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第1届大学生物理竞赛试题


第一届大学生物理竞赛试题
2008 年 4 月 28 日 一、填空题(每空 3 分,共 36 分) 时间:150 分钟 满分 120 分

2 1. 一质点作直线运动,加速度为 a ? ? A sin ?t ,已知 t ? 0 时,质点的初始状态为 x0 ? 0,v0 ? ?? A ,

则该质点的运动方程为___________

____________。 2. 用波长为 400-760nm 的白光垂直照射衍射光栅,其衍射光谱的第 2 级和第 3 级重叠,则第 2 级光谱被 重叠部分的波长范围为___________________。 3. 一远洋货轮在北冰洋中夜航,发出波长为 589.3nm 的脉冲激光束,并用激光探测仪接收前方障碍物的反 射光束。若货轮航线的正前方有一漂浮的冰山,该冰山在洋面上的最大高度为 10m,最大宽度为 50m。设 探测仪镜头的直径为 1.0cm ,当探测仪恰能显示冰山浮出洋面上的大致轮廓时,货轮距冰山的距离为 _________________m。 B 4. 如图,A、B 为两相干波源,相距 4m,波长为 1m,一探测仪由 A 点出发沿 4m x 轴移动,第一次探测到强度极大值时移动的距离为__________m。 x A 5. 将温度为 T1 的 1mol H 2 和温度为 T2 的 1mol He 相混合,在混合过程中与 外界不发生任何能量交换,若这两种气体均可视为理想气体,则达到平衡后混合气体的温度为 ______________。 6. 设高温热源的绝对温度是低温热源的 n 倍,则在一个卡诺循环中,气体将把从高温热源吸收热量的 __________倍放给低温热源。 7. 中空球形静电高压金属电极球面半径为 R,电势为 U,其表面有一面积为 ? S 的极小锈孔,则球心处电 场强度的大小为__________。 8. 为测定音叉 C 的频率, 另选取两个频率已知而且和音叉 C 频率相近的音叉 A 和 B, 音叉 A 的频率为 400Hz, B 的频率为 397Hz。若使 A 和 C 同时振动,则每秒种听到声音加强 2 次;再使 B 和 C 同时振动,每秒钟可 听到声音加强 1 次,由此可知音叉 C 的振动频率为_______Hz。 9. 在实验室中观察一高速运动粒子,测得其速度为 0.8c ,飞行 3m 后衰变,则该粒子的固有寿命为 ____________s。 10. 在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动的粒子,当量子数 n ?? 时,距势阱左壁

a 宽度内发现粒子的概 4

率为___________。 11. 厚度为 2d 的无限大导体平板,沿与板平行的方向均匀通以电流,电流密度为 j,则板内距对称面为 x 处磁感应强度的大小为__________。

m ?s , 12. 实验测得太阳垂直射到地球表面的平均能流密度为 1.4 ?10 J ? 已知太阳到地球的平均距离为
3

?2

?1

1.5 ?1011 m ,则每秒钟太阳因辐射而损失的质量为_________kg。
二、证明题(每题 5 分,共 10 分) 1. 证明:对于一个作圆周运动的微观粒子, ?L?? ?

h (其中 L 为角动量, ? 为角位置) 。 4?

2. 证明:在同一 P ? V 图上,一定量理想气体的一条绝热线与一条等温线不能相交于两点。 三、实验题(每题 5 分,共 10 分) 注:要求简略地说明实验原理,列出实验仪器并阐明实验方法和步骤。 1. 试设计一个实验,测量太阳的表面温度。 2. 试设计一个实验,确定半导体的类型及载流子浓度。

四、论述题(每题 5 分,共 10 分) 1. 现代宇宙学的研究表明:任何行星形成之初,原始大气中都应有相当数量的 H 2 和 He ,但是现在地球 大气中的主要成分却是 N 2 和 O2 ,几乎没有 H 2 和 He ,试解释其原因(大气平均温度 290K) 。 2. 在严寒的冬日,行驶的列车车窗玻璃上凝结一层薄冰膜。 (1)乘客发现原本白色的车窗呈现绿色,这是什么原因?(画出简图说明,并估算此膜的最小厚度) (2)行驶一段距离后,玻璃又呈现黄色,则冰膜的厚度如何变化,并估算其厚度的最小变化值。 (绿光波长 500nm,黄光波长 590nm,冰的折射率 1.33,玻璃的折射率 1.5。 ) 五、计算题(共 54 分。其中 1、2、3 题每题 8 分;4、5、6 题每题 10 分) 1. 两根平行放置的直导线长为 L,相距为 d,设两导线均通以强度为 I 的电流,求相互作用力的大小。 2. 一圆柱形电容器, 外导体的内半径为 0.04m, 内导体的半径可自由选择, 中间充满击穿场强为 2 ?10 V/m
7

