? n ? 1? 2

(6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画 出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm, 高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为 (A)

17 27

(B)

5 10 (C) 9 27

(D)

1 3

(7)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,D 为 BC 中点,则三棱锥 A ? B1DC1 的体积为

(A)3

(B)

3 2

(C)1

(D)

3 2

(8)执行右面的程序框图,如果如果输入的 x,t 均为 2,则输出 的 S= (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

?x ? y ?1 ? 0 ? (9)设 x,y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
最大值为 (A)8 (B)7
2

(C)2 (D)1
°

(10)设 F 为抛物线 C : y ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 的直线交于 C 于 A, B 两点,则 AB =

(A)

30 3

(B)6

(C)12

(D) 7 3

(11)若函数 f ( x) ? kx ? ln x 在区间(1,+ ? )单调递增,则 k 的取值范围是

(A) ? ??, ?2?

(B) ? ??, ?1?

(C) ? 2, ???

(D) ?1, ?? ?
°

(12)设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上存在点 N,使得 ?OMN ? 45 ,则 x0 的取值范围是 (A) ??1,1? (B) ? ? , ? 2 2

? 1 1? ? ?

(C) ? ? 2, 2 ? (D)

?

?

? 2 2? , ? ?? ? 2 2 ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个考试考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他们选择相 同颜色运动服的概率为_______. (14)函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2sin ? cos x 的最大值为_________. (15)已知函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (0) ? 3 ,则 f (?1) ? _______. (16)数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 , a2 ? 2 ,则 a1 =_________. 1 ? an

三、解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3, CD=DA=2. (Ⅰ)求 C 和 BD ; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积。 (18) (本小题满分 12 分) 如图,四凌锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩 形, PA ? 面 ABCD , E 为 PD 的中点。 (Ⅰ)证明: PB // 平面 AEC ; (Ⅱ)设置 AP ? 1 , AD ? 3 ,三棱锥 P ? ABD 的 体积 V ?

3 ,求 A 到平面 PBD 的距离。 4

(19) (本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市民

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。 (20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, a2 b2

直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。 (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b。

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标 为-2. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)证明:当时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号。

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线 交⊙O 于点 E,证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ) AD ? DE ? 2PB
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标 方程为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标。

?
2

]

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

1 | ? | x ? a | ( a ? 0) 。 a

(Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围。

参考答案
一、选择题 1.B 7.C 二、填空题 13. 2.B 8.D 3.C 9.B 4.A 10.C 5.A 11.D 6.C 12.A

1 3

14. 1

15. 3

16.

1 2

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由题设及余弦定理得

BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2BC ? CD cos C
? 13 ? 12cos C


BD2 ? AB2 ? DA2 ? 2 AB ? DA cos A
? 5 ? 4 cos C
由①,②得 cos C ? ②

1 ,故 C ? 60 , BD ? 7 2

(Ⅱ)四边形 ABCD 的面积

S?

1 1 AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C 2 2 1 1 ? ( ? 1? 2 ? ? 3 ? 2) sin 60 2 2

?2 3
18.解: (Ⅰ)设 BD 与 AC 的交点为 O ,连接 EO 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又因为 E 为 PD 的中点,所以 EO//PB

EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,所以 PB // 平
面 AEC

(Ⅱ) V ?

1 1 3 ? S?ABD ? PA ? PA ? AB ? AD ? AB 3 6 6
3 3 ,可得 AB ? 2 4

由题设知 V ?

做 AH ? PB 交 PB 于 H 由题设知 BC ? 平面PAB ,所以 BC ? AH ,故 AH ? 平面PBC , 又 AH ?

