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广东省汕头市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案


2014-2015 学年第二学期期末教学质量监测

高一数学
注意事项:本试卷共 4 页, 20 小题,满分 150 ,考试用时 120 分钟. 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 5.本次考试不允许使用计算器。 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. sin 600 的值等于( * ). A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2.已知角 α 的终边经过点 P(?1, 2) ),则 tan ? ? ? A. 3 B. ?3

? ?

??
1 3

? 的值是( * ). 4?
D. ?

C.

3. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c , 已知 A ? A.

?
3

1 3

, a ? 3 , b ? 1, 则 B= ( * )

? 3

B.

? 6

C.

5? 6 1 1 C. ? a b

D.

? 5? 或 6 6
?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

a b

4. 已知 a ? b ? 0 , 则下列不等式一定成立的是( * ) A. a ? ab
2

B. a ? b

5. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 1 ,则 a-b 等于( * A.3 B. 3 C.2

D.1

-1-

6.设等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,已知 S10 ? 100 ,则 a2 ? a9 ? ( * ). A. 100 B. 40 C. 20 D. 12 )

7. 在等比数列 ?an ? 中, 若 a3a6 ? 9, a2 a4 a5 ? 27 , 则 a2 的值为( * A. 2 B.

3

C. 4

D.

9

? y ? 1, ? 8. 如果实数 x 、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为( * ) ? x ? y ? 1 ? 0. ?
A. 1 B.

5 3

C. 2

D. 3

9.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? ? ? 0, ? ? 式是( * )

? ?

??

? 的图像如图 1 所示,则函数 f ( x) 的解析 2?

A. f ( x) ? 2sin ?

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11
1

y

B. f ( x) ? 2sin ?

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11

? ? ? C. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 6 ? ?
D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

O

11? 12

x

? ?

? ?
? 6 ?
图1

10 . 已 知 OA ? 1 , OB ? 3 , OA ? OB ? 0 , 点 C 在 AB 上 , 且 ?AOC ? 30 , 设

OC ? mOA ? n OB ( , m? n ),则 R
A. 1 3 B. 3

m 等于( n
C.

*

)

3 3

D.

3

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x, 2) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为
2

*



12. 已知关于 x 的一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} ,则

a ? b ? ___*___.

-2-

13. 某观察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A 在观察站 C 北偏 东 30 ,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 30 处,则两灯塔 A 、 B 间的距离为___*_______. 14. 定义等积数列 {an } :若 an an?1 ? p( p 为非零常数,n ? 2 ) ,则称 {an } 为等积数列, p 称为公积.若 {an } 为等积数列,公积为 1,首项为 a ,前 n 项和为 Sn ,则 a2015 ? _____*____,

S2015 ? _____*____.
三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) 15. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (4, 3), b = (- 1, 2) . (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行,求 ? 的值.

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

-3-

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

18. (本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 13 , a2 为整数,且 Sn ? S5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

19. (本小题满分 14 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修, 可供利用的旧墙足够长),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽 2 m 的进出 口,如图 2 所示.已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的造价为 180元 / m .设利用旧墙的长 度为 x (单位: m ),修建此矩形场地围墙的总费用为 y (单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数,并写出此函数的定义域; (2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的 15%,试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
2

x

图2

-4-

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? nan ? (n ?1)Sn ? 2n

(n ? N * ) .
(1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列 ?Sn ? 2? 是等比数列; (3)设 bn ?

8n ? 14 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求满足 Tn ? 0 的最小自然数 n 的值. Sn ? 2

-5-

2014-2015 学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种 解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能 力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超 过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 B 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 题号 答案 11 12 13 14

?4

0

700m

a , 1008a ?

1007 . ( 第一空 2 分,第二空 3 分) a

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分12分) 已知向量 a = (4, 3), b = (- 1, 2). (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行,求 ? 的值. 解: (1) a ? (4, 3), b ? (?1, 2)

? a ? b ? 4 ? (?1) ? 3 ? 2 ? 2, a ? 42 ? 32 ? 5, b ? (?1) 2 ? 22 ? 5 ………………3 分
∴ cos ? a, b ??

a ?b 2 2 5 ? ? a b 5 5 25

……………………6 分

(2) ∵ a = (4, 3), b = (- 1, 2). ∴ a ? ?b ? (4 ? ? ,3 ? 2? ), 2a ? b ? (7,8) ∵向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行, ∴ …………………………8 分

4 ? ? 3 ? 2? ? 7 8 1 解得: ? ? ? 2

…………………………10 分 …………………………12 分

-6-

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

解: (1)∵ f ( x) ? ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x

? 2sin(2 x ? ) 3

?

.

…………………… 4 分 ………… 5 分

? f ( x) 的最小正周期为 ? .
(2)∵ x ? [ ?

? ?

, ], 3 3

??? ? 2 x ?

?

3

?

?
3



∴ ?1 ? sin(2 x ?

?
3

)?

3 . 2
……………… 9 分

? f ( x) 的值域为 [?2, 3] .

? 当 y ? sin( 2 x ?
由?

?
3

) 递增时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

?

?
3

,得 ?

?
12

?x?

?
3



故 f ( x) 的递增区间为 ? ?