的介质,问该电容器能承受的最大电压为多少? 3. 均匀细棒 OA,长为 L,质量为 m,其一端固定,可绕 O 点在竖直面内无摩擦地转动。开始时使棒处于 水平位置,先释放 A 端,当棒转到竖直位置时,松开 O 点,任棒自由下落,选取如图所示的坐标系。 (1)写出 O 点松开后棒的质心 C 的运动轨迹; A x O (2)当棒从竖直位置下落高度 h 时,它绕质心转了多少圈。 C

y 4. 一长方形木块底面积为 S,高为 h,密度为 ? ,将其放于密度为 ? ? 的水中。 (1)求平衡时木块露出水面的高度; (2)求振动周期; (3)将木块压入水中刚好没顶后放手,写出振动方程。 5. 一半径为 R 的长直圆筒,表面均匀带电,电荷面密度为 ? ,在外力矩作用下,从静止开始以匀角加速 度 ? 绕轴转动。 (1)求圆筒内部任一时刻磁感应强度 B 的大小; (2)求位于距轴线

?

R 处电子的加速度的大小。 2

6. 如图,一内壁光滑的绝热圆筒,A 端用导热壁封闭,B 端用绝热壁封闭,筒内由一不漏气的绝热活塞隔 开。开始时,活塞位于圆筒中央,由活塞分隔开的两部分气体 1 和 2 完全相同,每部分气体的摩尔数为 n, 温度为 T0 ,体积为 V0 ,气体的定体摩尔热容 CV 、比热容比 ? 均可视为常量。现在从 A 端的导热壁徐徐加 热,活塞缓慢右移,直至气体 2 的体积减半。求此过程中: (1)气体 1 吸收的热量; (2)气体 1 的体积 V1 和压强 P1 的关系; (3)整个系统熵的改变量。 1 A 2 B

湖南省第一届大学生物理竞赛试题答案及评分标准(仅供参考)
一、填空题(每空 3 分,共 36 分) 1. ? A sin ?t 2.600-700nm 3. 1.39 ?10 4.
5

7 6 1 5. ? 3T1 ? 5T2 ? 8 1 6. n U ?S 7. 4? R 3
8.398 9. 7.5 ?10 10.
?9

1 4

11. ?0 jx 12. 4.4 ?10
9

二、证明题(每题 5 分,共 10 分) 1.证明:对于一个圆周运动的粒子, ?L?? ? 切线方向: ?p? ?s ?

? 2
(2 分)

? 2
?p? ? 1 ?L R ? 2

L ? p? R ,则

(2 分) (1 分) P a T S b V

?p? ?s ? ?L?? ?

2.设有两个交点 a 和 b,可构成一个正循环 aTbSa,此循环从单一热源 吸热,完全变成有用的功,违背了热力学第二定律。

三、实验题(每题 5 分,共 10 分) 1.由 T ?

b

?m

,测出 ?m ,可得 T 的值。

用一光谱仪测出太阳光谱峰值对应的波长,即可求出太阳的表面温度 T。

2.由霍耳电势差 U H ?

1 IB ,可得 n 的值。 ne b

(1 分)

仪器:电流表,电压表,尺 测出 I、 U H 及 b 的值,算出 n 由哪端电势高,确定半导体类型。 四、论述题(每题 5 分,共 10 分) 1.由 v 2 ? (3 分) (1 分)

3RT M mol
2 vH ? 2

对于 H 2 ,

3 ? 8.31? 290 ? 2.7 ? km s ? 2 ?10?3 3 ? 8.31? 290 ? 1.34 ? km s ? 4 ?10?3

对于 He ,

2 vHe ?

虽然两者都小于第二宇宙速度 11.2 km s ,但由于最大分子速率远大于平均值,地球表面的最高温度也高 于 290K,因而 H 2 和 He 都有可能从地球表面逃逸,经过长期的演化,地球表面几乎没有了 H 2 和 He 。 同理可得,
2 vN ? 0 . 5? 1 km s ?, 2 2 vO ? 0 . 4? 8k m s ? 2

由于方均根速率更低,难以从地球表面逃逸。 2. (1)反射相消

②① n1=1 n2=1.33 n3=1.5 e (图 1 分)

2n2 e ? ? 2k ? 1?
取 k ? 0 ,得 emin ? (2)变厚

?
2

?
4n2

?

500 ?10?9 ? 0.94 ?10?7 m 4 ?1.33

(2 分)

?e ? e? ? e ?
五、计算题(共 54 分) 1. (8 分) d F ? I d x B

?? ? ?
4n2

?

590 ? 500 ?10?9 ? 0.17 ?10?7 m 4 ?1.33
(2 分)

?I ?I L?x x ? B ? 0 ? sin ? 2 ? sin ?1 ? ? 0 ? ? 2 2 ? 4? d 4? d ? d 2 ? ? L ? x ?2 d ?x ? ?

