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3.2.1直线的点斜式方程


问题情境:
问题1: 若直线 l 经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线 l 上运动,则点P的坐标(x,y)满足怎样的关系式? y ?3 y ? ?2 (点P不同于点A时) x ? (?1) A(?1,3)
o
P( x, y)

x

y ? 3 ? ?2[ x ? (?1)]

l

10直线 l 上每一点的坐标(x,y)都满足:
y ? 3 ? ?2[ x ? (?1)]

20 坐标满足此方程的每一点都在直线l 上.

建构数学:
问题2:若直线 l 经过点P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线 的方程是?
y
P( x, y)
P 0 ( x0 , y0 )
y ? y0

l

y ? y0 ?k x ? x0

( x ? x0 )



故: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( x ? x0 )
x



x ? x0

o

(1)过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k的直线l 上每个点的坐标都 满足方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ; (2)坐标满足这个方程的每一点都在过点 P0 ( x0 , y0 ),斜 率为k的直线 l 上.

建构数学:

经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 的 方程为:

l

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定,

所以我们把它叫做直线的

点斜式方程.

注意: 点斜式方程的形式特点.

1、直线的点斜式方程:
(1)、当直线l的倾斜角是00时, tan00=0,即k=0,这时直线l与 x轴平行或重合 l的方程:y-y1=0 或 y=y1

y y1 O l

x

y

(2)、当直线l的倾斜角是900时, 直线l没有斜率,这时直线l与y 轴平行或重合 l的方程:x-x1=0 或 x=x1

l

O

x1

x

点斜式方程的应用:
例1:一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角 α=450,求这条直线的方程,并画出图形。
解:这条直线经过点P1(-2,3), 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y-3 = x + 2
y
5 P1 ° ° ° -5 O

x

练习

1、写出下列直线的点斜式方程:

(1)经过A(3,?1), 斜率是 2 0 (2)经过B(? 2,2),倾斜角是 30
(3)经过C(0,5),倾斜角是0 (4)经过A(3, ?1), 倾斜角是90
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角: (1)y-2 = x-1
0

(2) y ? 2 ?

3x ? 3

2、直线的斜截式方程:
已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P(0, y b),求直线方程。

代入点斜式方程,得l的直线方程: y - b =k ( x - 0) (2) 即 y = kx + b。

.(0,b)

O

x

直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴 上的截距。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b 确定,所以方程(2)叫做直线的斜截式方程,简 称斜截式。

练习

斜截式方程的应用:

1:写出下列直线的斜率和在y轴上的截距:

(1)y ? 3x ? 2 (2) y ? 3x (3) x ? 3 y ? 2

1 2 y ? x? 3 3

思:截距是距离吗?
截距可以取什么数?

练习
2、写出下列直线的斜截式方程:

3 (1)斜率是 , 在y轴上的截距是? 2 2 (2)斜率是? 2, 在y轴上的截距是 4

例题分析:
例3 已知直线l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2)l1 ? l 2的条件是什么?

l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
l1 ∥ l 2 ? k1 ? k2 , 且b1 ? b2 l1 ? l 2 ? k1 ? k2 ? ?1

练习
3.判断下列各直线是否平行或垂直
1 (1) l1 : y ? x ? 3 2 1 l2 : y ? x ? 2 2 (2) 5 l1 : y ? x 3 3 l2 : y ? ? x 5


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