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高一数学SX1003006


高一数学 SX-10-03-006

2.5《等比数列前 n 项和》导学案
编写人:艾芷弘 【学习目标】 审核人:胡圣兵 编写时间:2010-03-13

1. 探索并学会等比数列前 n 项和公式的推导思路与方法 2. 学会灵活应用等比数列前 n 项和公式与性质解决一些相关问题
【重难点】 重点:等比数列前 n 项和公式

的推导方法 难点:掌握公式的有关性质及灵活应用 【学习过程】 一.预习自学 1.等比数列的前 n 项和公式 (1) 当 q ? 1 时, S n = (2) 当 q ? 1 时, S n = =

对于等比数列相关量 a1 , an , q, n, S n ,只三求二 2.等比数列前 n 项和的性质 (1) 数列 ?an ? 是等比数列,公比 q ? ?1 , S n 是其前 n 项和,则 S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,? 仍构成等比数列 (2) 若数列 ?an ? 前 n 项和公式为 S n = a(1 ? q ) (a ? 0, q ? 0且q ? 1) 则数列 ?an ? 为
n

(3) 在等比数列中,若项数为 2n, (n ? N * ) , S 偶与S奇 分别为偶数项与奇数项的和,则

S偶 S奇

=

二.典型例题 (一)等比数列前 n 项和的基本运算 例 1.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a 6 ?

5 , 求a 4 和S5 4

变式训练:1. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66, a2 an?1 ? 128 , S n ? 126,求 n 和 q。

2. 一个等比数列的首项是 1, 项数是偶数, 其奇数项的和为 85, 偶数项的和为 170, 求此数列的公比和项数

(二)等比数列前 n 项和的性质 例 2.各项均为正数的等比数列 ?an ? ,若 S10 ? 10, S30 ? 70, 求S40

变式训练:等比数列 ?an ? 中, S 4 ? 1, S8 ? 3, 求a17 ? a18 ? a19 ? a20

(三)等比数列中最值问题 例 3.数列 ?an ? 为首项是正数的等比数列,前 n 项和为 80,前 2n 项和为 6560,在前 n 项中数值 最大者为 54,求通项 an

变式训练:数列 ?an ? 为各项都是正数的等比数列,项数是偶数,它所有项的和等于偶数项和的 4 倍,且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的 9 倍,问数列 ?lg an ?的前多少 项和最大。

三.课堂检测 1.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 7 , S3 ? 21,则公比 q 的值为 ( A.1 B. ? )

1 2

C. 1 或 ?

1 2

D. ? 1或

1 2

2. 等比数列 ?an ? 中,公比 q 是整数, a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12 ,则此数列前 8 项和为( ) A. 514 B. 513 C. 512 D.510 3. 等比数列 ?an ? 中, a6 ? a4 ? 216 , a3 ? a1 ? 8, S n ? 40, 则公比 q= 4. 等比数列 ?an ? 中,若 S 2 ? 2, S 4 ? 6, 则a5 ? a6 ? 四.课堂小结

五.课外作业 1.数列 1, x, x 2 ,?, x n?1 ( x ? 0) 的前 n 项和为 ( )

A.

1? xn 1? x

B.

1 ? x n ?1 1? x

C.

1 ? x n ?1 1? x

D.以上都不对

2. 等比数列 ?an ? 的公比 q=2,前 n 项和为 S n ,则 A.63 B.64 C.127

S4 ? a2

( D.128

)

3. 若等比数列 ?an ? 对于一切正整数 n 都有 a n ?1 ? 1 ?

2 S n ,其中 S n 是此数列的前 n 项和,又 3

a1 ? 1, 则公比q为 (
A. 1 B.

) C. ?

1 3

1 3

D. ?

2 3

4.若数列 ?xn ? 满足 lg xn?1 ? 1 ? lg xn (n ? N * ) ,且 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x100 ? 100 ,则

lg( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x200 ) ? (
A. 102 B. 101

) C. 100 D. 99 )

2 2 2 5.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 n ? 1 ,则 a1 = ( ? a2 ? ? ? an

A. (2 ? 1)
n

2

B.

1 n (2 ? 1) 3

C. 4 ? 1
n

D. (4 ? 1)
n

1 3

6. 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,若 a2004 , a2005 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则
2

a2 0 0 6 ? a2 0 0 7 ?(
A.18

) B.-18 C.9 D.36

7. 等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 1 ,它的前 n 项和为 M,数列 ? 为( A. 2a q
2 n

?2? M 的值 ? 的前 n 项和为 N,则 N ? an ?
2 n?1

) B.

1 a1 q n ?1 2

C.

1 2 n ?1 a1 q 2

D. 2a1 q

8. 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项为 S n ,且 S1 ,2S 2 ,3S 3 成等差数列,则 ?an ? 的公比为 9. 等比数列 ?an ? 中,公比 q=2,前 99 项和 S 99 ? 56 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 的值为 10. 等比数列 ?an ? 中,公比 q=2, log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 a10 ? 35 ,则 a1 ? a2 ? ?

? a10 =

11. 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项为 S n , a3 ? 2, S 4 ? 5S 2 ,求 ?an ? 的通项公式。

12.已知数列{ an }中的相邻两项 a2 k ?1 、 a2 k 是关于 x 的方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个 根,且 a2 k ?1 ≤ a2 k (k =1,2,3,…).

(1)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2 n (n≥4)(不必证明); (2)求数列{ an }的前 2n 项和 S2n.

13. 在数列{ an }, ?bn ? 是各项均为正数的等比数列,设 cn ? (Ⅰ)数列 ?cn ? 是否为等比数列?证明你的结论;

bn ( n ? N* ) . an

(Ⅱ)设数列 ?ln an ?, ?ln bn ?的前 n 项和分别为 Sn , Tn .若 a1 ? 2 , 列 ?cn ? 的前 n 项和.

Sn n ,求数 ? Tn 2n ? 1


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