?

?
(3 分) I β β L (3 分) d
2 1

x

I

?0 I 2 F? 4? d

?

L

0

? L?x x ? ? 2 2 ? d 2 ? ? L ? x? d ? x2 ?
E?

? 2 ? dx ? ?0 I ? 2? d ?

?

L2 ? d 2 ? d

?

0

2. (8 分)设内导体的半径为 r,内导体表面处场强最强,最易被击穿。

? , ? ? 2?? rE 2?? r

(2 分)

dr ? R R ? ln ? Er ln r 2?? r r dV 1 R ?0得 Eln ?E ? 0 由 ,则 rm ? R dr e r V?

? 2??

?

R

r

(2 分) (2 分)



d 2V dr 2

? 0 ,故 r ? rm 时, V ? Vmax
r ? rm

Vmax ? Ermax ln e ?

RE 4 ?10?2 ? 2 ?107 ? ? 2.94 ?105V e 2.7183

(2 分)

3. (8 分)棒由水平转到竖直位置时,质心的速度为 vC ,角速度为 ? 。由机械能守恒

1 1 1 mgl ? ? ml 2? 2 2 2 3


??

3g , l

l 1 vC ? ? ? 3 gl 2 2

(2 分)

松开 O 点后,质心作平抛运动,棒绕质心匀速转动

x ? vC t ?
轨迹方程

1 3 glt , 2

y?

l 1 2 ? gt 2 2
(3 分)

y?

l 2 2 ? x (抛物线) 2 3l

(2)当质心下落 h 高度时,所需时间为

t?

2h g
(3 分)

圈数为 n ?

?t 1 6h ? 2? 2? g

4. (10 分) (1)设露出水面的高度为 l,平衡时 , ? S h g? ?? ? h ? ?l S g得 l?

?? ? ? h ??

(2 分) h

F l b C S O C x x

(2) ? Shg ? ? ?S ? b ? x ? g ? ? Sh
2

d 2x dt 2


x

又 b ? h ? l ,得

? Sh

d x ? ? ? ?Sgx dt 2

d x ?? g ?? x 2 dt ? h
2

所以 ? ?
2

? ?g ?h , 周期 T ? 2? ?h ? ?g

(4 分)

(3)木块上任何一点的振动代表整个木块的振动。以 C 点为例

t ? 0 时, x0 ? l ?

?? ? ? h,v0 ? 0 ??

所以振幅 A ? x0 ,初相位 ? ? 0

振动方程

x?

?g ?? ? ? ? hc o s t ?? ?h

(4 分)

5. (10 分) (1) B ? ?0 j ? ?0? 2? R
2

? ? ?0? R? ? ?0? R? t 2?

(4 分)

? ?? 2 R ? R ? dB R (2) E ? 2? ? ? ? ? ? , E? 0 4 2 ? 2 ? dt
a? eE ?0 e?? 2 ? R m 4m

(4 分)

(2 分)

6、 (10 分) (1) Q ? ?E1 ? A1 其中 A 1 为 1 压缩 2 的功,等于气体 2 内能的增量

A1 ? n C T ? V ? T 2? 0

?V ? 又 T2 ? 0 ? ?2?
所以

? ?1

? T0V0? ?1 ,得 T2 ? 2? ?1T0
A1 ? nCV ? 2? ?1 ? 1? T0
? ?

(2 分)

V0 ?V ? ? 气体 1、2 体积改变后压强相等,有 P2 ? 0 ? ? PV ? nRT0V0? ?1 0 0 ? nRT0 V0 ?2?


P2 ? 2?

nRT0 V0
3 3 V0 , 可得 T1 ? 2? T0 ? 2? ?1 ? 3T0 2 2

对气体 1, PV 1 ? P 2,V1 ? 1 1 ? nRT 1 ,且 P 所以 得

?E1 ? nCV ?T1 ? T0 ? ? nCV ? 2? ?1 ? 3T0 ? T0 ? Q ? ?E1 ? A1 ? 2nCV T0 ? 2? ? 1?
(3 分)

? ? ?1 (2)气体 2 中, PV ,又 P 1 ?P 2, 2V0 ? V 1 ? V2 2 2 ? nRT0V0

所以

? ?1 P 1 ? 2V0 ? V1 ? ? nRT0V0 ?

(2 分)

(3)气体 2 变化过程绝热,熵不变,系统熵变等于 1 中熵的改变。

dQ ? dE ? pdV ? nCV dT ?

nRT dV V

?S ? ?

3 T1 dT V1 dV 2? ?1 ?3T0 dT V0 dV dQ 3 ? nCV ? ? nR ? ? nCV ? ? nR ? 2 ? nCV ln ? 3 ? 2? ?1 ? ? nR ln (3 分) T0 T V0 V T0 V0 T T V 2


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