? ? ?? , . ? 12 3 ? ?

……………………12 分

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. 解: (1)∵ cos

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

A 2 5 ? 2 5
2

∴ cos A ? 2 cos ∵ AB ? AC ? 3

A 3 4 ? 1 ? , sin A ? 2 5 5

……………………4 分

-7-

∴ bc cos A ? 3 ………………………6 分 ∴ bc ? 5 ………………………7 分 ∴ ?ABC 的面积 S ?ABC ? (2)∵ bc ? 5 , b ? c ? 6 ∴ b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 …………………………………11 分 由余弦定理得

1 bc sin A ? 2 ……………………8 分 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ………………………13 分
∴ a ? 2 5 ………………………………14 分 18. (本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 13 , a2 为整数,且 Sn ? S5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

解: (1)在等差数列 {an } 中,由 Sn ? S5 得 a5 ? 0 , a6 ? 0 , 又 a1 ? 13 , ∴? ……………………2 分

?13 ? 4d ? 0 13 13 ?d ?? , ,解得 ? 4 5 ?13 ? 5d ? 0

…………………5 分

∵ a2 为整数,∴ d ? ?3 , ∴ {an } 的通项公式为 an ? 16 ? 3n . (2)∵ bn ?

……………………6 分 ……………………7 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,……………………9 分 an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

? bn
1 1 1 ?) ( ? ?) ? 10 4 7 1 1 ( ? )] ………… 12 分 ? 1 n 3 3? n1 6 3

1 1 1 1 ? [( ? ) ? (? 3 10 13 7

1 1 1 n ? ( ? )? ……………………14 分 3 13 ? 3n 13 13(13 ? 3n)
-8-

19. (本小题满分 14 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修, 可供利用的旧墙足够长),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽 2 m 的进出 口,如图 2 所示.已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的造价为 180元 / m .设利用旧墙的长 度为 x (单位: m ),修建此矩形场地围墙的总费用为 y (单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数,并写出此函数的定义域; (2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的 15%,试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. x
2

图2 解:(1)设矩形场地的宽为 am ,则

y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a ? 225x ? 360a ? 360 ……………2 分
∵ ax ? 360 ∴a ?

360 x

……………4 分

∴ y ? 225 x ? (2) ∵ x ? 0

3602 ? 360 ( x ? 0) x

……………6 分

3602 ? 360 ? 2 225 ? 3602 ? 360 ? 10440 ∴ y ? 225 x ? x
当且仅当 225 x ?

……………9 分

3602 ,即 x ? 24 时,等号成立. x

……………11 分

当 x ? 24 时,修建此矩形场地围墙的总费用的 15%为:1566 元,用于维修旧墙的费 用为:1080 元. ∵1080<1566 ……………13 分 ∴当 x ? 24m 时,修建此矩形场地围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. 20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? nan ? (n ?1)Sn ? 2n

(n ? N * ) .
(1)求 a2,a3 的值;

-9-

(2)求证:数列 ?Sn ? 2? 是等比数列; (3)设 bn ? 值. 解: (1)∵ a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ∴ a1 ? 2,

8n ? 14 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,并求满足 Tn ? 0 的最小自然数 n 的 Sn ? 2

? nan ? (n ?1)Sn ? 2n (n ? N * )

a1 ? 2a2 ? (a1 ? a2 ) ? 4 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) ? 6 ……………………………………2 分 ∴ a2 ? 4, a3 ? 8 ……………………………………3 分
(2)证明:∵ a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? nan ? (n ?1)Sn ? 2n (n ? N * )

① ②

∴当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 由① ? ②得

? (n ?1)an ? (n ? 2)Sn?1 ? 2(n ?1)

……………………4 分

nan ? [(n ?1)Sn ? 2n] ? [(n ? 2)Sn?1 ? 2(n ?1)] ? n(Sn ? Sn?1 ) ? Sn ? 2Sn?1 ? 2 ……………………6 分 ? nan ? Sn ? 2Sn?1 ? 2 ∴ ?Sn ? 2Sn?1 ? 2 ? 0 ,即 Sn ? 2Sn?1 ? 2 ∴ Sn ? 2 ? 2(Sn?1 ? 2) ∵ S1 ? 2 ? 4 ? 0 ∴ Sn?1 ? 2 ? 0 S ?2 ∴ n ?2 Sn ?1 ? 2

∴数列 ?Sn ? 2? 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列。…………………8 分

(3) 由(2)得 Sn ? 2 ? 2n?1 8n ? 14 4n ? 7 ∴ bn ? ………………………………9 分 ? Sn ? 2 2n 3 1 5 4n ? 7 ∴ Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2n 1 3 1 5 4n ? 11 4n ? 7 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2n 2
以上两式相减得

1 3 1 1 Tn ? ? ? 4( 2 ? 3 ? 2 2 2 2
即 Tn ?

?

1 4n ? 7 )? n 2 2n

2 n ? 4n ? 1 ………………………………12 分 2n 当 n ? 1, 2, 3, 4 时, Tn ? 0 ,当 n ? 5 时, Tn ? 0 ………………………………13 分
所以满足 Tn ? 0 的最小自然数 n 的值为 5。………………………………14 分
- 10 -


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