PA ? AB 3 13 ? PB 13 3 13 13

所以 A 到平面 PBC 的距离为 19.解:

(Ⅰ)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 75,75, 故样本中位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68,故样本中位数

66 ? 68 ? 67 ,所以该市的市民对乙部门品分的中位数的估计值是 67. 2 5 8 ? 0.1, ? 0.16 , (Ⅱ)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为 50 50
为 故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16. (Ⅲ)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶 图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对 甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大(注:考生利用其 他统计量进行分析,结论合理的同样给分。 ) 20.解: (Ⅰ)根据 c ? a ? b 及题设知 M (c,
2 2
2 2 2 2

b2 ), 2b 2 ? 3ac a
c 1 c ? , ? ?2 (舍去) a 2 a

将 b ? a ? c 代入 2b ? 3ac ,解得 故 C 的离心率为

1 2

(Ⅱ) 由题意, 原点 O 为 F1F2 的中点,MF2 // y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0, 2) 是线段 MF1

b2 ? 4 ,即 的中点,故 a
b2 ? 4a
由 | MN |? 5 | F 1 N | 得 | DF 1 |? 2 | F 1N | 设 N ( x1 , y1 ) ,由题意知 y1 ? 0 ,则 ①

3 ? ? 2(?c ? x1 ) ? c ? x1 ? ? c 即? 2 ? ? ?2 y1 ? 2 ? y ? ? 1 ? 1
代入 C 的方程,得

9c 2 1 ? ?1 4a 2 b 2



将①及 c ? a2 ? b2 代入②得 解得 a ? 7, b2 ? 4a ? 28 ,故

9(a 2 ? 4a) 1 ? ?1 4a 2 4a

a ? 7, b ? 2 7
21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? a , f ?(0) ? a 曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线方程为 y ? ax ? 2 由题设得 ?

2 ? ?2 ,所以 a ? 1 a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 2 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 2 ? x ? 3x ? (1 ? k ) x ? 4
3 2

由题设知 1 ? k ? 0 当 x ? 0 时, g ?( x) ? 3x ? 6 x ?1 ? k ? 0 , g ( x) 单调递增, g (?1) ? k ? 1 ? 0, g (0) ? 4 ,
2

所以 g ( x) ? 0 在 (??, 0] 有唯一实根。

当 x ? 0 时,令 h( x) ? x3 ? 3x2 ? 4 ,则 g ( x) ? h( x) ? (1 ? k ) x ? h( x)

h?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2), h( x) 在 (0, 2) 单调递减,在 (2, ??) 单调递增,所以
g ( x) ? h( x) ? h(2) ? 0
所以 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 没有实根 综上 g ( x) ? 0 在 R 由唯一实根,即曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。 22.解: (Ⅰ)连结 AB,AC,由题设知 PA=PD,故 ?PAD ? ?PDA 因为 ?PDA ? ?DAC ? ?DCA

?PAD ? ?BAD ? ?PAB

?DCA ? ?PAB
所以 ?DAC ? ?BAD ,从而 BE ? EC 因此 BE ? EC (Ⅱ)由切割线定理得 PA ? PB ? PC
2

因为 PA ? PD ? DC ,所以 DC ? 2PB, BD ? PB 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC 所以 AD ? DE ? 2PB 23.解: (Ⅰ) C 的普通方程为
2

( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1)
可得 C 的参数方程为

? x ? 1 ? cos t ( t 为参数, 0 ? t ? ? ) ? ? y ? sin t
(Ⅱ)设 D(1 ? cos t ,sin t ) 由(Ⅰ)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心,1 为半径的上半圆,因为 C 在点 D 处 的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同。

tan t ? 3, t ?
故 D 的直角坐标为 (1 ? cos 24.解: (Ⅰ)由 a ? 0 ,有 f ( x) ?| x ? 所以 f ( x) ? 2 (Ⅱ) f (3) ?| 3 ?

?
3

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 3 3 2 2

1 1 1 | ? | x ? a |?| x ? ? ( x ? a) |? ? a ? 2 a a a

1 | ? |3? a | a 1 5 ? 21 ,由 f (3) ? 5 得 3 ? a ? a 2 1 1? 5 ,由 f (3) ? 5 得 ?a?3 a 2

当 a ? 3 时, f (3) ? a ?

当 0 ? a ? 3 时, f (3) ? 6 ? a ?

综上, a 的取值范围是 (

1 ? 5 5 ? 21 , ) 2 2


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